Argomento2 Iparte Funzioni elementari e disequazioni

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1 Argomento Iparte Funzioni elementari e disequazioni In questa lezione richiameremo alcune fra le più comuni funzioni di variabile reale, mettendone in evidenza le principali proprietà. Esamineremo in particolare le funzioni: modulo, potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche. Vedremo infine l applicazione alla risoluzione delle disequazioni. Suggeriamo di disegnare più volte i grafici delle funzioni riportate in questa sezione in modo da essere in grado di riprodurle senza esitazioni: questo favorirà l apprendimento dei concetti successivi. Modulo La funzione modulo, f() =, ècosì definita: f() = rappresentato da: ½ se 0, se <0. Il suo grafico è Data una funzione f(), la funzione composta g() = f() ( modulo di f) hacomegrafico lo stesso grafico della f(), D in cui f() 0, mentre ha come grafico quello di f(), (cioè quello simmetrico rispetto all asse ) D in cui la f() < 0. Non si confonda la funzione g() = f() con la funzione h() = f( ) (funzione del modulo di ), cioè quella in cui il modulo è applicato alla variabile indipendente: quest ultima è sempre una funzione pari. Esempio. Sia f() =. Rappresentiamo i grafici di g() = edi h() = f( ) = : f() = g() (nerasottile),h() (verdespessa)

2 Funzione potenza Per funzioni potenza si intendono le funzioni del tipo ove α R e >0. f() = α Osservazione. Poichè con la stessa espressione formale si hanno situazioni molto diverse, bisogna prestare molta attenzione sia al dominio della funzione stessa sia al grafico, che possono differire molto al variare del valore del parametro α. In alcuni casi particolari, l insieme di definizione della funzione f() = α può essere esteso :. Se α èunintero positivo la funzione potenza èdefinita R.. Se α èunintero negativo o nullo la funzione potenza èdefinita per ogni 6= 0.. Sia α = n+,doven è un intero. Ricordando la definizione di n e tenendo conto che n = n, valgono le seguenti affermazioni: se α è positivo, si può estendere l insieme di definizione a tutto R, seα è negativo a tutti i numeri reali 6= 0.. Sia α un numero razionale della forma m,conm, n + interi primi fra loro. Se α è positivo, n+ la funzione potenza èdefinita R, mentre, se α ènegativo,èdefinita 6= Infine se α = m > 0, con m, n positivi, primi fra loro, la funzione potenza èdefinita per ogni n 0. Lo stesso se α > 0è un numero irrazionale. Potenze ad esponente intero Supponiamo che α sia un intero positivo econsideriamoperprimacosaalcunigrafici (nero), (verde), (rosso), 5 (blu) Riportiamo di seguito i grafici delle stesse funzioni, relativi a un dominio di definizione più ampio. Sitenganopresenteladefinizioneeleproprietà delle potenze (Minimat - Lezione )

3 (nero), (verde), (rosso), 5 (blu) Osservazione. Se α èuninteropositivodispari, pers<t si ha s α <t α,cioèlafunzioneè monotòna crescente (in tutto il dominio). Se invece α è un intero positivo pari, considerati due valori s, t, con0 <s<t,allora s α <t α, mentre s α >t α se s<t<0, cioèlafunzioneècrescenteper>0 mentre èdecrescenteper<0. Supponiamo ora che α sia un intero negativo e consideriamo per prima cosa alcuni grafici (nera), (verde) (verde), (nera) Osservazione. Se α è un intero negativo dispari ese0 <s<t oppure se s<t<0, allora s α >t α,cioè la funzione èdecrescentesu(, 0) esu(0, + ). Se invece α èuninteronegativopari ese s<t<0, allora s α <t α,cioèlafunzioneècrescente su (, 0); se 0 <s<tallora s α >t α,cioèlafunzioneè decrescente su (0, + ).

4 Funzione Radice (nero), (verde) - (nero), 5 (verde) Osservazione. Denotato con n un numero intero > 0, lafunzione n èdefinita per 0, ed è monotóna crescente nel suo dominio. Invece la funzione n èdefinita in tutto il campo reale ed ècrescente. Osservazione.5 Se consideriamo la funzione potenza f() = n e la funzione radice g() = n, esse sono una l inversa dell altra sull insieme [0, + ). Ad esempio, consideriamo f() = e g() = ; osserviamo che i due grafici sono simmetrici rispetto alla retta y = : (nero), (rosso sottile), (verde) Osservazione.6 Denotato con n un numero intero > 0, lafunzione n èdefinita per >0 ed è decrescente nel suo dominio, mentre la funzione n èdefinita 6= 0ed è decrescente su (, 0) esu(0, ).

5 f() = (nero), g() = (verde) f() = 5 (verde), g() = (nero) Esponenziali e logaritmi Funzione esponenziale Si dice esponenziale una funzione del tipo f() =a ove a èunnumeroreale> 0 fissato, detto base, mentre è un numero reale qualsiasi. Pertanto il dominio della funzione è tutto R. Al variare della base il grafico varia; in particolare se a =sihaf() = =, mentre se a> oppure 0 <a<, l andamento è quello indicato nelle due figure che seguono (verde), (nero), (rosso sottile) = (verde), (nero) La funzione esponenziale è crescente se la base a è >, mentre è decrescente se 0 <a<. In entrambi i casi l immagine è costituita da (0, + ). Osserviamo che per a>0, a 6=, la funzione esponenziale è invertibile, mentre per a =nonloè (perchè nonè iniettiva!). Funzione logaritmo Si dice funzione logaritmo una funzione del tipo f() =log a 5

6 ove a è un numero reale positivo, diverso da ed>0;essarappresentalafunzioneinversadi a. Valgono le due relazioni a log a = per ogni >0(a>0, a6= ) log a (a )= per ogni numero reale (a >0, a6= ) (si ricordi che a > 0perognia>0, reale). L insieme di definizione della funzione logaritmo è(0, + ), la sua immagine è(, + ). Essa è crescente se la base a è maggiore di, mentre è decrescente se 0 <a<. Diamo qui di seguito il grafico di una funzione logaritmo in alcuni casi particolari: blu: log (), sottile: log (), verde: log 0 () sottile: log / (), blu: log / (), verde: log /0 () Osservazione.7 Utilizzando la formula del cambiamento di base si ha log /a () = log a, se a>0, a 6= (notare i grafici!). Osservazione.8 Poichè f() = a e g() = log a (con a > 0, a 6= ) sono una l inversa dell altra, nel caso a =si hanno i seguenti grafici: f() = (nero), g() =log (verde) 6

7 Funzioni trigonometriche Le funzioni trigonometriche principali sono 7 sin (seno di ), 7 cos (coseno di ), 7 tg (tangente di ). Nel piano cartesiano consideriamo la circonferenza, centrata nell origine, di raggio. Siano A =(, 0) e P un punto sulla circonferenza. Sia O l origine degli assi. Al variare di P sulla circonferenza, il segmento OP descrive un angolo rispetto al segmento OA. Diremo che l angolo è orientato positivamente se è percorso in senso antiorario, l angolo è orientato negativamente se è percorso in senso orario. Per misura in radianti di un angolo orientato si intende il numero che esprime la lunghezza dell arco di circonferenza compresa fra OA e OP, presa con il segno positivo, se è orientato positivamente, oppure negativo, se l angolo è orientato negativamente. Per esempio, la misura dell angolo giro, percorso in senso antiorario, equivale a π, ovvero al valore della lunghezza della circonferenza di raggio. Se rappresenta la misura, espressa in radianti, dell angolo compreso fra i segmenti OA e OP, allora cos rappresenta l ascissa del punto P sin rappresenta l ordinata del punto P tg èdefinita come il rapporto sin / cos (quando cos 6= 0) e rappresenta l ordinata di AP 0. Riportiamo alcuni valori nella seguente tabella. 0 π/6 π/ π/ π/ π π/ sin 0 / / / 0 - cos / / / 0-0 tg 0 / non èdefinita 0 non èdefinita Richiamiamo alcune proprietà fondamentali. 7

8 Le funzioni sin, cos sono definite per ogni R e hanno come immagine [, ]. Sono entrambe periodiche di periodo π: sin( +kπ) =sin, cos( +kπ) =cos per ogni intero k. La funzione sin è dispari, mentre cos èpari: sin( ) = sin, cos( ) = cos per ogni reale. Se si aggiunge π a, si ottiene il punto opposto sulla circonferenza, per cui sin( + π) = sin, cos( + π) = cos per ogni reale. Inoltre valgono le seguenti espressioni cos( + π )= sin, sin( + π )=cos. Quest ultima proprietà permette di dire che il grafico di cos si ottiene da quello di sin traslandolo verso sinistra di π/, come si vede nella figura successiva Vale l identità fondamentale: sin (nero), cos (verde) cos +sin = perogni reale. Sono molto utili le formule di addizione: sin( + y) =sin cos y +siny cos, cos( + y) =cos cos y sin sin y per tutti gli, y reali. Come caso particolare, mettendo = y si hanno le seguenti sin() =sin cos, cos() =cos sin, per ogni R. La funzione tg =sin/ cos èdefinita per ogni tale che cos 6= 0,ovvero: 6= π/+kπ per ogni intero k. È periodica di periodo π. Infatti, poichè sin( + π) = sin, cos( + π) = cos, siha tg ( + π) = sin( + π) cos( + π) = sin cos = sin cos =tg. È dispari, infatti: tg ( ) =sin( )/ cos( ) = sin / cos = tg. Ricordiamo che una funzione si dice periodica di periodo T se D si ha che f( + T )=f(). 8

9 Funzioni trigonometriche inverse f () =tan Le funzioni trigonometriche non sono invertibili sul loro dominio naturale; infatti, essendo periodiche, non sono iniettive. Per esempio, l equazione sin = 0 ha infinite soluzioni: = kπ per ogni k Z. È però possibile introdurre le funzioni inverse di sin,cos,tg a patto di restringere il loro dominio in modo opportuno. La funzione sin, se considerata sull intervallo [ π/, π/], è iniettiva (è strettamente crescente!), e la sua immagine èdatada[, ]. È possibile pertanto definire su [, ] la funzione inversa arcsin (arcoseno di ), che ha immagine [ π/, π/]eleproprietà arcsin(sin ) =, [ π/, π/], sin(arcsin ) =, [, ]. La funzione cos, se considerata sull intervallo [0, π], è iniettiva (è strettamente decrescente!), e la sua immagine è data da[, ]. È possibile pertanto definire su [, ] la funzione inversa arccos (arcocoseno di ), che ha immagine [0, π] eleproprietà arccos(cos ) =, [0, π], cos(arccos ) =, [, ]. 9

10 f () =arcsin f () = arccos La funzione tg, se considerata sull intervallo aperto ( π/, π/), è iniettiva, e la sua immagine èdatada(, + ). È possibile pertanto definire su R la funzione inversa arctg (arcotangente di ), che ha immagine ( π/, π/) eleproprietà arctg(tg ) =, ( π/, π/), tg(arctg ) =, R f () = arctan 0