Capitolo 2: funzioni reali di una variabile reale e applicazioni FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE E APPLICAZIONI

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1 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni CAPITOLO FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE E APPLICAZIONI Sono le funzioni aventi come dominio e codominio dei sottoinsiemi dei numeri reali; esse sono alla base dei modelli matematici presenti in ogni campo della scienza. Il paragrafo Applicazioni ha lo scopo di mostrare come, per risolvere con metodi matematici dei problemi concreti, il primo passo sia quello di costruire un modello matematico che ne consenta la traduzione in uno o più problemi matematici. DEFINIZIONE. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Una funzione f : A B è detta funzione reale di variabile reale. Esempi. f : [0,] R, f() = f : R R + 0, f() = Da ora in poi, se non specificato diversamente, quando si parla di funzione si intenderà sempre funzione reale di variabile reale. Talvolta il dominio D della funzione f non è specificato, in tal caso si sottintende che il dominio è il più grande sottoinsieme di R in cui la funzione esiste ossia si può calcolare f() per ogni D. Questo insieme è detto insieme (o campo) di esistenza della funzione. Se non indicato, come codominio si intende R. Per esempio se viene indicata solo la legge f :, si considera come dominio di tale funzione R + 0 = [0, + ) e come codominio si considera R.. RICERCA DEL CAMPO di ESISTENZA Come già detto, il campo di esistenza di una funzione f espressa analiticamente, è l insieme di tutti i valori della variabile indipendente per i quali hanno significato le operazioni che si devono eseguire su di essa per avere il valore f(). Per determinare il campo di esistenza di una funzione occorre determinare il più grande sottoinsieme di R in cui sono fattibili tutte le operazioni che figurano nella espressione analitica della funzione. In particolare: ) I denominatori devono essere 0. ) Se figura n, n pari, allora deve essere 0. ) Se figura log, allora deve essere > 0. 4) Se figura g() f() occorre porre f() > 0. Ovviamente se la funzione presenta più situazioni fra quelle sopra indicate, per determinare il campo di esistenza dovranno essere richieste contemporaneamente tutte le condizioni elencate sopra.

2 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Esercizi.. Determinare il campo di esistenza della funzione + f() =. ( ) Soluzione. Deve essere 0,. Il campo di esistenza della funzione è pertanto R {}.. Determinare il campo di esistenza della funzione f ( ) =. Soluzione. Deve essere > 0, >. Il campo di esistenza della funzione è pertanto (,+ ).. Determinare il campo di esistenza della funzione f ( ) = ln ( + ). Soluzione. Deve essere + > 0. Il campo di esistenza della funzione è pertanto ( ) (, + ), U. 4. Determinare il campo di esistenza della funzione f ( ) = Soluzione. La funzione esiste purché sia + 4 0, cioè 4 oppure. Il campo di esistenza della funzione è pertanto: R 4; = ; 4 U 4; U ; +. { } ( ) ( ) ( ) 5. Determinare il campo di esistenza della funzione f ( ) =.. + Soluzione. Affinché questa funzione esista, occorre che il radicando sia positivo o nullo (infatti la radice è di indice pari) e, affinché il radicando esista, occorre che il denominatore sia diverso da zero. Dunque si deve risolvere il seguente sistema : 0 +,, da cui < oppure. + 0, U, +. Il campo di esistenza della funzione è ( ) [ ) 6. Si consideri la funzione 4 f() = log( + ). Soluzione. La condizione di esistenza è che l argomento del logaritmo sia 4 positivo, ovvero + >0. Ponendo = t, la disequazione da risolvere diventa t t + > 0 che è sempre verificata per ogni t R, dunque anche per t > 0 e quindi per ogni R. Il campo di esistenza della funzione è R.

3 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni 7. Determinare l insieme di esistenza della funzione f ( ) =. log ( ) Soluzione. Ricordando le condizioni di esistenza delle radici, del logaritmo e di una frazione, si deduce che deve essere soddisfatto il seguente sistema: 0 > 0 >, e quindi deve appartenere a [, 4) U ( 4, + ). 0 0 log ( ) 0 4,4 U 4, +. Il campo di esistenza della funzione è [ ) ( ) 8. Determinare il campo di esistenza della funzione ( 7) f() =. + Soluzione. 0 0, + > 0, U (, + ) il campo di esistenza della funzione è (, 0) U 0, U (, + ). 9. Determinare il campo di esistenza della funzione Soluzione. 0 f() = ( ). > il campo di esistenza della funzione è: (,+ ) 0. Determinare il campo di esistenza della funzione Soluzione. > 0 0, ( ) f() =. > 0 (, ] U [, + ) il campo di esistenza della funzione è [,+ )., 0.. GRAFICO Grafico della funzione f è l insieme delle coppie (, f()). Se nel piano cartesiano ad ogni coppia (, f()) si associa il punto di coordinate (, f()), si ottiene un insieme di punti che costituisce una visualizzazione geometrica della funzione f. Se il grafico che rappresenta la funzione f è la curva C, si dice anche che la curva C ha equazione = f().

4 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Esempi di grafici.. f ( ) = ha come grafico 4 0. se 0 f ( ) = ha come grafico se > 0 0. GRAFICO DELLA FUNZIONE INVERSA Se f : A B è una funzione invertibile, il grafico di f e di f - dell altro rispetto alla bisettrice del e quadrante. sono uno il simmetrico Esempi.. Se f : R R, f ( ) = 4 allora f : R R, 4 ( ) + f =. f f

5 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni. Se f : [0, ] [0, 9], f ( ) = allora f : [0,9] [0,], f ( ) =. 9 f f FUNZIONI MONOTONE DEFINIZIONE. Una funzione f : A B si dice monotona nell insieme A se si verifica una delle seguenti condizioni : Per ogni, A, se < allora f( ) < f( ) (f strettamente crescente) Per ogni, A, se < allora f( ) f( ) (f crescente) Per ogni, A, se < allora f( ) > f( ) (f strettamente decrescente) Per ogni, A, se < allora f( ) f( ) (f decrescente) E importante notare che se una funzione f è strettamente monotona, ossia strettamente crescente o strettamente decrescente, allora è anche invertibile. Per convenzione, si dice che una funzione f : A B è crescente (decrescente) in un punto 0 A se è crescente (decrescente) in un intorno di 0. Esempi.. f ( ) = è strettamente crescente. Infatti per ogni < risulta <, ciò deriva dal fatto che = ( ) ( + + ) ed essendo + + se < 0 anche < 0. sempre positivo, Naturalmente essendo f() strettamente crescente, esiste la funzione inversa f ( ) =.. f() = + è strettamente decrescente. Infatti per ogni < risulta > e pertanto + > +. La f() ammette la funzione inversa ( ) + f =. 5

6 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni.5 FUNZIONI LIMITATE DEFINIZIONE. Sia f : A R, A R ; la funzione f si dice : Limitata superiormente se esiste t R tale che f() t per ogni A (fig. ). Limitata inferiormente se esiste t R tale che f() t per ogni A (fig. ). Limitata se esistono h, k R tali che h f() k per ogni A (fig. ). Graficamente una funzione limitata superiormente o inferiormente ha il grafico tutto compreso al di sotto, rispettivamente al di sopra, di una retta = t e analogamente se una funzione è limitata il suo grafico è compreso fra due rette = h e = k. = 7 = 7 0, 0 0 = 0 Fig. Fig. Fig. 6

7 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni.6 OPERAZIONI CON LE FUNZIONI. FUNZIONI COMPOSTE. Somma (addizione e sottrazione) Date le funzioni f : A R e g : A R, A R, si definisce la funzione somma (f ± g) : A R, A R, ponendo, per ogni A, ( f ± g)( ) = f( ) ± g( ) Esempio. Siano f, g : R R, con f() = + e g() = ; allora risulta (f g)() = +. Moltiplicazione per uno scalare Dati f : A R, A R, λ R si definisce la funzione λf : A R, A R, ponendo per ogni A ( λ f)( ) = λf( ) Esempio. Siano f : R R, f() = +, e λ = 7 ; allora risulta 7 f : R R, 7 f() = 7 ( + ). Prodotto di funzioni Dati f, g : A R, A R, si definisce la funzione prodotto fg : A R, A R, ponendo, per ogni A, (fg)() = f() g() Esempio. Siano f, g : R R, con f() = + e g() = ; allora risulta (fg)() = (+ ) = +. Composizione di funzioni Siano f : A B e g : C D due funzioni tali che f(a) C ( ossia l immagine di A è contenuta nel dominio di g ), allora si può considerare la funzione go f : A D definita, per ogni A, da (g o f)() = g(f()). La funzione go f si dice funzione composta di f e g (tale scrittura prevede che prima si applichi la f e poi la g ). go f : A f(a) g(f(a)) f() g(f()) Esempi.. Siano f : Z Z, f() = + ; g : Z Z, g() =, allora risulta (g o f)() = g(f()) = g( + ) = ( + ).. f() = ln( + ) è la composizione di g() = + e di h() = ln, infatti (h o g)() = h(g()) = h( + ) = ln +. ( ) 7

8 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni. f ( ) = + è la funzione composta da g() = + e da h ( ) =, infatti OSSERVAZIONI (ho g)() = h(g()) = h( + ) = +. L esistenza di go f non implica l esistenza di fo g. L operazione di composizione non è commutativa, ossia anche nel caso esistano sia go f che fo g, generalmente risulta go f fo g. Per esempio siano f, g : R R definite da f() = + e g()=. Risulta ( + ) ( + 4) ( go f)( ) = g( f( )) = g( + ) = e ( fo g)( ) = f( g( )) = f = + = 4 dunque go f fo g. Attenzione a non confondere f () con [f()]. Ad esempio se f : R-{0} R, f() = / risulta f () = (fo f)() = f(f()) =, mentre [f()] = (/). Se f è biettiva, la sua funzione inversa f - è la funzione tale che fo f - = f - o f = Id. (funzione identità), Esercizio. Sia f : R + 0 R + 0, f ( ) = e g : (, ] R, g( ) =. Si determinino, se esistono, le seguenti funzioni composte: a) fo g, b) go f, c) fo f, d) go g. Soluzione. a) fo g verifica la condizione di esistenza, risulta ( fo g)( ) = 4. b) go f non esiste, perchè f(r + 0) (, ], per esempio f(6) = 4 (, ]. 4 c) fo f verifica la condizione di esistenza, risulta ( f o f)( ) =. d) go g non esiste, perchè g(, ] (, ], per esempio g( ) = 5 (, ]. Esercizio. Siano f, g : R R definite da f() = e g() = +. Si determinino, se esistono, le seguenti funzioni composte: a) fo g, b) go f, c) fo f, d) go g. Soluzione. a) f o g verifica la condizione di esistenza, risulta ( fo g)( ) = ( + ) = b) g o f verifica la condizione di esistenza, risulta ( go f)( ) = ( ) + = +. 4 c) f o f verifica la condizione di esistenza, risulta ( fo f)( ) = ( ) = d) g o g verifica la condizione di esistenza, risulta ( go g)( ) = ( + ) + = + 6 Esercizio. Sia t : (, + ) R, t() = [ ln ( ) ]. Si trovino f, g, h tali che t = fo go h. Soluzione. f() =, g() = ln, h() =. 8

9 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Esercizio 4. 4 Si considerino le funzioni f() =, g() = ln, r() = /. Si determinino le espressioni delle funzioni composte ro f o g e go f o r e si dica se esistono. Soluzione. 4 (ro fo g)() = r(f(g()) = r(f(ln)) = r( (ln) ) = 4 (ln) 4 a ln a (ln) a 4 (ln) La funzione composta esiste e il suo campo di esistenza è ( 0,) U (, + ) essere > 0 e (ln) 4 0 ossia ln 0,. 4 (go f o r)() = g(f(r()) = g(f(/)) = g( ) = ln( ) = ln( ) 4 4 a a a ln 4 4 La funzione non esiste perché l argomento del logaritmo è non positivo., infatti deve.7 LE FUNZIONI ELEMENTARI. Sono così chiamate le funzioni mediante le quali vengono costruiti i modelli matematici. Si può anche dire che sono le funzioni che si usano come mattoni per costruire tutte le altre funzioni. Descriviamo brevemente le caratteristiche delle principali funzioni elementari..7.. La funzione valore assoluto Qualunque sia il numero reale, il valore assoluto (o modulo) di si indica con il simbolo ed è così definito se 0 = se < 0 La funzione valore assoluto f() = ha come dominio R ed è sempre positiva per 0. E strettamente decrescente in (, 0), mentre è strettamente crescente in (0, + ). f()= 0 Del valore assoluto è importante ricordare che per ogni numero reale r 0 risulta : 9

10 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni r se e solo se r r < r se e solo se r < < r r = r r r r Inoltre r se e solo se r oppure r > r se e solo se < r oppure > r..7.. Le funzioni lineari f() = m, m R e le funzioni lineari (affini) f( )= m + q, m, q R Queste importanti funzioni hanno tutte come grafico una retta, nel capitolo 0 sono riportate le principali formule relative alla retta. LE FUNZIONI f() = m, m R Queste funzioni, dette lineari, hanno il rapporto delle due variabili costante: = m. Quando si verifica questo, si dice che le due variabili sono direttamente proporzionali. Dunque le funzioni f() = m sono quelle che esprimono la proporzionalità diretta. Il loro grafico è sempre una retta passante per l origine. Precisamente risulta : m = m = m < < m < m < 0 0 < m < 0 LE FUNZIONI f() = m + q, m, q R Con abuso di linguaggio è consuetudine chiamare lineari anche le funzioni f() = m + q con q 0, il loro grafico è sempre una retta non verticale che si ottiene traslando il grafico della funzione lineare f()= m di q unità verso l alto se q è positivo, di q unità verso il basso se q è negativo. 0

11 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni = m + = m = m 0 Il numero q è dunque l ordinata del punto in cui il grafico di f() = m + q interseca l asse delle e si chiama intercetta o ordinata all origine. Attenzione! Le funzioni f() = m + q, q 0, non esprimono più la proporzionalità diretta. Data la loro importanza, studiamo più approfonditamente le funzioni lineari e le funzioni lineari affini, ossia le funzioni f() = m + q, m, q R. Significato di m. Sia f() = = m + q, m, q R e sia r la retta grafico della funzione f(). Si ha che : Il valore m esprime la pendenza della retta. Il valore di m indica di quanto aumenta la quando si aumenta di una unità la. Dimostrazione: Siano P ( ; ) e P ( +; ) due punti della retta r di equazione = m + q. Poiché i punti appartengono ad r, risulta : = m( + ) + q e = m + q sottraendo membro a membro e semplificando si ottiene = + m. Se ad esempio si ha la funzione f() = = 0,5, ad ogni aumento di una unità di, corrisponde un aumento di di 0,5 unità. Se si considera invece la funzione f() = = 4 + 7, all aumentare di di una unità, la aumenta di 4 unità, ossia diminuisce di 4 unità. I due esempi sopra riportati illustrano la seguente importante proprietà. La funzione f() = m + q è strettamente crescente se m > 0 strettamente decrescente se m < 0 costante se m = 0 Dunque: il segno di m indica se la funzione è crescente o decrescente; il valore assoluto di m indica la velocità con cui varia rispetto a.

12 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Esempi.. = 7, = 6 + Confrontando le pendenze si può affermare che la prima funzione cresce più rapidamente della seconda (indipendentemente dal valore di q).. = 0,5 + 7, = + 40 Confrontando le pendenze si può affermare che decresce più rapidamente la seconda funzione perché > 0,5. In particolare: se m = la e la variano allo stesso modo; se m = 0 la rimane costante. PROPRIETA Consideriamo la funzione = m + q e sia la variazione della funzione in corrispondenza dell incremento dato alla variabile. Il rapporto (detto rapporto incrementa- le) vale = m e pertanto è costante. Ciò significa che il rapporto incrementale è indipendente sia dal punto in cui si considera la variazione sia dall incremento e vale m. Infatti comunque presi due punti P ( ; ), P ( ; ) appartenenti alla retta r di equazione = m + q, si ha = m + q, = m + q da cui sottraendo membro a membro risulta : m = ossia m =. P ( ; ) P ( ; ) α 0 Il valore m = =, oltre a pendenza della retta r, è anche detto coefficiente angolare della retta r ( perché coincide con il valore della tangente trigonometrica dell angolo α formato dalla retta r con l asse positivo delle, ossia m = tg α ). Il rapporto è un elemento di particolare importanza dal punto di vista sia della matematica sia dell economia.

13 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni OSSERVAZIONE Le funzioni f() = m + q hanno come grafico una retta, ma non esauriscono tutte le rette del piano, rimangono escluse le rette parallele all asse (rette verticali). Queste rette infatti non rappresentano una funzione, la loro equazione è del tipo = k e si dice, per convenzione, che hanno pendenza infinita. Esercizio. Rappresentare graficamente le seguenti funzioni: a) f() = ; b) f() = + ; c) f() = ; d) f() = ; e) f() = ; f) f() = +. Soluzione. a) Retta con pendenza m =. b) Si ottiene traslando il grafico di a) di una unità verso l alto. c) Si ottiene traslando il grafico di a) di due unità verso il basso. d) Retta con pendenza m = +. e) Si ottiene traslando il grafico di d) di due unità verso il basso. f) Si ottiene traslando il grafico di d) di tre unità verso l alto. 0 Soluzione a) 0 Soluzione b) 0 Soluzione c) Soluzione d) Soluzione e) Soluzione f).7.. Le funzioni f() = a + b + c ; a, b, c R, a 0 Sia f() = a + b + c ; a, b, c R, a 0 ; il grafico di questa funzione si chiama parabola. I suoi punti hanno la stessa distanza dalla retta di equazione + b = e dal punto F ; con = b 4ac 4a a 4a ; la retta e il punto sono detti rispettivamente la direttrice e il fuoco della parabola.

14 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Il grafico di una parabola dipende : dal segno di a, dall avere oppure no intersezioni con l asse delle ascisse, ossia se esistono dei valori per i quali a + b + c = 0, ossia dipende dall essere = b 4ac maggiore, uguale o minore di zero. I punti di intersezione con l asse delle ascisse sono due se > 0, uno se = 0, nessuno se < 0. Risulta : a > 0 (concavità verso l alto) o convessità < 0 = 0 > 0 0 a < 0 (concavità verso il basso) 0 > 0 = 0 < 0 Come si vede questi grafici hanno : una retta di simmetria, detta asse della parabola; essa è parallela all asse delle b ordinate ed ha equazione : = a un punto di intersezione con l asse di simmetria; questo punto è detto vertice della b b + 4ac parabola ed ha coordinate V ;. Quando a > 0 il vertice è il a 4a punto in cui la funzione raggiunge il minimo valore; quando a < 0 il vertice è il punto in cui la funzione raggiunge il massimo valore. 4

15 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Il caso f() = a, a 0 Queste funzioni hanno come grafico una parabola con vertice nell origine degli assi e con asse di simmetria l asse delle ordinate. a > 0 0 a < 0 La funzione f() = a, a 0, è particolarmente importante perché rappresenta la proporzionalità quadratica ( = costante ) che troviamo in molti modelli economici. Esercizio. Si descriva il grafico delle seguenti funzioni : a) f() = ; b) f() = ; c) f() = ; d) f() = Soluzione. a) Parabola con la concavità verso l alto; asse di simmetria la retta = 0 (asse delle ordinate); vertice nel punto (0; 0) che è anche il punto in cui la funzione raggiunge il minimo valore. b) Parabola con la concavità verso il basso; asse di simmetria la retta = 0 (asse delle ordinate); vertice nel punto V(0; ) che è anche il punto in cui la funzione raggiunge il massimo valore. c) Parabola con la concavità verso il basso; asse di simmetria la retta = ; vertice nel punto V( ; ) che è anche il punto in cui la funzione raggiunge il massimo valore. d) Parabola con la concavità verso l alto; asse di simmetria la retta = 5 ; vertice nel punto V(5; 9) che è anche il punto in cui la funzione raggiunge il minimo valore Le funzioni f() = k/, k R {0} k Sia f ( ) =, k 0 ; essa è una funzione definita in R {0} e a valori in R {0}. Il suo grafico è una curva detta iperbole equilatera, risulta : 5

16 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni k > 0 k < Il grafico è costituito da due parti dette rami dell iperbole ed è simmetrico rispetto l origine degli assi cartesiani. Esistono inoltre due rette dette asintoti dell iperbole a cui i rami dell iperbole si avvicinano infinitamente senza intersecarle (nelle figure sopra sono gli assi cartesiani di equazione = 0 e = 0 ). k L equazione =, k 0, ossia = k, k 0, esprime la legge di proporzionalità inversa : due variabili non nulle e sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante. GENERALIZZANDO Se gli asintoti anziché essere gli assi cartesiani sono paralleli agli assi cartesiani, l equazione dell iperbole equilatera è ( 0 )( 0 ) = k e = 0, = 0 sono le equazioni degli asintoti. k > a + b Anche l equazione =, c 0, è l equazione di una iperbole equilatera c + d d a con asintoti paralleli agli assi cartesiani e di equazioni = e =. c c 6

17 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni.7.5. Le funzioni potenza f() = n Distinguiamo tre casi a seconda che l esponente sia intero positivo, intero negativo, razionale. caso ) Funzione f() = n con n N *. Essa è definita per ogni R ; ma ha proprietà diverse a seconda che l esponente sia pari o dispari. a) n pari: la funzione è nulla per = 0 e sempre positiva per 0, inoltre è strettamente decrescente per 0 e strettamente crescente per 0, ha minimo assoluto in (0, 0). In figura sono rappresentati i casi f() = e f() = 4. n = 4 n = 0 b) n dispari: la funzione è sempre strettamente crescente, in figura sono rappresentati i casi f() = e f() =. n = n = 0 OSSERVAZIONE Da quanto detto, la funzione potenza f() = n, n N *, nell intervallo [ 0, + ) è strettamente crescente sia nel caso n pari sia nel caso n dispari e quindi, essendo strettamente monotona, in questo intervallo la funzione ammette la funzione inversa. 7

18 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni La funzione inversa di f() = n, 0, si chiama funzione radice n-esima e si indica con f n ( ) = = n, 0. Le figure sotto illustrano i grafici delle funzioni f = n ( ) e ( ) n per n =,,. f = = n n = n = n = = n n = n = n = 0 0 caso ) Funzione f() = n con n N*. n Poiché = n, essa è definita per tutti i valori di eccetto il valore = 0. Questa funzione, per ogni n N*, può anche vedersi come quoziente f() f () delle funzioni definite da f () = e f () = n. In figura sono rappresentati i valori di f() = e f() =. = = 0 0 8

19 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni n caso ) Funzione f ( ) = con Ricordiamo che 0 = e che La funzione potenza m m n n m =, m n m Q. n m n = n m, per ogni m, n N *, R +. f ( ) = con esponente razionale, è la funzione composta m ottenuta componendo le funzioni g() = e h() = n, ovviamente limitatamente al dominio in cui si può effettuare l operazione di composizione La funzione esponenziale f() = a, a > 0, a R +. La funzione esponenziale f() = a, con a numero reale positivo, è una funzione definita per ogni R e risulta sempre positiva: f : R R + se a = la funzione esponenziale è costante se a > la funzione esponenziale è strettamente crescente se 0 < a < la funzione esponenziale è strettamente decrescente 0 < a < = a a > 0 Si noti che per a, a > 0, la funzione esponenziale f() = a è strettamente monotona e quindi la funzione è invertibile. La funzione inversa è definita sui numeri reali positivi (dato che l immagine di f() = a è costituita dai numeri reali positivi), essa si chiama funzione logaritmo. Più in generale, una funzine esponenziale ha la forma f() = k a, dove k è l intercetta, cioè f(0) = k La funzione logaritmo f() = log a, a > 0, a Fissato un qualunque numero reale positivo a, a, la funzione logaritmo f() = log a è una funzione che ha come campo di esistenza R + (reali positivi) e come codominio R (coincidente con l insieme delle immagini). La funzione logaritmo è l inversa della funzione esponenziale e quindi f() = log a = se solo se a = ; il numero a è detto base del logaritmo e argomento del logaritmo. 9

20 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni = log a a > 0 0 < a < Come si vede dai due grafici riportati in figura, la funzione logaritmo ha comportamenti diversi a seconda che sia a > oppure 0 < a <. Se a > la funzione è strettamente crescente ; è negativa per 0 < < ; è nulla per = ; è positiva per >. Se 0 < a < la funzione è strettamente decrescente ; è positiva per 0 < < ; è nulla per = ; è negativa per >. Particolarmente importante è il caso in cui la base del logaritmo è il numero di Nepero e =,7888 ; in questo caso si parla di logaritmi naturali e la notazione per indicarli si abbrevia con ln. Se la base è il numero 0, si parla di logaritmi decimale e, generalmente, si omette di indicare la base e si scrive semplicemente log. A conclusione, ricordiamo le principali proprietà dei logaritmi : a ( ) = log log log + loga = loga log r log = r log a loga log b =. log b a a a a a 0

21 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni.8 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE Da quanto visto nel paragrafo.7, le funzioni reali di variabile reale mediante le quali vengono costruiti i modelli matematici, appartengono esenzialmente a due famiglie: le funzioni potenza (con le loro inverse) e le funzioni esponenziali (con le loro inverse). Oltre a queste due, vi è una famiglia di funzioni che compare prevalentemente nei modelli atti a descrivere fenomeni periodici. Sono le funzioni trigonometriche. Per la loro importanza vengono richiamate a fine di questo capitolo anche se il loro dominio non è l insieme R dei numeri reali o un sottoinsieme di R. Come si vedrà il loro dominio ( o codominio se si tratta delle loro funzioni inverse ) è un insieme i cui elementi sono angoli. Inizieremo pertanto riportando le nozioni di base relative agli angoli..8. Segno di un angolo Dato un sistema di assi cartesiani ortogonali e una circonferenza di centro l origine O degli assi, sia P un qualunque punto sulla circonferenza. Facendo muovere sulla circonferenza il punto P si ottengono gli angoli con vertice in O e lati OP e l asse positivo delle ascisse. Si dice angolo giro l angolo determinato da un giro completo di P sulla circonferenza, a partire da P sull asse positivo delle ascisse. Per poter assegnare un segno positivo o negativo ad un angolo occorre fissare sulla circonferenza un verso di percorrenza per il punto P. Di norma si fissa il verso antiorario e perciò ad un angolo si assegna il segno positivo se P si muove in senso antiorario, il segno negativo se P si muove in senso orario. II P + α I II P I III O Angolo positivo + α IV O α III IV Angolo negativo α Le quattro regioni I, II, III, IV in cui gli assi cartesiani dividono il piano, sono dette quadranti..8. MISURARE GLI ANGOLI Per misurare gli angoli vi sono vari sistemi di misura, i due principali sono quello sessagesimale e quello in radianti. Nel sistema sessagesimale l unità di misura è l angolo grado definito come la 60-esima parte dell angolo giro.

22 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Nel sistema in radianti si definisce radiante l angolo che stacca sulla circonferenza con centro il vertice dell angolo, un arco uguale al raggio della circonferenza (NON dipende dal raggio della circonferenza considerata). Come passare dai Gradi ai Radianti e viceversa Dato un angolo si può passare dalla sua misura in gradi a quella in radianti, e viceversa, mediante la proporzione: π : 60 = α r : α π α 60 αr da cui α r = e α = dove α r e α indicano la misura dell angolo α 60 π rispettivamente in radianti e in gradi. Esempi. π. Se α = allora αr = = π radianti π. Se αr = π allora α = = 70 gradi. π Se α r = allora α = = 57 7 ' 44 '' gradi. π π.8. CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, si chiama circonferenza goniometrica la circonferenza di centro O (0,0) e raggio ; essa ha pertanto equazione: + = Si noti che nella circonferenza goniometrica un angolo e il suo arco associato sulla circonferenza hanno la stessa misura in radianti. P O + α

23 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni.8.4 FUNZIONI seno, coseno, tangente Dato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale e una circonferenza di centro l origine O degli assi, sia P un qualunque punto sulla circonferenza. Sia K la proiezione di P sull asse delle ordinate e H la proiezione di P sull asse delle ascisse. Quando il punto P si muove sulla circonferenza, il punto K si sposta sull'asse delle ordinate da C a D, mentre il punto H si sposta sull asse delle ascisse da A a B. Le funzioni trigonometriche principali (seno e coseno) studiano il movimento di K e H rispettivamente sull asse delle ordinate e sull asse delle ascisse, quando il punto P percorre la circonferenza. Poiché dopo un giro completo i punti P, K, H, si ritrovano nelle stesse posizioni, si è in presenza di funzioni periodiche. Per questo le funzioni trigonometriche sono atte a descrivere fenomeni di natura periodica. Per uniformità di linguaggio con le funzioni reali di variabile reale, da ora in avanti un angolo verrà indicato con la lettera. C K P B O H A D Funzione seno: f() = sin La funzione seno descrive il movimento di K fra C e D al muoversi di P sulla circonferenza. C P K Sia Ω l insieme degli angoli. La funzione seno è la funzione B D O H A sin: Ω [, ] definita da PH sin = per ogni Ω. OP Per le proprietà dei triangoli simili, il valore del rapporto PH non dipende dalla misura del raggio e pertanto nel caso OP =, ossia OP considerando la circonferenza goniometrica, risulta sin = PH = OK. Dalla definizione segue che i valori di sin variano fra e perché è sempre PH OP. Inoltre sin è positivo per gli angoli del I e II quadrante e negativo per gli angoli del III e IV quadrante.

24 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Segno di sin : + C P K + B O D A Valore del seno degli angoli fondamentali π π 0 = 0 = sin 0 π = 60 π = 90 π = 80 π = 70 0 Grafico =sin O π π π π Alcune proprietà della funzione sin E periodica di periodo π : sin = sin (+π). E dispari : sin ( ) = sin. Assume tutti e soli i valori dell intervallo [, ]. π π E crescente fra e (quarto e primo quadrante). π E decrescente fra e π (secondo e terzo quadrante). 4

25 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Funzione coseno: f() = cos La funzione coseno descrive il movimento di H fra A e B al muoversi di P sulla circonferenza. Sia Ω l insieme degli angoli. La funzione coseno è la funzione C K P cos: Ω [, ] definita da OH cos = per ogni Ω. OP B Per le proprietà dei triangoli simili, il valore del rapporto O H A OH non dipende dalla misura del raggio e pertanto OP nel caso OP =, ossia considerando la circonferenza D goniometrica, risulta cos = OH. Dalla definizione segue che i valori di cos variano fra e perché è sempre OH OP. Inoltre cos è positivo per gli angoli del I e IV quadrante e negativo per gli angoli del II e III quadrante. Segno di cos : B C K O D P H + A + Valore del coseno degli angoli fondamentali π π 0 = 0 = cos Grafico =cos π = 60 π = 90 π = 80 π = O π π π π 5

26 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Alcune proprietà della funzione cos E periodica di periodo π : cos = cos (+π). E pari : cos = cos ( ). Assume tutti e soli i valori dell intervallo [, ]. E crescente fra π e π (terzo e quarto quadrante). E decrescente fra 0 e π (primo e secondo quadrante). Funzione tangente: f() = tg π Sia Ω l insieme degli angoli e sia Ω = Ω \ + m π : m Ζ l insieme degli angoli il cui coseno è diverso da zero. Sia R l insieme dei numeri reali, la funzione tangente è la funzione tg : Ω R definita da sin tg = per Ω. cos Se si considera la circonferenza goniometrica, anche la tangente di un angolo può essere rappresentata geometricamente da un segmento. Infatti, considerata la circonferenza di raggio, sia S = (, 0) e sia T il punto di intersezione di OP con la retta parallela all asse delle ordinate e passante per S. Il segmento ST rappresenta la tangente dell angolo determinato da P, ossia T = (, tg ). E una funzione che assume tutti i valori reali ed è positiva nel I e III quadrante, è negativa nel II e IV quadrante. P T O S segno di tg C P K + B O D H 6 A +

27 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Valore della tangente degli angoli fondamentali π π π 0 = 0 = 45 = tg 0 π = 90 non esiste π = 80 π = 70 non 0 esiste grafico =tg 6 O π π π π 6 Alcune proprietà della funzione tg E periodica di periodo π : tg = tg ( + π ), E dispari : tg ( ) = tg. Assume tutti e soli i valori di R. E sempre crescente. Rappresenta il coefficiente angolare della retta OP. 7

28 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Riassumendo K P T O H S PH sin =, OP OH cos =, OP sin tg =. cos Tabella del valore degli angoli fondamentali 0 π π π = 0 = 45 = sin 0 cos tg 0 π = 90 π = 80 π = non esiste 0 non esiste.8.5 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSE Le funzioni sin, cos, tg essendo periodiche non sono funzioni biettive nel loro dominio naturale. Se però restringiamo il loro dominio in modo che su di esso siano biettive, su tale dominio si può considerare la loro funzione inversa. Funzione arcoseno: f() = arcsin E la funzione inversa della funzione sin. π π arcsin : [, ], π = arcsin 0 8 π

29 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Funzione arcocoseno: f() = arccos E la funzione inversa della funzione cos. 0, π arccos : [, ] [ ] π = arccos π Funzione arcotangente: f() = arctg 0 E la funzione inversa della funzione tg. arctg : R π π, π =arctg π 9

30 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni.8.6 FORMULE della TRIGONOMETRIA FORMULA FONDAMENTALE Dalla definizione delle funzioni sin e cos e dal Teorema di Pitagora, segue la Formula fondamentale della trigonometria: ( sin ) + ( cos ) = da cui si ricava sin = ± cos, cos = ± sin Questa formula assicura che basta conoscere una funzione trigonometrica per conoscere tutte le altre e in questo senso si può dire che esiste una sola funzione trigonometrica. ALTRE FORMULE della TRIGONOMETRIA Angoli associati sin ( ) = sin sin ( π ) = sin sin ( + π ) cos ( ) = cos cos ( π ) = cos cos ( + π ) tg ( ) = tg tg ( π ) = tg tg ( + π ) = sin = cos = tg sin cos tg ( π ) ( π ) ( π ) = sin = cos = tg π sin = cos π cos = sin π tg = cotg sin cos tg + π + π + π = = = cos sin cotg 0

31 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Formule di sottrazione Formule di addizione Formule di duplicazione sin cos tg sin cos tg ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) = sin cos sin cos = cos cos + sin sin tg tg = + tg tg = sin cos + sin cos = cos cos sin sin tg + tg = tg tg sin = sin cos cos = cos sin = sin tg tg = tg = cos Formule di bisezione sin cos tg = ± = ± = ± cos + cos cos + cos

32 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni.9 ESERCIZI DA SVOLGERE. Determinare il campo di esistenza delle seguenti funzioni: a) f ( ) = b) f ( ) = + c) = d) f( ) f ( ) = e e) f ( ) = ln ( + ) f) f( ) = 7 ln (4 ) g) f ( ) = h) f ( ) = ln ( 0) i) + f ( ) = ln l) f( ) = 4 + m) f( ) = e n) f ( ) = = p) f( ) o) f() + = q) f( ) = r) f( ) = s) f( ) = t) f( ) 5 4 = + ln 4 u) f( ) = v) f( ) = ln z) f( ) = w) f ( ) =.

33 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni RISPOSTE. a) R {, }; b) R { }; c) ; d) ; e) ; f) (, ) U(,4) ; g) R { 5}; h) ( 0,) U (, + ) ; i) ( ) ( 4, + ), U ; l) ; m) R {0}; n) (, ] U [, + ) ; o) (, + ); p) (, ) U (,) U (, + ); q) (, + ); r) (, 4) U ( 4, 4) U ( 4, + ); s) R {+, }; t) [ 0,) U (, + ); u) ( 0, ) U (, + ); v) R {}; z) R {e}; w) R {0}.. Determinare in quale dominio e codominio le seguenti funzioni ammettono la funzione inversa: a) f() = + b) f() = e c) f( ) = ( )( 6 ) d) f ( ) = e) f( ) + 4 = f) f ( ) = ln( + ) ( )

34 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni.0 APPLICAZIONI In questo paragrafo vengono riportati alcuni esempi di come problemi concreti si possono risolvere traducendoli in modelli matematici..0. Applicazioni nei modelli economici In economia un modello è un insieme di relazioni fra più variabili. Tali relazioni possono essere rappresentate graficamente o scritte come equazioni. In particolare con le funzioni lineari, le parabole e le iperboli equilatere si studiano problemi quali l equilibrio di mercato, i costi di produzione, il punto di indifferenza. I prossimi esercizi sono degli esempi che illustrano alcune applicazioni. Riportiamo la legenda delle principali notazioni usate: q quantità merce; C u costo variabile unitario (costo variabile per una unità di merce) ; C v costo variabile (dipende dalla quantità di merce prodotta C v = C u q) ; C f costo fisso (non varia al variare della quantità) ; C t costo totale (dato da C t = C v + C f = C u q + C f ) ; R u ricavo unitario (ricavo per una unità di merce); R t ricavo totale (dato da R t = R u q); π profitto (dato da π = R t C t ). Esercizio. (applicazione punto di equilibrio) I costi fissi C f di una impresa ammontano a indipendentemente dalla quantità q di merce prodotta. I costi variabili ammontano a.000 per ogni unità di merce prodotta. Il prezzo di vendita (ricavo unitario) R u del bene è pari a Riportare graficamente la situazione e discuterla. Soluzione. R t B E A C t q 0 q Il costo totale C t e il ricavo totale R t sono espressi rispettivamente dalle funzioni C t = C u q + C f, R t = R u q, ossia C t =.000 q , R t = q. Entrambe le funzioni hanno come grafico una retta; le due rette si intersecano nel punto E(0; ) detto punto di equilibrio perché in corrispondenza della quantità q 0 = 0 risulta C t = R t ossia non si ha né perdita né profitto e poiché l intercetta di C t è maggiore dell intercetta di R t si deduce che per una produzione q < q 0 l attività è in perdita mentre per una produzione q > q 0 si ha un profitto che, relativamente alla quantità q, è rappresentato dal segmento AB. 4

35 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Esercizio. (applicazione domanda e offerta) La quantità di domanda Q d e di offerta Q o di un bene dipendono dal prezzo p (p 0) dello stesso in base alle seguenti funzioni: Q d (p) = 7 p Q o (p) = 5 + p a) si giustifichi perché al crescere del prezzo la quantità domandata decresce e la quantità offerta cresce; b) si rappresentino nel piano cartesiano le funzioni Q d (p) e Q o (p) ; c) si determini il punto di equilibrio di mercato indicando sia il valore di p che quello di Q d (p) = Q o (p). Soluzione. a) Al crescere di p la funzione Q d (p) è decrescente perché la pendenza della retta che la rappresenta è negativa; la funzione Q o (p) è invece crescente perché la pendenza della retta che la rappresenta è positiva. Grafico; 5 Q 0 (p) Q d (p) p b) p =, Q d () = Q o () = 4. Esercizio. (applicazione punto di equilibrio) Nella produzione di un bene si ha un costo fisso di e un costo di 50 per unità di bene prodotto. Se il ricavo totale è espresso dalla funzione R t = 75 q, determinare : a) il valore di q in corrispondenza del quale si ha il punto di equilibrio; b) la funzione costo totale se il governo introduce una tassa fissa di 500 e il nuovo punto di equilibrio; c) la funzione costo totale se il governo, anziché una tassa fissa, introduce una tassa di 5 per ogni unità di bene prodotto. Soluzione. Il punto di equilibro si ha per q tale che C t (q) = R t (q). a) C t = 50q e quindi deve essere 50q = 75q da cui q = 0.000, in tale punto C t (0.000) = R t (0.000) = b) C t = 50q e quindi deve essere 50q = 75q da cui q = c) C t = (50 + 5)q e quindi deve essere 55q = 75q da cui q =

36 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Esercizio 4 (applicazione punto di equilibrio). Un azienda ha costi fissi pari a 0000 euro. Il costo variabile per unità di merce è. Tutta la produzione viene venduta a un prezzo unitario di 0. Determinare: a. le coordinate del punto di equilibrio b. le coordinate del punto di equilibrio nel caso in cui, ceteris paribus, il costo unitario variabile aumenti a 5 c. le coordinate del punto di equilibrio nel caso in cui, ceteris paribus, il prezzo unitario scenda a 8 Rappresentare in grafico le funzioni dei costi e dei ricavi nei vari casi. Soluzione. a. R ( ) = 0 C( ) = R( ) = C( ) 0 = = 50 C ( 50) = R(50) = 0(50) = 5000 Il punto di equilibrio ha coordinate (50, 5000). R() R(), C() C() b. R ( ) = 0 C( ) = R ( ) = C( ) 0 = = 000 C ( 000) = R(000) = 0(0000) =

37 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Il punto di equilibrio ha coordinate (000, 40000). R0, R() C() c. R ( ) = 8 C( ) = R( ) = C( ) 8 = = C( 666.6) = R(666.6) = 8(666.6) = 0000 Il punto di equilibrio ha coordinate (666.6, 0000). R(), C() R() C()

38 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Esercizio 5 (applicazione costi fissi e variabili) Il costo totale di un processo produttivo è di 8500 per 000 unità di prodotto e di 8500 per 4500 unità di prodotto. Determinare a. il costo fisso e il costo variabile unitario b. il costo totale per 4000 unità di prodotto Rappresentare graficamente i risultati ottenuti. Soluzione. a. La funzione del costo è C ( ) = CV ( ) + C f = Cu + C f 8500 = Cu C f 8500 = Cu C f C f = 8500 Cu = Cu Cu 000 C f C u = 4 = = 500 C( ) = b. C ( 4000) = (4000) = C() Esercizio 6 (applicazione vendite). Le vendite cumulate di acidulato di riso presso NaturaSì sono, a tutt oggi, pari a 0 litri, e aumentano a un ritmo di litri al mese. a. Se oggi è il dicembre, quanti litri di acidulato di riso avrà complessivamente venduto fra un anno NaturaSì? b. Qual è il tasso medio di incremento delle vendite cumulate tra febbraio e giugno? E tra gennaio e agosto? 8

39 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Soluzione. Sia t = tempo espresso in mesi (t =0 è dicembre) e sia ( t) venduto nell intervallo [ 0, t]. l = litri di acidulato di riso a. Basta usare l espressione di una retta passante per un punto: l( t) = 0 + ( t 0) = 0 + t l ( ) = 0 + () = 44 l(6) l() 4 8 = = = b. Il tasso medio di incremento delle vendite è di litri per unità di tempo, cioè ogni mese si vendono due litri di acidulato di riso. Nel periodo tra gennaio e agosto il tasso medio di incremento delle vendite cumulate è lo stesso, poiché la funzione è affine e il rapporto incrementale è costante. Esercizio 7 (applicazione scelta tra alternative). Cassina produce un pregiato tavolo di legno di ciliegio disegnato da Frank Llod Wright. Decidete di acquistarlo e lo trovate disponibile presso due punti vendita: il primo si trova sotto casa, il secondo è un negozio fuori città che si trova a una distanza di chilometri da casa vostra. Nel negozio sotto casa il prezzo di listino è di 700 euro e la consegna e il montaggio sono gratuiti, nel negozio fuori città il prezzo di listino è identico ma viene applicato uno sconto del 47%. a. Determinare la funzione che rappresenta la spesa sostenuta nel caso in cui il tavolo sia acquistato fuori città, considerando che la vostra auto percorre 5 chilometri con un litro di benzina (si consideri un prezzo di.45 euro al litro) e che il costo per la consegna e il montaggio dell'articolo è a carico vostro (.5 euro a chilometro). b. Determinare qual è la distanza massima che rende conveniente la trasferta per l'acquisto del tavolo. Soluzione. a. S ( ) = spesa sostenuta nel caso di acquisto nel negozio sotto casa S ( ) = spesa sostenuta nel caso di acquisto fuori città S ( ) = 700 benzina acquisto del tavolo consegna/ montaggio S ( ) = 700( 0.47) + () +.5() = = b. La trasferta è conveniente se S ( ) > S ( ) 700 > < 5.85 La distanza massima che rende conveniente la trasferta è pertanto =5.85. Esercizio 8 (applicazione ricavi e profitto). Il responsabile marketing di un azienda monoprodotto stima che l equazione di domanda per l azienda sia q = 0.06 p + 46 dove q è il numero di prodotti venduti e p è il prezzo unitario. I costi di gestione ammontano a a. Esprimere ricavi e profitti come funzioni del prezzo p. R( p) = p q( p) = p( 0.06 p + 46) = 0.06 p + 46p π ( p) = R( p) 5000 = 0.06 p + 46p

40 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni b. Determinare a quale prezzo dovrebbe essere offerto il prodotto per pareggiare il bilancio. π ( p) = p + 46 p 5000 = 0 p 65.55, p. c. Determinare a quale prezzo dovrebbe essere offerto il prodotto per ottenere il massimo profitto. Il vertice ha ascissa b 46 = = 8.. a ( 0.06) Pertanto il profitto massimo è π (8.) = 0.06(8.) + 46(8.) 5000 = d. Determinare se sarebbe possibile ottenere il pareggio anche se i costi di gestione salissero a π ( p) = 0.06 p + 46 p 0000 = 0. Questa equazione non ha soluzioni reali perché il discriminante è negativo: = = < 0 ; infatti, π (8.) = 0.06(8.) + 46(8.) 0000 = 8.4< 0 π(p) p

41 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni.0. APPLICAZIONI IN VARI CAMPI DELLA SCIENZA Esercizio (applicazione zoologia). Il frinire del grillo dipende linearmente dalla temperatura. Una sera d estate sentite il grillo frinire a un ritmo di 40 volte al minuto, e notate che la temperatura è di 4. Più tardi, la stessa sera, il grillo ha rallentato a 0 volte al minuto, e notate che la temperatura è calata a 0. Il giorno dopo volete misurare la temperatura, ma si è rotto il termometro. Sentite il grillo frinire a una frequenza di 00 volte al minuto. Esprimete la temperatura T come funzione della frequenza r del frinire del grillo e calcolate la temperatura mattutina. Soluzione La retta che descrive graficamente la funzione passa per i punti ( 40, 4) e ( 0, 0). T T T T 0 4 T 4 = = ( r 40) = T 4 r r r r 0 40 r 40 5 T ( r) = 0.r 4 T ( 00) = 0.(00) 4 = T(r) 4 0 r) 0 40 t Esercizio (applicazione demografia). Una popolazione cresce del % all anno. Se oggi la popolazione è di 5 milioni di individui, determinare quale sarà la popolazione fra t anni. Soluzione P = popolazione (in milioni). t = tempo (in anni) P(0)=5 P()=5+0.0(5)=5(.0) P()=5(.0)(.0)=5(.0) P()=5(.0) (.0)=5(.0) M P(t) = 5(.0) t- (.0) = 5(.0) t 4

42 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni P(t) = P(0) (fattore di crescita) t P() = 5., P() = 6.0, P() = 6.5, M etc. P(t) 5 Dom P= [0, + ) t Esercizio 4 (applicazione beni immobiliari) Il valore di un immobile cresce del % all anno. Si supponga che oggi il suo valore sia pari a 00 mila euro. Se il proprietario vuole vendere l immobile ad un prezzo di euro, quando potrà venderlo? Anno 0 t Valore () 00 00(.0) 00(.0) 00(.0) 00(.0) t ) t = 00(.0 (.0) t = log. 0 = t t ( ) = log t Dom t = [00, + ) 00 4

43 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Esercizio 5 (applicazione epidemiologia). Nelle prime fasi dell epidemia dell AIDS, il numero delle persone infette raddoppiava ogni sei mesi, e il gennaio 985 gli infetti erano. milioni. - Assumendo che la diffusione dell epidemia sia esponenziale, trovare un modello che permetta di prevedere il numero di persone infette dopo t anni. - Utilizzare il modello per stimare il numero di persone infette alla data dell ottobre 985. Soluzione.. Ogni anno il numero di persone infette dopo un anno si quadruplica, cioè t n ( t + ) = 4n( t), e inoltre n ( 0) =.. Quindi n ( t) =.(4) Ottobre 985 corrisponde a t=9/=0.75. Pertanto, n (0.75) =.(4). 68 N.B. Il modello esponenziale non può essere valido per un tempo molto lungo. Ad esempio, dopo 0 anni il nostro modello fornisce un numero di infetti pari a n (0) =.(4) Più di un miliardo di miliardi, ossia più di 00 milioni di volte la popolazione umana I modelli esponenziali sono utilizzati nelle prime fasi di un epidemia (gli epidemiologi prevedono un fenomeno di livellamento da un certo punto in poi). Esercizio 6 (Applicazione previsioni). Di seguito sono riportati i dati storici di due aziende relativi agli ultimi anni, nonché le previsioni per quest anno (anno 0) e per i prossimi due anni. Da quali funzioni possono essere formalmente rappresentati questi dati? Si trovi la previsione a anni per il profitto delle due aziende. 0 f() g() /9 / 6 8 Soluzione. La f() aumenta di 6 per ogni incremento unitario della. In generale = 6. Si tratta di una funzione affine con pendenza m=6. L intercetta è f(0) = 4. Quindi, f() = f() = 6 () + 4 =. La g() cresce di un fattore moltiplicativo pari a per ogni incremento unitario. Quindi si tratta di una funzione esponenziale del tipo g()= ka con. Si ha g(0)=k=, quindi g() = ( ) g() = () = 54 4

44 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Esercizio 7 (applicazione colonia di battèri). Una colonia di batteri è composta inizialmente da 000 batteri e la sua dimensione raddoppia ogni ore. Trovate un modello esponenziale che esprima la dimensione della colonia come funzione del tempo t in ore, e utilizzate il modello per predire quanti batteri vi saranno dopo giorno. Soluzione. t B ( t) = ka B ( t + ) = B( t) a = a = t B ( t) = 000 = 000 B (4) = 000 t ( ) ( ) / ( ) 4 = t + = ka ka t Esercizio 8 (applicazione tasso alcolico). Dopo diversi drink il tasso alcolico del sangue di una persona è 0. mg\dl. Se la quantità di alcool nel sangue diminuisce esponenzialmente riducendosi di un quarto ogni ora, qual è il tasso alcolico del sangue della persona dopo 4 ore? Soluzione. A(t)=quantità di alcool nel sangue dopo t ore t t A ( t) = k( ) A ( 0) = k = 0. A ( t) = 0.( ) 4 4 A (4) = 0.( ) 4 = Esercizio 9 (applicazione decadimento radioattivo). Il carbonio-4, un isotopo radioattivo del carbonio, è utilizzato per calcolare l età dei reperti archeologici. Esso decade trasformandosi in azoto: la quantità di carbonio-4 rimanente in un campione che in origine ne conteneva k grammi, è data da t C ( t) = k( ) dove t è il tempo in anni. Recentemente è stata scoperta una pianta contenente 0.5 grammi di carbonio-4 e con un età di anni. Quanto carbonio-4 conteneva in origine la pianta? Soluzione. C(50000)=0.5 per cui k ( ) = 0. 5 da cui k=. k=c(0) Esercizio 0 (applicazione decadimento radioattivo). Il peso del carbonio-4 che rimane in un campione che inizialmente pesava k grammi è dato da t C ( t) = k( ) dove t è il tempo in anni. Trovate il tempo di dimezzamento, ovvero il tempo perché metà del carbonio-4 di un campione decada. 44

45 Capitolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Soluzione. da cui 0.5k = C( t) = k( ) = log t 0. = anni circa. t 0.5 = ( ) e quindi 578 Esercizio (applicazione decadimento radioattivo). Un altro materiale radioattivo decade esponenzialmente e ha tempo di dimezzamento di 7000 anni. Quanto tempo occorre perché decada il 99.95% della sostanza di un campione? Soluzione. Se il tempo di dimezzamento è 7000 anni, allora C( 7000) = 0.5C(0) = 0. 5k Essendo la funzione esponenziale, si ha 7000 C( 7000) = k a. Pertanto k a = 0.5k a = 0.5 a = (0.5) 7000 t C( t) = k(0.5) 7000 t t t a = (0.5) 7000 C(t) = quantità di materiale non decaduto rimasto nel reperto = 0.05% della quantità iniziale = k k(0.5) t 7000 = k t (0.5) t 7000 t = log 7000 t = 7000 log = (0.0005) (0.0005) Alternativamente, da ( 0.5) = si ha ln(0.5) = ln(0.0005), e quindi t ln(0.0005) ln(0.5) = ln(0.0005) t = ln(0.5) Esercizio (applicazione spese sanitarie). Si supponga che la tabella seguente illustri la spesa annuale per gli istituti ospedalieri nei Paesi europei (t=0 rappresenta l anno 00) t Anno, t Spesa (milioni di euro), S(t)