Universitá di Roma Tor Vergata

Transcript

1 Universitá di Roma Tor Vergata Prof. A. Porretta 1) Determinare l estremo superiore e l estremo inferiore dei seguenti insiemi, e dire se si tratta di massimi o minimi. A = { } x [ π, π] : sin x 1 ; A = { ( 1) n, n n+1 IN} A = {x ( 1, 1) : tg x > 1} ; A = { n n+1, n IN} A = { ; ; } ; A = { x dove x soddisfa : x + x < } A = { log x x : > 0 } ; A = { x irrazionale : 1 x + 3 } 1 x A = {( ) 1 cos(nπ) n } 3, n IN ; A = { 1 1, n, m IN} n m ) Determinare l insieme di definizione delle seguenti funzioni: log x log(x + x) + log(x 1) 1 x log(sin x cos x) x 1 x x x + 1 x 3 1 x 1 + x arcsin 4 tg x + 1 x 1 + log(x 1) ( ) x + x 4 x x 3 x + 3) Date f(x) e g(x), scrivere le funzioni composte f(g(x)) e g(f(x)) nei casi seguenti: 1 x + 1, g(x) = x x, g(x) = 1 x 1 x, g(x) = sin x x + x, g(x) = x 3 x 3 1, g(x) = cos x log(x + 1), g(x) = 1 x

2 4) Dire se le seguenti funzioni sono invertibili nel dominio dato ed eventualmente calcolare la funzione inversa f 1 (x): cos( x ) x [0, π] x x x [, 1] 1 x x IR 3 x + x x [ 1, 0] 1 x IR x + 1 x x [0, 1] 3 x +1 ( ) log x 1 x Dom(f) tg x x ( π, π) x+5 sin(3x 1) x ( π 3, π 3 ) 3 x x [0, + ). 5) Disegnare un grafico approssimativo delle seguenti funzioni: sin x 1 cos(x 3 ) log 3 x 3 x + 1 cos(x π 4 ) x x (1 x) 3 log ( + x) tg(x) 1 x 1 + x 6) Determinare l estremo superiore e inferiore delle seguenti funzioni nel dominio indicato e dire se si tratta di massimi o minimi: log (1 x) x ( 1 4, 1 4 ] 1 + x x (, 1] x+1 x x > 1 x 3 x (, 0] cos(x 3 x + 3) x IR sin( 1 ) x [1, + ) x 1 x IR x 6x + 5 x [0, 4]. 1+ x 7) Dire se le seguenti funzioni sono periodiche e in tal caso determinare il periodo: sin(x) cos(1 + x) sin(x 3 ) x + tg x cos x (arctg x)

3 1 1 + sin(x) ( ) x tg 3 4 cos x sin(3x) tg(x) x ( ) x sin(3x) + cos 3 ( ) x cos sin(4x) 8) Risolvere le seguenti disequazioni: 4x > 0 3x 1 > x (x 1) cos x 1 < tg(πx) 0 cos x 3 < 1 x log x x + x 0 x 4 1 x x + 4 x (x 3 8) 1 3 x 9) Dire se le seguenti funzioni sono pari o dispari o né l uno né l altro. x 6 + sin( x 1) 1 + x sin x cos(x 3 + x ) x + sin x x tg x + x 1 + x 4 10) Siano A, B due insiemi di numeri reali. Si dica se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando le risposte e/o fornendo degli esempi: (a) L estremo superiore di A, se esiste, è unico. (b) Se A B allora sup(a) inf(b). (c) L insieme dei numeri naturali IN non ha punti di accumulazione. (d) Se M = sup(a), allora M 1 A. (e) Se m = inf(a) esistono infiniti valori a A tali che a < m + 1. (f) Sia A limitato superiormente. Allora sup(a) o è un massimo o è un punto di accumulazione per A. (g) Se M = sup(a), per ogni n N, esiste x n A tale che x n > M 1 n. (h) Un insieme finito di numeri ha sempre massimo e minimo.

4 (i) I punti di accumulazione dell intervallo (a, b) sono a e b. (l) inf(a B) inf(a) + inf(b). (m) Tra due numeri razionali si trova sempre almeno un numero irrazionale. (n) Se x 0 è un punto di accumulazione per A, esiste una successione di punti x n A che converge a x 0. 11) Dimostrare che la funzione sin(ω 1 x) + sin(ω x) è periodica se e solo se si ha ω 1 ω Q (e in tal caso calcolarne il periodo). 1) Determinare i punti di accumulazione dell insieme A = { m n, m, n IN}.

5 Risposte. 1) (da sinistra a destra, dall alto in basso) max = 5π, min = 5 π; max = 1, 6 6 min = 1; sup = 1, inf = π; max =, inf = 1; max = , min = ; sup =, min = 0; sup = 1, inf = 1 ; max = + 3, inf = 1; max =, min = 0; 3 sup = 1, inf = 1. ) (da sinistra a destra, dall alto in basso) (1, + ); ( 1, 1]; π +kπ < x < 5π +kπ; 4 4 x 0 e x 1; [ 1, + ); x > e x 1; x 0 e x 3 5; [, ) [7, + ); π + kπ x < π + kπ; (, 1]. 4 3) f(g) = 1, g(f) = 1 ; f(g) = 1 x, g(f) = 1 x ; f(g) = 1 sin x, x +1 (x+1) g(f) = sin( 1 x); f(g) = x 3 + x 3, g(f) = x + x 3 ; f(g) = cos 3 x 1, g(f) = cos(x 3 1); f(g) = log( + 1), g(f) = 1. x log(x+1) 4) si, f 1 (x) = arccos(x); si, f 1 (x) = 1 1+4x ; si, f 1 (x) = log (1 x); si, f 1 (x) = x 3 ; si, f 1 (x) = log 3 ( 1 1); si, f 1 (x) = x+1; si, x f 1 (x) = 6 1 x 5; no; no; si, f 1 (x) = (log 3 x). 6) sup = log ( 3 ), min = 1; sup = 5, min = 1; sup = +, inf = 1; sup = 3, min = 1; max = 1, min = 1; max = sin 1, inf = 0; sup = 1, inf = 0; max = 1, min = 0. 7) T = π; T = π; no; no; T = π; no; T = π; no; T = 4π; T = 6π; T = π; T = 4π. 8) x R; (, 1 4 ) ( 1, + ); k < x k per ogni k Z; π 6 + kπ < x < 11 6 π + kπ per ogni k Z; (0, 1] (, + ); (, 4) [7, + ); x R; (, 0] [, + ). 9) pari; niente; niente; niente; pari; dispari. 10) VFVFFVVVFFVV. 1) [0, ).