Funzioni elementari: funzioni trigonometriche 1 / 17

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1 Funzioni elementari: funzioni trigonometriche 1 / 17

2 La circonferenza di equazione x 2 + y 2 = 1 é detta circonferenza goniometrica. La circonferenza goniometrica 1 P 1 α 0 A 1 2 / 17

3 La circonferenza goniometrica 3 / 17 I suoi angoli sono misurati in radianti la cui misura é data come AP α = OA dove AP indica la lunghezza del corrispondente arco di circonferenza, mentre OA indica la lunghezza del raggio.

4 La circonferenza goniometrica 3 / 17 I suoi angoli sono misurati in radianti la cui misura é data come AP α = OA dove AP indica la lunghezza del corrispondente arco di circonferenza, mentre OA indica la lunghezza del raggio. La misura dell angolo in radianti é un semplice numero reale senza alcuna dimensione.

5 La circonferenza goniometrica 4 / 17

6 Seno e coseno 5 / 17 Dato un angolo α [0,2π] definiamo sin(α) = ordinata di P, α [0,π]

7 Seno e coseno 5 / 17 Dato un angolo α [0,2π] definiamo sin(α) = ordinata di P, α [0,π] cos(α) = ascissa di P, α [0,π]

8 Seno e coseno 5 / 17 Dato un angolo α [0,2π] definiamo sin(α) = ordinata di P, α [0,π] cos(α) = ascissa di P, α [0,π] Per come é definita la circonferenza goniometrica si ha inoltre sin(α) [ 1,1] e cos(α) [ 1,1]

9 6 / 17 La funzione seno ha il seguente andamento Seno e sue proprietá

10 La funzione seno ha il seguente andamento Seno e sue proprietá Dal grafico possiamo osservare diverse proprietá sul suo andamento. 6 / 17

11 Seno e sue proprietá 7 / 17 La funzione seno é periodica su R di periodo T = 2π, si ha cioé sin(x) = sin(x + kt), x R,k Z

12 Seno e sue proprietá 7 / 17 La funzione seno é periodica su R di periodo T = 2π, si ha cioé sin(x) = sin(x + kt), x R,k Z La funzione seno é una funzione dispari sin( x) = sin(x)

13 8 / 17 Coseno e sue proprietá La funzione coseno ha il seguente andamento

14 Coseno e sue proprietá La funzione coseno ha il seguente andamento Dal grafico possiamo osservare diverse proprietá sul suo andamento. 8 / 17

15 Coseno e sue proprietá 9 / 17 La funzione coseno é periodica su R di periodo T = 2π, si ha cioé cos(x) = cos(x + kt), x R,k Z

16 Coseno e sue proprietá 9 / 17 La funzione coseno é periodica su R di periodo T = 2π, si ha cioé cos(x) = cos(x + kt), x R,k Z La funzione coseno é una funzione pari cos(x) = cos( x)

17 Archi associati 10 / 17 Valgono le seguenti relazioni tra archi associati: sin(x + π) = sin(x) cos(x + π) = cos(x) sin(x + π 2 ) = cos(x) sin( π x) = cos(x) 2 cos(π sin(π x) = sin(x) cos(π x) = cos(x) cos(x + π 2 ) = sin(x) x) = sin(x) 2

18 Ancora sulle proprietá 11 / 17 La seguente relazione tra seno e coseno é nota come relazione fondamentale della trigonometria: sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1

19 Valori notevoli 12 / 17 Sfruttando le proprietá dei triangoli inscritti nella circonferenza goniometrica possiamo ricavare i valori delle funzioni seno e coseno per alcuni angoli particolari.

20 Valori notevoli 12 / 17 Sfruttando le proprietá dei triangoli inscritti nella circonferenza goniometrica possiamo ricavare i valori delle funzioni seno e coseno per alcuni angoli particolari. α = π 4 sin(α) = α = π 3 sin(α) = , cos(α) = 3 2, cos(α) = 1 2 α = π 6 sin(α) = 1 2, cos(α) = 3 2

21 Teorema del triangolo rettangolo 13 / 17 Si consideri il triangolo rettangolo di lati a,b,c in figura e il triangolo rettangolo di ipotenusa unitario inscritto nella circonferenza goniometrica.

22 Teorema del triangolo rettangolo Dal confronto tra le due figure é possibile dimostrare che b = ccos(α) a = csin(α) a b = sin(α cos(α) Basta osservare che i due triangoli ABC e OHP sono due triangoli simili e vale pertanto la seguente proporzione: AB : OH = AC : OP che equivale a b : cos(α) = c : 1 14 / 17

23 Tangente 15 / 17 Si definisce tangente dell angolo α il seguente rapporto: tanα = sinα cosα, α R tale che cosα 0, cioé α R tale che α π 2 + kπcon k Z

24 Riassumendo 16 / 17 y α sinα cosα tanα = sinα cosα x

25 Grafico Tangente 17 / 17 La funzione tangente ha il seguente andamento Dal grafico possiamo osservare diverse proprietá sul suo andamento.

26 Tangente e sue proprietá 18 / 17 La funzione tangente é periodica su R di periodo T = π, si ha cioé tan(x) = tangente(x + kt), x π 2 + kπ,k Z

27 Tangente e sue proprietá 18 / 17 La funzione tangente é periodica su R di periodo T = π, si ha cioé tan(x) = tangente(x + kt), x π 2 + kπ,k Z La funzione tangente é una funzione dispari tan(x) = tan( x)