Scritto di Analisi Matematica I per STM Anno Accademico 2016/17 04/09/2017

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1 Anno Accademico 2016/17 04/09/2017 COG ) lnx) 1) Scrivere l espressione lnxx2 lnx x come polinomio, ossia nella forma ) lnx) a m x m + a m 1 x m a 1 x + a 0. 2) a) Dire per quali x R la serie + a n x) converge ove 3 n + 1 x a n x) = 2n n 7x 100) 3n+5 n 7 12 n + 1 se n < , altrimenti. b) Sia a n ) una successione tale che, posto b n = 1) n + a n, esistono infiniti indici n per cui b n+1 b n < 1. Provare che allora la successione a n ) non è convergente. x 3) a) Sia vx) = 2 9 x+2. Determinare gli intervalli di decrescenza di v. b) Sia ux) = x 1)x + 4)x 2 6) x 2 2. Risolvere la disequazione ux) < 0. x a sin 3 x) 4) a) Calcolare, se esiste, lim, al variare di a R. x 0 + x x 0 + x 5 c) Calcolare, se esiste, lim x + 1 cosx 2, al variare di b R. ) bx4 a x 2 x x 5 + 8) 7π + x sin 1 ), al variare di a > 0. x

2 Anno Accademico 2016/17 04/09/2017 COG ) lnx) 1) Scrivere l espressione lnxx2 lnx x come polinomio, ossia nella forma ) lnx) a m x m + a m 1 x m a 1 x + a 0. 2) a) Dire per quali x R la serie + a n x) = 6 n + 1 x 5n + 2 a n x) converge ove 5 n 6x 84) 5n+2 n 6 15 n + 1 se n < , altrimenti. b) Sia a n ) una successione tale che, posto b n = 1) n + a n, esistono infiniti indici n per cui b n+1 b n < 1. Provare che allora la successione a n ) non è convergente. x 3) a) Sia vx) = 2 9 x+2. Determinare gli intervalli di decrescenza di v. b) Sia ux) = x 1)x + 4)x 2 6) x 2 2. Risolvere la disequazione ux) < 0. x a sin 3 x) 4) a) Calcolare, se esiste, lim, al variare di a R. x 0 + x x 0 + x 5 c) Calcolare, se esiste, lim x + 1 cosx 2, al variare di b R. ) bx4 a x 2 x x 5 + 8) 7π + x sin 1 ), al variare di a > 0. x

3 Anno Accademico 2016/17 18/07/2017 COG 1) Scrivere l espressione x2 + 1) x 2 come polinomio, ossia nella forma + 1) 3 a m x m + a m 1 x m a 1 x + a 0. 2) a) Dire per quali x R la serie + a n x) = n 3 + n + 1 n x n2 3 n n 2 x n2 + 1 a n x) converge ove se n 48906, altrimenti. b) Provare che se a n è una successione di numeri reali tale che a n un estratta a nk di a n tale che la serie k=1 a nk converge. n + 3) Sia ux) = x x 2 e 5x. a) Determinare gli intervalli di decrescenza di u. b) Provare che per ogni a R l equazione ux) = a ha almeno una soluzione. c) Determinare il dominio della funzione v definita da vx) = 2x ) x 3 1)x 2) arcsin. 7 x 4) a) Calcolare, se esiste, lim x 0 + e x 2 1 x 2 x a cosx) sin 5 x) al variare di a R. x + 73x2 x 9) a x π, al variare di a R. 0, allora eiste

4 Anno Accademico 2016/17 18/07/2017 COG 1) Scrivere l espressione 9 x4 + 1) 8 3x 4 + 1) 4 come polinomio, ossia nella forma 9 a m x m + a m 1 x m a 1 x + a 0. 2) a) Dire per quali x R la serie + a n x) = n 4 + n 2 7 n x n2 5 n n 2 x n2 + 1 a n x) converge ove se n 48906, altrimenti. b) Provare che se a n è una successione di numeri reali tale che a n un estratta a nk di a n tale che la serie k=1 a nk converge. n + 3) Sia ux) = x x 2 e 5x. a) Determinare gli intervalli di decrescenza di u. b) Provare che per ogni a R l equazione ux) = a ha almeno una soluzione. c) Determinare il dominio della funzione v definita da vx) = 2x ) x 3 1)x 2) arcsin. 7 x 4) a) Calcolare, se esiste, lim x 0 + e x 2 1 x 2 x a cosx) sin 5 x) al variare di a R. x + 73x2 x 9) a x π, al variare di a R. 0, allora eiste

5 Anno Accademico 2016/17 24/02/2017 COG 1) Determinare i numeri reali x che risolvono l equazione x 2 2) a) Dire per quali x R la serie + a n x) = n 5n + 2 a n x) converge ove 3 n x 2 2) n + n se n 146, altrimenti. 27 2x = 1 9. b) Sia a n ), n = 1, 2, 3..., una successione illimitata, ma tale che la sua estratta a 2n ) è limitata. Provare che esiste un intero positivo n tale che a n+1 a n > 1. 3) a) Calcolare, se esiste, lim x + ln x x2 + 1 ) 3x + 1) a al variare di a R. x 0 + x + 1) a 1 sin7x) x b al variare di a R, b R. 4) a) Determinare il dominio della funzione g definita da gx) = ln x ) x 3)x 5). b) Determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione w definita da wx) = 16x ln2 x 2 ). c) Provare che se α è una funzione continua da R in R, la funzione β definita da βx) = αx) ln2 x 2 ) ha un minimo assoluto, ma non ha un massimo assoluto, nel suo dominio.

6 Anno Accademico 2016/17 24/02/2017 COG 1) Determinare i numeri reali x che risolvono l equazione x 16 x2 = ) a) Dire per quali x R la serie + a n x) = n 2 25n + 8 a n x) converge ove se n 135, 5 n x 2 5) n + n 3 + n altrimenti. b) Sia a n ), n = 1, 2, 3..., una successione illimitata, ma tale che la sua estratta a 2n ) è limitata. Provare che esiste un intero positivo n tale che a n+1 a n > 2. 3) a) Calcolare, se esiste, lim x + 5x + 2)a ln x x3 + 1 ) al variare di a R. x 0 + x + 1) a 1 ln1 + 4x) x b al variare di a R, b R. ) 4) a) Determinare il dominio della funzione g definita da gx) = ln x 2)x 7) x. b) Determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione w definita da wx) = 11x ln5 x 2 ). c) Provare che se α è una funzione continua da R in R, la funzione β definita da βx) = αx) ln5 x 2 ) ha un minimo assoluto, ma non ha un massimo assoluto, nel suo dominio.

7 Anno Accademico 2016/17 20/01/2017 COG x ) 10 1) Determinare i numeri reali x che risolvono l equazione = 3. x 2 1 2) a) Calcolare, al variare di b > 0, se esiste, il limite di successione b) Dire per quali x R la serie lim n + 7 n b n 3 5n n π + 6. x n + 6 3n + 1) n converge. 3) Sia f la funzione definita da fx) = x + 2)x 1) ln5e x 7). a) Trovare il dominio di f. fx) x + x. 5 x ) c) Calcolare, se esiste, lim cosπe x ) +, al variare di c R. x 0 + 3x + x c d) Sia f una funzione da R in R tale che fx) +. Provare che esistono numeri x + reali a e b con a < b tali che fx) > 7x2 x per ogni x ]a, b[. 4) Determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione g definita da gx) = e x2 x ) Scrivere il polinomio di Taylor del terzo ordine centrato in 0 della funzione w definita da wx) = xe x3.

8 Anno Accademico 2016/17 20/01/2017 COG x ) 10 1) Determinare i numeri reali x che risolvono l equazione = 5. x 2 3 2) a) Calcolare, al variare di b > 0, se esiste, il limite di successione b) Dire per quali x R la serie lim n + n b 11 2n 7 n n e + 4. x n + 6 3n + 1) n converge. 3) Sia f la funzione definita da fx) = x + 2)x 1) ln5e x 7). a) Trovare il dominio di f. fx) x + x. 5 x ) c) Calcolare, se esiste, lim cosπe x ) +, al variare di c R. x 0 + 3x + x c d) Sia f una funzione da R in R tale che fx) +. Provare che esistono numeri x + reali a e b con a < b tali che fx) > 7x2 x per ogni x ]a, b[. 4) Determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione g definita da gx) = e x2 x ) Scrivere il polinomio di Taylor del terzo ordine centrato in 0 della funzione w definita da wx) = xe x3.

9 Terzo Esonero di Analisi Matematica I per STM Anno Accademico 2016/17 16/01/2017 COG Chi accetta di mettere in rete il risultato di questo scritto firmi la riga seguente Autorizzo a mettere in rete il risultato di questo scritto 1) Sia fx) = x 1 5 x) 22. a) Determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza di f. x 0 fx). c) Provare che se u : R R è una funzione suriettiva ossia per ogni z R esiste x R tale che ux) = z), allora l equazione f ux) ) = 3 ha almeno una soluzione. Potrebbe essere utile notare che f5) = 0. e x 1 x x 2 2 2) a) Calcolare, se esiste, lim x 0 + x 4. b) Calcolare, al variare di a R, se esiste, e x 1 sinx) lim x 0 + x a 3) Sia data una successione a n tale che NON è vero che a n n + 6. Provare che esiste ε > 0 tale che esistono infiniti indici naturali n per cui a n 6 ε.

10 Terzoo Esonero di Analisi Matematica I per STM Anno Accademico 2016/17 16/01/2017 COG Chi accetta di mettere in rete il risultato di questo scritto firmi la riga seguente Autorizzo a mettere in rete il risultato di questo scritto 1) Sia fx) = x 1 5 x) 24. a) Determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza di f. x 0 fx). c) Provare che se u : R R è una funzione suriettiva ossia per ogni z R esiste x R tale che ux) = z), allora l equazione f ux) ) = 3 ha almeno una soluzione. Potrebbe essere utile notare che f5) = 0. e x 1 x x 2 2 2) a) Calcolare, se esiste, lim x 0 + x 4. b) Calcolare, al variare di a R, se esiste, e x 1 sinx) lim x 0 + x a 3) Sia data una successione a n tale che NON è vero che a n n + 8. Provare che esiste ε > 0 tale che esistono infiniti indici naturali n per cui a n 8 ε.

11 Secondo Esonero di Analisi Matematica I per STM Anno Accademico 2016/17 13/12/2016 COG 1) Sia x 3)x 5 2) 3 7 x +1) se x > 6 f a x) = 2. x + a se x 6 a) Per quali numeri reali x la funzione f a è continua in x, qualunque sia il numero reale a? b) Per quali numeri reali a la funzione f a è continua in tutto R? c) Risolvere la disequazione f 10 x) < 0. 2) a) Dire se la serie b) Dire per quali a R la serie 1 3 n se n pari c) Sia b n = 1 n β n 2 + n 3 3 n + 1 converge. 3n 5 + 1) a + 4 n converge.. Dire per quali β R la serie se n dispari n=2 1) n b n converge. NOTA. La parte c) dell esercizio 2) è la parte piú difficile del compito, ed è almeno parzialmente in piú, ossia si prende piú di 30 come punteggio totale.

12 Secondo Esonero di Analisi Matematica I per STM Anno Accademico 2016/17 13/12/2016 COG 1) Sia x 2)x 3 6) 2 5 x +2) se x > 5 f a x) = 2. x + a se x 5 a) Per quali numeri reali x la funzione f a è continua in x, qualunque sia il numero reale a? b) Per quali numeri reali a la funzione f a è continua in tutto R? c) Risolvere la disequazione f 9 x) < 0. 2) a) Dire se la serie b) Dire per quali a R la serie 1 5 n se n pari c) Sia b n = 1 n β n + n 4 5 n + n converge. 2n 7 + 3) a + 4 n converge.. Dire per quali β R la serie se n dispari n=2 1) n b n converge. NOTA. La parte c) dell esercizio 2) è la parte piú difficile del compito, ed è almeno parzialmente in piú, ossia si prende piú di 30 come punteggio totale.

13 Esonero di Analisi Matematica I per STM Anno Accademico 2016/17 21/11/2016 COG 1) Sia P x) = 7 2x) 40 3 ) x 5 + 2)x 3). a) Risolvere la disequazione P x) < 0. b) Sia f una funzione strettamente decrescente da R in R. Risolvere la disequazione fx) f7) ) P x) < 0. 2) a) Calcolare, al variare di b > 0, se esiste, il limite di successione lim n + 5 n b n n b + 1. b) Provare che se a n ) è una successione tale che la successione b n ) definita da b n = πa n 8 è convergente, allora a n ) è convergente. c) Provare che se a n ) è una successione tale che ogni sua estratta ha un estratta superiormente limitata, allora a n ) è superiormnte limitata. 10 x + 1) ) a) Calcolare, se esiste, il limite di funzione, lim x + 30 x + x b) Calcolare, al variare di c > 0, se esiste, il limite di funzione lim x 0 + c) Calcolare, al variare di α R, se esiste, il limite di funzione lim x 2 e 1 x 2 + ln1 + x α ) ) x + x 0 + x 2 + x 3. x 2 + x c x 2 + x π+2. NOTA. La parte c) dell esercizio 2) è la parte piú difficile del compito, ed è in piú, ossia si prende 30 senza farla.

14 Esonero di Analisi Matematica I per STM Anno Accademico 2016/17 21/11/2016 COG 1) Sia P x) = 6 5x 1) 52) x 7 4)x + 7). a) Risolvere la disequazione P x) < 0. b) Sia f una funzione strettamente decrescente da R in R. Risolvere la disequazione fx) f 2) ) P x) < 0. n b 2) a) Calcolare, al variare di b > 0, se esiste, il limite di successione lim n + n b 7 n + 3. b) Provare che se a n ) è una successione tale che la successione b n ) definita da b n = a n 2 +3 è convergente, allora a n ) è convergente. c) Provare che se a n ) è una successione tale che ogni sua estratta ha un estratta inferiormente limitata, allora a n ) è inferiormnte limitata. 7 x + 1) 3 + x 3) a) Calcolare, se esiste, il limite di funzione, lim x + 80 x + x 4 + 3x. x 4 + x π+3 b) Calcolare, al variare di c > 0, se esiste, il limite di funzione lim x 0 + x 4 + x c. c) Calcolare, al variare di α R, se esiste, il limite di funzione lim x 5 e 1 e xα 1 + x 2 ) x + x 0 + x 2 + x 3. NOTA. La parte c) dell esercizio 2) è la parte piú difficile del compito, ed è in piú, ossia si prende 30 senza farla.