Ingegneria Elettronica, Informatica e delle Telecomunicazioni Prova scritta di ANALISI B - 06/04/2006

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Fabiola Valeri
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1 Ingegneria Elettronica, Informatica e delle Telecomunicazioni Prova scritta di ANALISI B - 06/04/2006 CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA... NOME E COGNOME:... NUMERO DI MATRICOLA:... (scrivere nome e cognome anche su ciascun foglio di bella copia) TEMA 1 [E.1] (esercizio di sbarramento) Data f(x,y) = x 3 log(1 + 2y), calcolare il gradiente di f nel punto (1, 1). RISULTATO: Lo svolgimento dei seguenti esercizi deve essere riportato in bella copia in modo da permettere la valutazione da parte del docente. [E.2] Calcolare x(e 3x 1) x lim x 0 sin(x 5 ) + ln(1 + x 3 ) [E.3] Si consideri la successione di funzioni (f n ) n, dove f n : R R è definita come f n (x) = n x 1 + n1/2 n 5/2 x + n. 1. Studiare la convergenza puntuale, ovvero determinare il piú grande insieme I in cui la successione converge puntualmente, specificando la funzione limite f. 2. Dire se la successione converge uniformemente nell insieme I. [E.4] Data la funzione f(x,y) = e x2 y 2, si chiede di: 1. trovarne i punti critici in R 2 e determinarne la natura; 2. determinarne massimi e minimi assoluti nell insieme A = {(x,y) R 2 : y x 2, x 2 + y 2 6}. [E.5] Data f : A R 2 R con A insieme aperto, definire la nozione di differenziabilità di f in un punto (x 0,y 0 ) A.

RISULTATO: Lo svolgimento dei seguenti esercizi deve essere riportato in bella copia in modo da permettere la valutazione da parte del docente. [E.

2 Tema 1 soluzioni dei primi 4 esercizi [E.1] f(1, 1) = (3 log 3, 2 3 ). [E.2] Il limite vale 9 2. [E.3] f n converge puntualmente a f su I = R, dove f(0) = 1 e f(x) = 0 per ogni x 0. Poiché f n è continua per ogni n, ed essendo f discontinua in 0, si conclude che la convergenza non è uniforme su I. [E.4] P 0 = (0, 0) unico punto critico (punto di sella). Punto di minimo assoluto: (0, 6), con f(0, 6) = e 6 ; Punti di massimo assoluto: (± 1 2, 1 ), con f(± 1, 1) = 2 e 1 4

Poiché f n è continua per ogni n, ed essendo f discontinua in 0, si conclude che la convergenza non è uniforme su I.

3 Ingegneria Elettronica, Informatica e delle Telecomunicazioni Prova scritta di ANALISI B - 06/04/2006 CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA... NOME E COGNOME:... NUMERO DI MATRICOLA:... (scrivere nome e cognome anche su ciascun foglio di bella copia) TEMA 2 [E.1] (esercizio di sbarramento) Data f(x,y) = e 5x log(1+y 2 ), calcolare il gradiente di f nel punto (0, 1). RISULTATO: Lo svolgimento dei seguenti esercizi deve essere riportato in bella copia in modo da permettere la valutazione da parte del docente. [E.2] Calcolare x(e x/2 1) + 1 cos x lim x 0 ln(1 + x 5 ) + arctan(x 3 ) [E.3] Si consideri la successione di funzioni (f n ) n, dove f n : R R è definita come f n (x) = n2 x + n 3/2 n 7/2 x 3 + n Studiare la convergenza puntuale, ovvero determinare il piú grande insieme I in cui la successione converge puntualmente, specificando la funzione limite f. 2. Dire se la successione converge uniformemente nell insieme I. [E.4] Data la funzione f(x,y) = e y2 x 2, si chiede di: 1. trovarne i punti critici in R 2 e determinarne la natura; 2. determinarne massimi e minimi assoluti nell insieme A = {(x,y) R 2 : y x 2, x 2 + y 2 6}. [E.5] Data f : A R 2 R con A insieme aperto, definire la nozione di differenziabilità di f in un punto (x 0,y 0 ) A.

4 Tema 2 soluzioni dei primi 4 esercizi [E.1] f(0, 1) = (5 log 2, 1). [E.2] Il limite vale 1 8. [E.3] f n converge puntualmente a f su I = R, dove f(3) = 3 e f(x) = 0 per ogni x 3. Poiché f n è continua per ogni n, ed essendo f discontinua in x = 3, si conclude che la convergenza non è uniforme su I. [E.4] P 0 = (0, 0) unico punto critico (punto di sella). Punto di massimo assoluto: (0, 6), con f(0, 6) = e 6 ; punti di minimo assoluto: (± 1 2, 1 ), con f(± 1, 1) = 2 e 1 4

Poiché f n è continua per ogni n, ed essendo f discontinua in x = 3, si conclude che la convergenza non è uniforme su

5 Ingegneria Elettronica, Informatica e delle Telecomunicazioni Prova scritta di ANALISI B - 06/04/2006 CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA... NOME E COGNOME:... NUMERO DI MATRICOLA:... (scrivere nome e cognome anche su ciascun foglio di bella copia) TEMA 3 [E.1] (esercizio di sbarramento) Data f(x,y) = y 2 log(1 + 3x), calcolare il gradiente di f nel punto (0, 1). RISULTATO: Lo svolgimento dei seguenti esercizi deve essere riportato in bella copia in modo da permettere la valutazione da parte del docente. [E.2] Calcolare sin(2x) 2 log(1 + x) lim x x3 e x2 [E.3] Si consideri la successione di funzioni (f n ) n, dove f n : R R è definita come f n (x) = n x n n x +. n 1. Studiare la convergenza puntuale, ovvero determinare il piú grande insieme I in cui la successione converge puntualmente, specificando la funzione limite f. 2. Dire se la successione converge uniformemente nell insieme I. [E.4] Data la funzione f(x,y) = e x2 y 2, si chiede di: 1. trovarne i punti critici in R 2 e determinarne la natura; 2. determinarne massimi e minimi assoluti nell insieme A = {(x,y) R 2 : x y 2, x 2 + y 2 6}. [E.5] Data f : A R 2 R con A insieme aperto, definire la nozione di differenziabilità di f in un punto (x 0,y 0 ) A.

6 Tema 3 soluzioni dei primi 4 esercizi [E.1] f(0, 1) = (3, 0). [E.2] Il limite vale 1. [E.3] f n converge puntualmente a f su I = R, dove f(0) = 1 e f(x) = 0 per ogni x 0. Poiché f n è continua per ogni n, ed essendo f discontinua in x = 0, si conclude che la convergenza non è uniforme su I. [E.4] P 0 = (0, 0) unico punto critico (punto di sella). Punto di massimo assoluto: ( 6, 0), con f( 6, 0) = e 6 ; punti di minimo assoluto: ( 1, ± 1 ), con f( 1, ± 1 ) = e 1 4.

Poiché f n è continua per ogni n, ed essendo f discontinua in x = 0, si conclude che la convergenza non è uniforme

7 Ingegneria Elettronica, Informatica e delle Telecomunicazioni Prova scritta di ANALISI B - 06/04/2006 CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA... NOME E COGNOME:... NUMERO DI MATRICOLA:... (scrivere nome e cognome anche su ciascun foglio di bella copia) TEMA 4 [E.1] (esercizio di sbarramento) Data f(x,y) = e 3y sin(x 2 ), calcolare il gradiente di f nel punto (1, 0). RISULTATO: Lo svolgimento dei seguenti esercizi deve essere riportato in bella copia in modo da permettere la valutazione da parte del docente. [E.2] Calcolare lim x x 1 sin 2x sin(x 2 ) + cosx 1 [E.3] Si consideri la successione di funzioni (f n ) n, dove f n : R R è definita come f n (x) = n4/3 + n 2 x 2 n 4 x + n Studiare la convergenza puntuale, ovvero determinare il piú grande insieme I in cui la successione converge puntualmente, specificando la funzione limite f. 2. Dire se la successione converge uniformemente nell insieme I. [E.4] Data la funzione f(x,y) = e x2 +y 2, si chiede di: 1. trovarne i punti critici in R 2 e determinarne la natura; 2. determinarne massimi e minimi assoluti nell insieme A = {(x,y) R 2 : x y 2, x 2 + y 2 6}. [E.5] Data f : A R 2 R con A insieme aperto, definire la nozione di differenziabilità di f in un punto (x 0,y 0 ) A.

8 Tema 4 soluzioni dei primi 4 esercizi [E.1] f(1, 0) = (2 cos 1, 3 sin 1). [E.2] Il limite vale 4. [E.3] f n converge puntualmente a f su I = R, dove f(0) = 2 e f(x) = 0 per ogni x 0. Poiché f n è continua per ogni n, ed essendo f discontinua in x = 0, si conclude che la convergenza non è uniforme su I. [E.4] P 0 = (0, 0) unico punto critico (punto di sella). Punto di minimo assoluto: ( 6, 0), con f( 6, 0) = e 6 ; punti di massimo assoluto: ( 1, ± 1 ), con f( 1, ± 1 ) = e4. 1

Poiché f n è continua per ogni n, ed essendo f discontinua in x = 0, si conclude che la convergenza non è uniforme su I.

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