Funzioni elementari. per ogni x R. 1 se n =0

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Daniella Di Gregorio
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1 Funzioni elementari 1 Funzioni elementari...pag Potenze ad esponente naturale...pag Potenze ad esponente intero negativo...pag Potenze ad esponente razionale positivo non intero...pag Potenze ad esponente razionale negativo non intero...pag Potenze ad esponente irrazionale...pag Funzioni esponenziali...pag Funzioni logaritmiche...pag Funzioni trigonometriche...pag Funzioni trigonometriche inverse...pag Funzioni iperboliche e loro inverse...pag. 8 2 Funzioni definite a tratti...pag Segnante...pag Valore assoluto...pag Parte intera...pag Mantissa...pag FUNZIONI ELEMENTARI 1.1. Potenze ad esponente naturale: f (x) =x n con n N. Ricordiamo che per definizione si pone x n xx x (n volte) se n = 0 = per ogni x R. 1 se n =0 Si tratta di funzioni pari se n è pari, dispari se n è dispari. Domini, immagini, limiti agli estremi del dominio ed intervalli di iniettività e monotònia sono evidenti dai grafici. 1

2 2 M.GUIDA, S.ROLANDO 1.2. Potenze ad esponente intero negativo: f (x) =x n con n N. Ricordiamo che per definizione si pone x n = 1 x n per ogni x R, x= 0. Sono funzioni pari se n è pari, dispari se n è dispari. Domini, immagini, limiti agli estremi del dominio ed intervalli di iniettività e monotònia sono evidenti dai grafici Potenze ad esponente razionale positivo non intero: f (x) =x m n con m, n N primi tra loro, n = 1. Ricordiamo che per definizione si pone x m n = n x m per ogni x R tale che la radice abbia senso. Occorre allora distinguere vari casi, sulla base della parità o disparità di m ed n. m pari Si tratta di funzioni pari, con dom f = R.

3 FUNZIONI ELEMENTARI 3 m dispari ed n dispari Si tratta di funzioni dispari, con dom f = R. m dispari ed n pari Risulta dom f =[0, +) Potenze ad esponente razionale negativo non intero: f (x) =x m n con m, n N primi tra loro, n = 1. Ricordiamo che per definizione si pone x m n = 1 n x m per ogni x = 0talechelaradiceabbiasenso. Occorre ancora distinguere vari casi, sulla base della parità o disparità di m ed n. m pari Si tratta di funzioni pari, con dom f = R \{0}.

4 4 M.GUIDA, S.ROLANDO m dispari ed n dispari Si tratta di funzioni dispari, con dom f = R \{0}. m dispari ed n pari Risulta dom f =(0, +) Potenze ad esponente irrazionale: f (x) =x con R \ Q. La potenza x èdefinita tramite un procedimento di approssimazione mediante potenze ad esponente razionale, che non richiamiamo. Risulta dom f =(0, +) se < 0, dom f =[0, +) se > 0. Immagini, limiti ed intervalli di iniettività e monotònia sono evidenti dai grafici.

5 FUNZIONI ELEMENTARI Funzioni esponenziali: f (x) =a x con a R,a>0. Risulta dom f = R in ogni caso e particolare rilevanza ha la base irrazionale e = (numero di Nepero). Valgono le seguenti proprietà: per ogni x R si ha a x = 1 a x ; per ogni x, y R si ha a x a y = a x+y, per ogni x R e b R,b>0 si ha a x b x =(ab) x a x a y = axy e (a x ) y = a xy ; e a x a x b x =. b 1.7. Funzioni logaritmiche: f (x) =log a x con a R,a>0,a= 1. Sono le funzioni inverse delle funzioni esponenziali: log a a x = x per ogni x R, a log a x = x per ogni x>0. Risulta dom f =(0, +) in ogni caso. Immagini, limiti agli estremi del dominio ed intervalli di iniettività e monotònia sono evidenti dai grafici. Valgono le seguenti proprietà: log a x +log a y =log a (xy) per ogni x, y > 0; x log a x log a y =log a per ogni x, y > 0; y

6 6 M.GUIDA, S.ROLANDO log a (x )=log a x per ogni x>0 e R; log a x = log b x per ogni x>0 e b R,b>0,b= 1(cambiamento di base). log b a 1.8. Funzioni trigonometriche: sin x, cos x, tan x, cot x. Le funzioni seno (dispari) e coseno (pari) sono definite per ogni x R, tramite il procedimento geometrico seguente: (cos x, sin x) sono le coordinate del punto P (x) che si rintraccia sulla circonferenza goniometrica X 2 + Y 2 =1, partendo dal punto (1, 0) e percorrendo un arco di lunghezza pari a x, in senso antiorario se x 0, in senso orario se x<0. Si tratta di funzioni limitate e periodiche di periodo minimo 2: per ogni x R si ha infatti sin x 1 e cos x 1 e sin (x +2) =sinx e cos (x +2) =cosx. Immagini ed intervalli di iniettività e monotònia sono evidenti dai grafici. Sono notevoli le seguenti identità:

7 FUNZIONI ELEMENTARI 7 cos 2 x +sin 2 x =1 per ogni x R; sin (x + y) =sinx cos y +cosxsin y per ogni x, y R; cos (x + y) =cosxcos y sin x sin y per ogni x, y R. Le ultime due relazioni sono note come formule di addizione e da esse discendono numerose altre identità di uso frequente, tra cui ad esempio le cosiddette formule di duplicazione, bisezione, prostaferesi e Werner. Ci limitiamo qui a ricordare le seguenti formule di duplicazione: per ogni x R risulta sin (2x) =2sinx cos x e cos (2x) =cos 2 x sin 2 x. Vale inoltre la disuguaglianza sin x x sin x cos x per ogni x 2,. 2 e Le funzioni tangente e cotangente sono definite da tan x = sin x cos x per ogni x R tale che cos x = 0 cot x = cos x per ogni x R tale che sin x = 0 sin x e risultano dispari e periodiche di periodo minimo Funzioni trigonometriche inverse: arcsin x, arccos x, arctan x. Le funzioni x 2, 2 sin x [1, 1], x [0, ] cos x [1, 1], x 2, 2 tan x R sono iniettive (e suriettive sugli insiemi di arrivo indicati) e possono quindi essere invertite, ottenendo rispettivamente le funzioni arcoseno (dispari), arcocoseno e arcotangente (dispari): arcsin (sin x) =x per ogni x 2, 2, sin (arcsin x) =x per ogni x [1, 1], arccos (cos x) =x per ogni x [0, ], cos (arccos x) =x per ogni x [1, 1], arctan (tan x) =x per ogni x 2, 2, tan (arctan x) =x per ogni x R.

8 8 M.GUIDA, S.ROLANDO Funzioni iperboliche e loro inverse: sinh x, cosh x, tanh x. Per ogni x R, perdefinizione si pone sinh x = ex e x, cosh x = ex + e x, tanh x = sinh x 2 2 cosh x = ex e x e x + e x. Seno e tangente iperbolici sono funzioni dispari, mentre il coseno iperbolico è pari. Segnaliamo inoltre le seguenti identità: cosh 2 x sinh 2 x =1 per ogni x R; sinh (x + y) =sinhx cosh y +coshx sinh y per ogni x, y R;

9 FUNZIONI ELEMENTARI 9 cosh (x + y) =coshxcosh y +sinhxsinh y per ogni x, y R. Le funzioni x R sinh x R, x [0, +) cosh x [1, +), x R tanh x (1, 1) sono iniettive (e suriettive) e possono quindi essere invertite, ottenendo rispettivamente le funzioni sinh 1 x =log x + x 2 +1 per ogni x R cosh 1 x =log x + x 2 1 per ogni x [1, +) tanh 1 x = 1 1+x 2 log per ogni x (1, 1) 1 x di cui omettiamo i grafici. Tali funzioni sono spesso chiamate settore seno iperbolico (sett sinh), settore coseno iperbolico (sett cosh) esettore tangente iperbolica (sett tanh), rispettivamente. 2. FUNZIONI DEFINITE A TRATTI 2.1. Funzione segnante: f (x) =sgn(x). Per definizione, si pone 1 se x>0 sgn (x) = 0 se x =0 1 se x<0 per ogni x R. Osserviamo che lim x0 x0 sgn (x) =1 = 0=sgn(0)e lim sgn (x) =1= 0=sgn(0) Funzione valore assoluto: f (x) = x. Per definizione, si pone x se x 0 x = per ogni x R. x se x<0 Si osservi che risulta x =sgn(x) x per ogni x R e sgn (x) = x per ogni x = 0. x

10 10 M.GUIDA, S.ROLANDO 2.3. Funzione parte intera: y =[x]. Per definizione, la parte intera [x] di un qualunque x R è il massimo intero che non supera x, ossia... 2 se x [2, 3) 1 se x [1, 2) 0 se x [0, 1) [x] =max{k Z : k x} = per ogni x R. 1 se x [1, 0) 2 se x [2, 1) 3 se x [3, 2)... Osserviamo che se k Z, allora lim [x] =k 1 = k =[k] e lim xk [x] =k =[k] (continuità da destra in k); xk + se x 0 (k, k +1)con k Z, allora lim xx 0 [x] =k =[x 0 ] (continuità in x 0 ) Funzione mantissa: y = M (x). La mantissa M (x) di un qualunque x R èdefinita da M (x) =x [x] da cui segue la decomposizione x =[x]+m (x) per ogni x R. Osserviamo che la funzione mantissa risulta limitata e periodica di periodo minimo 1. Inoltre se k Z, allora M (x) =1= 0=M (k) e lim M (x) =0=M (k) (continuitàdadestraink); + lim xk se x 0 (k, k +1)con k Z, allora lim xx 0 M (x) =x 0 k = M (x 0 ) (continuità in x 0 ). xk

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