Esercizio 1 Calcolare i limiti delle seguenti successioni per n + :

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1 Esercizio 1 Calcolare i limiti delle seguenti successioni per n + : 1. n = (n 2 + sin n) sin 2 n 2. n = n cos( π ) sin( 2π ) n 3n 2 3. n = n e sin 1 n n 4. n = log a (n n 2 1) + log a n 5. n = n + 5 n 1 6. n = 3 n n 7. n = ( 2+sin n 5 ) n 8. n = (4 + cos n) n 9. n = n sin n n n = (1 + 2 sin 1 n )n 11. n = ( 3+nα 2+n )n α R 12. n = 1 n ( n+2 n+3 )n 13. n = (1 1 n 2 ) n3 14. n = n(3 n+1 n ) 15. n = 3 n+1 n 1 sin(n!) 16. n = ( 1)n 3n 3 log(n n+1) 17. n = (1 + a n 2 ) n a R 18. n = cos[(5n + 2 n2 )π] n = cos[(3 + 6n + 7 (n2 +1) )π] 20. n = n1/2 n n 3/2 +2n n = e n π cos(log n) 22. n = 1 cos( πn n ) 1

2 23. n = ( 1) n sin(log eπ n n 3 ) 24. n = e n sin(e n2 ) 25. n = n 2 n 2 cos(1/n) 26. n = arctan n n 27. n = (n 2 + n + 1) sin(2/n 2 ) 28. n = n(1 e n 1+n 2 ) 29. n = n(5 n 2 n ) 30. n = n 2 (e 1/n e 1/(n+1) ) 31. n = ( n2 +1 n 2 1 )2n2 32. n = (n!)3 e n n 2n 33. n = [1 + n! ] (n!) 2 n n (en) n log n n = (n+1)n+ (n 1) 35. n = n n! 1+n n = n n n log(1+e n ) 5 n+3 5 n+2e n 37. n = ( 1+n2 4+5n 2 ) log n 38. n = ( n3 1 n 2 1 )en 39. n = n 4 2n + 3 2n (1/ log n) 40. n = (n + 1) 41. n = 4n +( 4) n 2 n 42. n = n + 1/(2n) n n = (n+sin n)1/n (2+sin n) n n! 44. n = (1 e 1/n ) log(n!) 2

3 45. n = sin n log(5+e2n ) n α 46. n = (sin 1 n ) (n+1)n+2 (n+2) n+1 n n = n2 n n! 48. n = (1 cos 1 n ) log( n2 sin n 2 + e n ) = λ > 0, n+1 = n 1+ n 50. n = [log(e + 1/n)] n sin(n+2n 3 ) 51. n = n n! Esercizio 2 Determinare ma, min, sup ed inf dei seguenti insiemi: A = { R [] = 3} B = {3 2 n n N} C = { R < 2 } [ 1, 1) D = { R 2 2 < 4} E = { n 1 n+1 n N} Esercizio 3 Determinare la classe limite e le sottosuccessioni convergenti delle seguenti successioni: n = sin(nπ/3) n = tan(nπ/3) {0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, 0,...} Esercizio 4 Disegnare intuitivamente i grafici delle seguenti funzioni: a) f() = e 1 +1 ; F () = f() + ; G() = f() ; b) f() = log (10 )(2 7)(1 ) c) f() = 1 1 1; g() = ; h() = 1 ; s() = Esercizio 5 Risolvere le seguenti equazioni o disequazioni in C e disegnare l insieme delle soluzioni. 1. z 4 + z = 0 2. z z 2 + Rez = 2 z (Suggerimento: cercare prima le soluzioni reali e quelle immaginarie pure) 3

4 3. z(z) 5 = 2 4. z + 1 z + i 5. z + z + z z 2 6. z z + 2z 1 = 0 7. z 2 z 2 = i 8. z 2 + 3iz + 4 = 0 9. z 2 + 2z + i = z 3 z + 3z 2 4 = z 2 z zz = z 12. z z 2 ( )i z = 0 Esercizio 6 Rappresentare i seguenti sottoinsiemi di C: 1. D = {z = a + ıb C a 2 + b 2 < 4; a > 0; b > 0} E = {t C t = z 2, z D} F = {w C w 2 = z, z D} G = {u C u = z 1 z 2, z 1, z 2 D} 2. A = {z = + iy C (1 + i)( + iy) 2i = 2} Esercizio 7 Determinare Rez e Imz: z = (1+2i)2 ) (1 i) 3 (3+2i) 3 (2+i) 2 ; z = ( i+1 (1 i) 2 ) 3 ; z = 2 i z = (1+i)9 (1 i) 7 ; 1 1+8i ; 3 i 5 1+3i z = ( i 3 2 )3 ; Esercizio 8 Scrivere i seguenti numeri complessi in forma trigonometrica ed esponenziale: 2i; 3; 1+i 1 i 3 ; i 3+i 1 i ; (1+i)(3 3i) ( 2+i 6) 5 ; i(i 1) ( 3+1) 2 ; 1/ 3+i i/ ; sin α + i cos α, α R; 3 1 Esercizio 9 Trovare le radici complesse: z 2 = i z 4 = 1 4

5 z 4 = i Esercizio 10 Determinare l insieme S degli esponenti interi per cui la potenza ( 3 + i) n è reale negativa. Dimostrare che l equazione complessa z 3 3z 2 + (9 + 5i)z 2 10i = 0 ammette una soluzione immaginaria pura. 5

6 24/11/04 Esercizio 11 Calcolare i seguenti limiti: 1. lim n + log(1+n a ) Sh 2 1 n +1 Ch 1 n 2. lim + log(log ) 1+log 3. lim 0 [cos ], ove [t] indica la parte intera di t 4. lim 0 [ + ( []) 2 ], ove [t] indica la parte intera di t 5. lim 0 2/ lim lim + ( ) 8. lim 0 (1 ) 1 cos( π/2) 9. lim + (n+1) α n α n α 1 Esercizio 12 Data n = (sin n) log(5+e2n ), per quali valori di α R la successione { n } è limitata? Per quali valori ha n α limite? Esercizio 13 A partire dalla formula di Stirling per il fattoriale, dedurre (e riflettere su!!) i seguenti fatti: Formula di Stirling: n! nn 2πn e n, da cui segue che log(n!) n log n; lim n n! = + mentre lim n2 n! = 1 lim 2n n! n n = 0 mentre lim 3n n! n n = + lim n log n! = 0 mentre lim log n! n 1+ε = 0 ε > 0 Esercizio 14 Trovare dominio e limiti agli estremi del dominio delle seguenti funzioni: 1. f() = ; f() = 2. f() = e ; f() = log( ); cos 1 ; f() = arctan +2 1 f() = 2 e 3. f() = 3 log log +1 ; log f() = 3 1 ; f() = arctan 1 4. f() = e 1 ; f() = 2e 1. 6

7 01/12/04 Esercizio 15 Per quali α > 0 esiste finito lim n n! tan( 1 n α )? Esercizio 16 Dire (motivando!) se esistono i due seguenti limiti: lim 0 sin(1/) (e 2 log cos + ) lim 2 sin(1/) (e log cos 2 ) Esercizio 17 Utilizzando gli sviluppi di Taylor se necessario, calcolare lim 0 1 [log 1 1 (sin )e ] [0] lim 0 1 sin lim 0 e 1 2 lim 0 2 cos +1 e 2 2 sin 2 lim 0 sin +log(1 2 ) 2 (2+ 2 ) 2 lim 0 sin 2 sin lim 1 log 2 1 lim 0 ( 1 2 cot 2 ) lim 0 log sin lim 0 e e sin sin lim 0 +( tan log()1+ )1/ lim sin( 2 ) lim π/2 arctan( π/2) cos lim 0 log 2 (sin +1) tan 7

8 15/12/04 Esercizio 18 Studiare la continuità (facoltativo, anche la derivabilità) delle seguenti funzioni: { (sin )e 1/ per 0 f() = a per = 0 (a R) { f() = 2 1 per 0 e sin(1/) per < 0 e 2 1 per > 0 log(1+2 2 ) f() = (sin 2) 2 per < 0 sin( 3 ) f() = f() = { f() = { 0 per = 0 1+ per 0 e 1/ + b log(2 ) + c per < 0 2 arcsin( ) per < 2 2 π 2 (2 3) per 2 0 sin per > 0 +1 e per < 1 0 per 1 è conti- Esercizio 19 Dimostrare che esiste un unico valore a 0 per cui f a0 nua. Se a a 0, che tipo di discontinuità si ha? { f a () = 2 1 per a per > a Esercizio 20 Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di y = f() nel punto ( 0, f( 0 )): 1. f() = sin, 0 = π/3; f() = , 0 = 2 2. f() = log, 0 = 1; f() = a, 0 = 2 3. f() = ( log ) 3, 0 = 1; f() = cos log, 0 = e π/2 4. f() = e 2, 0 = log 2; f() = e, 0 = 1 Esercizio 21 Determinare i valori del parametro a, se esistono, per i quali la funzione { sin per > 0 f() = a 2 + (a 1) + a 2 + a per 0 8

9 i) sia continua e derivabile; ii) sia continua ma non derivabile; iii) sia discontinua. Esercizio 22 Per quali valori del parametro b la funzione { 3 + 3b log(2 ) per < 0 f() = log(1 + ) per 0 è continua e derivabile in R? Esercizio 23 Calcolare la derivata delle seguenti funzioni, dove esiste. Studiare i punti di non derivabilità, stabilendo di quale tipo si tratta. In caso di punti angolosi calcolare le due rette tangenti. 1. f() = ; f() = 3 2. f() = ; f() = e 3. f() = e ; f() = e f() = log 2 (1 + 3 ); f() = 1 5. f() = ( 2 ) 2 nell intervallo ( 1, 1) 6. f() = sin nell intervallo [ 1, 1] { 1/2 per 1 7. f() = 1/2 per < 1 { 1 per < 1 f() = 1 + ( 1) 3 per 1 Esercizio 24 Dire se la funzione f : [0, 2] R, f() = è invertibile. Calcolare la derivata di f 1 nel punto 2. Dire se la funzione f : R R, f() = + 3 è invertibile. Sia g = f 1 la funzione inversa; calcolare g (0). 9

10 20/12/04 Esercizio 25 Calcolare la derivata prima delle seguenti funzioni: f() = [f () = ] (+2)(3 1) ( ) 2 f() = 2 tan cot + cot(π/5) [f () = ] cos 2 sin 2 f() = 2 sin cos [f () = sin cos 2] f() = [f () = ] f() = e sin [f () = e (1+tan ) ] sin cos (1 tan ) 2 f() = tan + log cos [f () = ] cos 2 f() = log( + a ) [f () = 1 a ] f() = (sin log cos log ) [f () = sin log ] 2 f() = log cos + 1 [f () = tan 3 ] 2 cos 2 f() = (sin )e log cos [f () = 1 ] cos 2 f() = e e [f () = e +e ] f() = 2 log 1 + tan 2 [f () = tan ] 2 2 f() = arctan(a) 1 log 1 + a a 2 2 [f () = arctan(a)] f() = 1 [f () = 1 2 (1 log )] f() = 1 [f () = +1 (log + 1)] f() = (sin ) sin [f () = (sin ) sin cos (log sin + 1)] f() = ( ) [f () = 2 1 log e] f() = arctan sin [f () = cos (2 cos2 ) ] cos 2 cos 4 sin 2 +1 f() = log 1 1 [f () = 2 2 ( 1) f() = [f () =...] f() = log log [f () =...] Nota. A partire dai testi di tutti gli esercizi precedenti, potete esercitarvi a ricavare da ognuno il maggior numero di informazioni possibili, oltre alla richiesta dell esercizio specifico: dominio e segno delle funzioni (per chi deve migliorare equazioni e disequazioni), limiti agli estremi del dominio (per migliorare i limiti), eventuali asintoti, continuità, calcolo della derivata e derivabilità, grafico qualitativo della funzione (per sviluppare intuizione e ragionamento)... e così via! Buon Natale e buone vacanze! 10

11 12/01/05 Esercizio 26 Fare lo studio delle seguenti funzioni nel loro insieme di definizione (dominio, eventuali simmetrie, limiti agli estremi del dominio, segno, continuità, derivabilità e rette tangenti nei punti di non derivabilità, monotonia, massimi e minimi, eventuali asintoti e flessi...). f() = ; f() = ; f() = log 1 1+ ; f() = ; f() = 3 + ; f() = e 1+ 2 { e 1/ 2 per 0 f() = 0 per = ; per [ 1, 1] f() = 4 + log per < 1 sin(π) per > 1 f() = log ; f() = log(e + 2e ); f() = ; f() = 1 + sin ; f() = 1 ; f() = arctan 1; f() = arcsin ; f() = log(1 + ); +1 { f() = e per 1 < < 2 0 per (1, 2) { f() = e per < 2 ( 2)( + 2) 2 per 2 Esercizio 27 Sia f: R R una funzione tale che f() 2 R i) f è continua nel punto = 0? ii) f è continua in un intorno del punto = 0? iii) f è derivabile nel punto = 0? Esercizio 28 Cercare il minimo della funzione per > 0. 11

12 Esercizio 29 Cercare minimo e massimo su R della funzione f() = e 2. Si generalizzi al caso f() = k e α2 con k N e α R +. Esercizio 30 Stabilire se la seguente funzione è continua e/o derivabile in = 0: { 1 f() = [log( 1 ) 1 e sin ] sin 1 per 0 0 per = 0 Esercizio 31 Calcolare i seguenti limiti, stabilendo se si può applicare la regola di l Hopital: lim 0 e e sin lim 0 sin log(cos ) sin lim 0 log(1+sin ) sin 2 lim + sin +sin lim π 2 log(sin ) tan 2 lim 0 (e + ) 1/ 12

13 19/01/05 Esercizio 32 Fare lo studio delle seguenti funzioni nel loro insieme di definizione (dominio, eventuali simmetrie, limiti agli estremi del dominio, segno, continuità, derivabilità e rette tangenti nei punti di non derivabilità, monotonia, massimi e minimi, eventuali asintoti e flessi...). f() = 2 e 2 4 ; f() = log(1 + ); log 2 f() = ; f() = e 2+log ; f() = e 3 log ; f() = e +2 1 ; f() = log ; f() = log 2 ; f() = 3 log ; f() = 1 e ; f() = e 1 1 ; f() = log(1+) ; f() = log( ); f() = e log ; f() = e log(2 ) 2 ; { 2 1 f() = 1 per log per < 0 { log per 1 1+ log f() = e 1 per < 1 { e per 0 f() = 2 (1 log ) per > 0 { sin π per 0 f() = per < 0 e { sin( log f() = 2 ) per 0 0 per = 0 Esercizio 33 Studiare continuità e derivabilità delle seguenti funzioni in = 0. f() = sin 1; f() = 2 sin 1; { f() = 3 5a cos 2 1 per 0 0 per = 0 Esercizio 34 Cercare eventuali asintoti delle seguenti funzioni: f() = + sin ; f() = + sin ; f() = log(e + 2e ); f() = 1 + sin ; f() = ; f() = Ch Sh ; 13

14 f() = Sh Ch ; sin f() =. Esercizio 35 Calcolare f (77) (), ove f() = 1 1 ; f (92) (), ove f() = log(1 ); f (103) (), ove f() = sin + cos. Esercizio 36 Determinare e rappresentare graficamente (f g)() e (g f)(), ove f() = { per 0 0 per < 0 g() = 1 2. Esercizio 37 Si calcoli lo sviluppo di Mc Laurin dell ordine indicato delle seguenti funzioni: f() = 1 + sin f() = e sin2 f() = e 2 f() = log(1 sin 2 ) al III ordine; al V ordine; al IV ordine; al IV ordine. Esercizio 38 Si calcoli lo sviluppo di Taylor di: f() = cos rispetto al punto π/4; f() = e rispetto al punto 1; f() = log rispetto al punto 2. 14