Analisi Matematica 1 Trentaduesima lezione. Serie

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1 Analisi Matematica 1 Trentaduesima lezione Serie prof. Claudio Saccon Dipartimento di Matematica Applicata, Via F. Buonarroti 1/C saccon@mail.dm.unipi.it web: Ricevimento: ogni lunedì, dalle 9.00 alle aprile 2010 Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentaduesima lezione[1cm] Serie 9 aprile / 34

2 Ci proponiamo ora di formalizzare l idea di somma infinita. Definizione Sia {a n } una successione di numeri reali. Per n intero chiamiamo somma parziale n-esima la somma finita a 0 + a a n = n a k k=0 Chiameremo serie degli a n la successione {S n } delle somme parziali. Diremo inoltre che a n è il termine generale della serie. Definizione Diremo che la serie degli a n è convergente divergente se {S n } ha limite finito; se {S n } ha limite infinito; irregolare o indeterminata se {S n } non ha limite. Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentaduesima lezione[1cm] Serie 9 aprile / 34

3 Definizione Se la serie è convergente oppure divergente chiameremo somma della serie degli a n il suo limite, cioè lim n S n, che verrà indicato con il simbolo a n Osservazione {a n } e {S n } SONO SUCCESSIONI DIVERSE!! Il simbolo a n viene spesso usato anche per indicare la serie cioè la {S n } oltre che la somma (capiremo dal contesto - hopefully...) La somma non esiste se la serie è indeterminata. Se la successione {a n } non parte da zero, ma da un generico n 0 si danno definizioni analoghe, usando n 0 al posto di 0. Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentaduesima lezione[1cm] Serie 9 aprile / 34

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12 Teorema (condizione necessaria) Sia {a n } una successione. Se la serie degli a n è convergente, allora lim a n = 0. n + DIM Come vedremo (serie armonica) tale condizione NON È sufficiente. Per avere la convergenza della serie il termine generale a n deve tendere a zero ABBASTANZA RAPIDAMENTE. Esercizi la serie n=1 la serie n=1 1 n(n + 1) n (n + 1) (di Mengoli) è convergente e ha somma 1; è divergente a +; la serie ( 1) n è indeterminata e quindi non ha una somma. n=1 VERIFICHE Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentaduesima lezione[1cm] Serie 9 aprile / 34

13 Osservazione Il carattere di una serie di termine generale a n dipende da cosa fa a n definitivamente. Formalmente se {a n } e {b n } sono due successioni che sono definitivamente eguali, cioè tali che esiste n per cui a n = b n n n allora la serie degli a n converge/diverge/è irregolare se e solo se la serie dei b n converge/diverge/è irregolare. Osserviamo peraltro che, mentre la convergenza è una questione di n grandi lo stesso non vale per la somma: se due successioni differiscono anche per un solo termine la loro somma è, in generale, diversa. Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentaduesima lezione[1cm] Serie 9 aprile / 34

14 Osservazione Se {a n } è una successione tale che la serie di termine a n è convergente possiamo definire la successione delle ridotte R h := a n n=h Non è difficile infatti vedere che la serie scritta sopra converge. Allora si ha lim h R h = 0 (le ridotte tendono a zero) Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentaduesima lezione[1cm] Serie 9 aprile / 34

15 Osservazione (serie telescopica) Se, come nell esempio della serie di Mengoli, si riesce a scrivere allora è chiaro che, per n 0 si ha a n = b n+1 b n S n = b n+1 b 0 da cui la serie degli a n ha lo stesso carattere della successione dei b n e a n = lim b n+1 b 0 = lim b n b 0 n n n=1 se {b n } ha limite. Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentaduesima lezione[1cm] Serie 9 aprile / 34

16 Conseguenza Sia β un numero reale diverso da zero. Si ha n=1 ( (n + 1) β n β ) = + se β > 0 ( (n + 1) β n β ) = 1 se β < 0 Notiamo che: ( ) ( ( ) a n := (n + 1) β n β = n β 1 + n) 1 β 1 = βn β 1 + o (n β 1) per cui, se β < 1, si ha che a n 0. Dunque se 0 < β < 1 la successione a n è infinitesima, ma la serie degli a n diverge. La serie comincia a convergere quando diventa infinitesima di ordine 1 n α con α > 1 (corrispondente a β < 0) - per ora α = 1 è escluso. Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentaduesima lezione[1cm] Serie 9 aprile / 34

17 In modo analogo, usando b n = ln(n) per n 1, ricaviamo Conseguenza Si ha (ln(n + 1) ln(n)) = + n=1 Anche qui possiamo notare che a n := ln(n + 1) ln(n) = ln ( ) n = 1 n + o ( 1 n ) 0. e quindi abbiamo un altro esempio di successione infinitesima (stavolta dell ordine di 1 n ) la cui serie risulta positivamente divergente. Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentaduesima lezione[1cm] Serie 9 aprile / 34

18 Definizione (Serie geometrica) Sia A un numero reale. la successione {A n } n 0 si chiama progressione geometrica di ragione A; la serie degli A n si chiama serie geometrica di ragione A. Teorema (Carattere della serie geometrica) Sia A un numero reale. Allora la serie geometrica di ragione A è convergente, se 1 < A < 1 divergente a + se A 1 irregolare se A 1. Inoltre se 1 < A < 1 ( cioè se A < 1) si può calcolare la somma: + A n = 1 1 A DIM Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentaduesima lezione[1cm] Serie 9 aprile / 34

19 Serie a termini positivi Teorema Sia {a n } una successione di numeri non negativi: a n 0 per ogni n. Allora la serie degli a n NON PUÒ essere indeterminata. Dunque la somma a n esiste sempre, finita o alla peggio +. Dim. Basta notare che, se a n 0, allora le somme parziali sono crescenti: S n+1 = a 0 + a a n + a n+1 = S n + a n+1 S n e applicare il teorema di esistenza del limite per le successioni monotone. Dunque per le serie a termini positivi possiamo SEMPRE scrivere la somma e la serie degli a n converge n a n < +.sup a k < +. n k=0 Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentaduesima lezione[1cm] Serie 9 aprile / 34

20 Criteri di convergenza per serie a termini positivi In generale è DIFFICILE trovare esplicitamente la somma di una serie (vedi la serie armonica). Il problema delle serie è allora di STABILIRNE IL CARATTERE dire cioè se la serie converge/diverge/è irregolare. Dato che le serie a termini positivi ammettono sempre la somma per esse è più facile studiare la convergenza, mediante dei CRITERI che ora esaminiamo. Teorema (Criterio del confronto) Siano {a n } e {b n } due successione di numeri non negativi. Supponiamo a n b n definitivamente Se la serie dei b n converge, allora la serie degli a n converge; Se la serie degli a n diverge, allora la serie dei b n diverge. Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentaduesima lezione[1cm] Serie 9 aprile / 34

21 Dim. Consideriamo solo il caso in cui la disuguaglianza è vera per ogni n. Dato che i termini sono non negativi LE SOMME ESISTONO. Da a n b n da cui n si deduce n a k k=0 a n da cui segue immediatamente la tesi. n b k k=0 b n Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentaduesima lezione[1cm] Serie 9 aprile / 34

22 Teorema (Criterio del confronto asintotico) Siano {a n } e {b n } due successione di numeri non negativi. Supponiamo che esista a n l = lim n b n ( [0,+]) Se l ]0,+[, la serie degli a n e quella dei b n hanno lo stesso carattere: a n < + b n < + Notiamo che in questo caso {a n } e {l b n } sono asintotiche. Se l = 0 (risp. l = +) allora b n < + a n < + ( risp. a n < + ) b n < + DIM Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentaduesima lezione[1cm] Serie 9 aprile / 34

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