Trigonometria. Trigonometria del Triangolo Rettangolo

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1 Trigonometria Trigonometria del Triangolo Rettangolo Quando si tratta di triangoli rettangoli, tutto diventa speciale : ci sono teoremi che li caratterizzano e particolarità che li rendono assai comodi da utilizzare. In particolare, vi sono i cosiddetti criteri speciali di congruenza o similitudine per i triangoli rettangoli; questi non sono niente di che, solo tengono conto del fatto che in un triangolo rettangolo c è un angolo fissato. In particolare questo significa che un angolo può completamente determinare la classe di similitudine di un triangolo rettangolo; un altro modo per dire questo è dire che, conoscendo uno dei due angoli acuti, possiamo detemrinare unicamente i rapporti tra i lati. In questo modo si definiscono naturalmente alcune funzioni che associano ad un qualsiasi angolo acuto il rapporto tra due dei lati del triangolo, come ad esempio cateto adiacente α ipotenusa α cateto opposto ipotenusa dove i termini opposto e adiacente sono da intendersi rispetto all angolo che vale α. Facciamo un esempio : sia ABC un triangolo rettangolo in A e supponiamo di sapere che ABC 60, allora possiamo dire che AB BC e AC 3 BC (infatti tale triangolo è metà di un triangolo equilatero; osserviamo poi che da queste due relazioni possiamo calcolare tutti i rapporti tra i lati di ABC. Allora conosciamo, ad esempio, il valore delle due funzioni scritte sopra per α 60. Queste funzioni sono tanto importanti in matematica che hanno un nome (un po più comodo che non catetoadiacentefrattoipotenusa o simili; sia quindi α un angolo acuto non nullo, sia ABC rettangolo in A tale che ABC α, allora definiamo cos(α AB AC sin(α BC BC dove cos(α si legge coseno di alfa e sin(α si legge seno di alfa. 1

2 In termini di queste due funzioni si possono scrivere anche tutti gli altri rapporti, come ad esempio il rapporto tra i cateti : AC AB sin(α cos(α tan(α dove tan(α si legge tangente di alfa. Anche i reciproci di questi tre rapporti hanno dei nomi e precisamente 1 cos(α sec(α 1 sin(α csc(α 1 tan(α cot(α ovvero secante, cosecante, cotangente di alfa. Per definizione, si ricavano le seguenti formule per i triangoli rettangoli, una volta chiamati gli elementi come in figura. c cos(α b c sin(α a c cos(β a c sin(β b Esercizi b tan(α a a tan(β b 0. (Relazione trigonometrica fondamentale Dimostrare che sin (α + cos (α Scrivere, in tutti i modi possibili, le altezze di un triangolo in funzione di lati e funzioni trigonometriche degli angoli.. Scrivere l area di un triangolo rettangolo in funzione dell ipotenusa e degli angoli. 3. Trovare, in funzione di lati e angoli, il raggio del cerchio inscritto. 4. Sapendo che in una circonferenza una corda lunga l è vista dal centro sotto un angolo α, calcolare il raggio. Formule Ci proponiamo ora di esprimere le funzioni trigonometriche dell angolo γ α + β in termini di funzioni trigonometriche di α e β. Visto che, fino ad ora, abbiamo definito le funzioni trigonometriche solo per un angolo acuto, supponiamo che α e β siano tali che α + β < 90.

3 Siano, come in figura, OAB e OBC due triangoli rettangoli in A e B rispettivamente; sia CH la perpendicolare da C su OA e poniamo AOB α, BOC β. Vogliamo valutare i rapporti OH/OC e CH/OC. Tracciamo BK perpendicolare a CH; allora avremo che KBC ABC KBA 90 α. Quindi, per le formule conclusive del paragrafo precedente, CK BC cos(α OC sin(β cos(α; HK AB OB sin(α OC cos(β sin(α, da cui sin(α + β sin(αcos(β + cos(αsin(β Con procedimento simile, si ottiene che cos(α + β cos(αcos(β sin(αsin(β Queste due relazioni vanno sotto l altisonante nome di formule di somma. Sfruttando una costruzione simile, riportata in figura, si può dimostrare che sin(α β sin(αcos(β cos(αsin(β cos(α β cos(αcos(β + sin(αsin(β sempre nell ipotesi che α β sia un valore positivo. Ovviamente queste due relazioni, assai simili alle precedenti, vengono chiamate formule di differenza. Ora, ponendo α β nelle formule di somma, si ottengono le seguenti formule di duplicazione : sin(α sin(α cos(α cos(α cos (α sin (α cos (α 1 1 sin (α 3

4 dove nelle ultime uguaglianze abbiamo sfruttato la relazione dimostrata nell esercizio 0. Le ultime relazioni ricavate, sul coseno dell angolo doppio, sono interessanti, dal punto di vista della manipolazione formale, in quanto legano tale coseno al seno oppure al coseno dell angolo separatamente; in parole povere, si possono invertire : 1 + cos(α cos(α 1 cos(α sin(α ottenendo le formule di bisezione. Da notare che abbiamo potuto prendere la radice quadrata del membro a destra con tranquillità, in quanto abbiamo definito il seno e il coseno di un angolo acuto come numeri positivi. Manipoliamo un poco le formule di duplicazione : sin(α sin( ( α cos α cos ( α + sin ( tan ( α α 1 + tan ( α t 1 + t e dunque ( cos(α cos α sin ( α cos ( α + sin ( 1 ( tan α α 1 + tan ( α tan(α t 1 t 1 t 1 + t dove abbiamo posto t tan ( α. Queste si chiamano formule parametriche; possono essere usate per ridurre la verifica di relazioni goniometriche alla semplificazione di un espressione polinomiale fratta in una variabile. Sommando le formule di somma e quelle di differenza, otteniamo cos(α + β + cos(α β cos(αcos(β cos(α + β cos(α β sin(αsin(β sin(α + β + sin(α β sin(αcos(β sin(α + β sin(α β cos(αsin(β Queste formule sono fondamentali, in quanto permettono di trasformare prodotti in somme e viceversa, e sono dette formule di prostaferesi. Si possono scrivere anche in quest altra forma ( ( α + β α β cos(α + cos(β cos cos ( ( α + β α β cos(α cos(β sin sin 4

5 ( α + β sin(α + sin(β sin ( α + β sin(α sin(β cos cos sin ( α β ( α β Esercizi Nota : Gli esercizi seguenti si basano unicamente sulle proprietà delle funzioni goniometriche ricavate in questo paragrafo; queste proprietà prescindono dal fatto che esse siano state definite solo per angoli acuti. Si potranno dunque affrontare questi quesiti supponendo che tutti gli angoli coinvolti siano acuti, ma ricordando che le relazioni dimostrate rimangono vere per qualsiasi valore di α (vedi il prossimo paragrafo. 5. Trovare le formule di somma, differenza, duplicazione e bisezione della tangente. 6. Mostrare che, comunque assegnati α 1,..., α n, si ha ( n sin α i i1 [n/] k0 I N I k + 1 sin(α j cos(α j j I j / I dove N {1,...,n}. Trovare e dimostrare la corrispondente formula per il coseno. 7. Dimostrare le seguenti : sec (α 1 + tan (α csc (α 1 + cot (α sec (α + csc (α sec (αcsc (α 1+cot(α csc(α sin(α + cos(α sin(α sin(α sin (α cos (α sin(α (sec(α tan(α 1 sin(α 1+sin(α 1 sec(α tan(α sec(α + tan(α 1+sin(α cos(α + cos(α 1+sin(α sec(α sin(α sin(α cos(α 1 cos(α 1+cos(α csc(α(1 + cos (α cos(α cos(4α sin(α+sin(4α tan(α 8 cos 4 (α cos(4α + 4 cos(α + 3 5

6 sin(α+sin(α+sin(3α cos(α+cos(α+cos(3α tan(α sin ( α 6 sin ( ( ( α 7 cos α 7 cos α 3 sin(α + sin(4α sin(6α 4 sin(αsin(αsin(3α se α+β+γ 180, allora tan(α+tan(β+tan(γ tan(αtan(βtan(γ se α+β+γ 180, allora sin(α+sin(β+sin(γ 4 cos(α/cos(β/cos(γ/ 8. Trovare le formule di addizione, duplicazione, bisezione per secante e cosecante. 9. Trovare un espressione di sin(nα e cos(nα in termini di seni e coseni di kα con k < n. Trovarne una in termini di seno e coseno del solo angolo α. 10. Calcolare seno e coseno di 15, 7 30, 1, Siano a, b, c, α, β reali tali che 1. a + b 0, α β + k360 k Z. a sin(α + b cos(α c 3. a sin(β + b cos(β c ( Dimostrare che cos α β c a +b Oltre l angolo retto Sia Γ {(x, y R x + y 1} la circonferenza unitaria (detta anche circonferenza goniometrica; sia s una semiretta dipartentesi dall origine. Conveniamo di associare a s l angolo che essa forma con la semiretta di riferimento s 0 {(x, y R y 0, x 0}, misurato in senso antiorario da s 0 e, d altra parte, di associare ad un dato angolo α la semiretta s α uscente dall origine che forma con s 0 un angolo α in senso antiorario a partire da s 0. In questo modo otteniamo una bigezione di [0, 360[ con le semirette uscenti dall origine nel piano. 6

7 Ora, definiamo P α s α Γ; è immediato verificare che, se α ]0, 90[, si ha P α (cos(α, sin(α. Possiamo quindi pensare di estendere la definizione di seno e coseno ad angoli qualsiasi in questo modo : dato α numero reale, sia P α come detto sopra, allora P α (cos(α, sin(α. E immediato verificare che le funzioni così definite sono periodiche di periodo 360 ; inoltre, con banali considerazioni geometriche, si possono ottenere le seguenti formule ed altre simili, dette formule degli archi associati. cos(α + 90 sin(α sin(α + 90 cos(α cos(α cos(α sin(α sin(α cos(α + 70 sin(α sin(α + 70 cos(α Queste ultime relazioni possono anche scriversi come cos( α cos(α sin( α sin(α Da queste relazioni vediamo subito che le forumule di somma e differenza valgono anche per le funzioni estese a tutta la retta reale. Inoltre, il fatto che siano definite anche per valori negativi fa sì che la formula di differenza sia un caso particolare di quella di somma. Infatti, le formule di somma si chiamano anche formule di addizione d archi. Da quanto appena detto segue che, per le funzioni ora definite, valgono tutte le formule prima ricavate (solo formalmente dalle formule di addizione; l unica particolarità è che nelle formule di bisezione si dovrà tener conto del segno del coseno e del seno del nuovo angolo e quindi esse si riscriveranno come : 1 + cos(α cos(α ± 1 cos(α sin(α ± Osservazione Potrà sembrare che l estensione svolta in questo paragrafo non sia del tutto lecita : abbiamo trovato due funzioni che coincidono con le nostre sugli angoli 7

8 acuti e che rispettano le formule di addizione, perchè dovrebbero essere proprio loro le loro estensioni a tutta la retta reale? Ebbene, è un utile esercizio (di equazioni funzionali dimostrare il seguente : siano f, g : R R continue, non costanti, tali che f(x y f(xf(y + g(xg(y per ogni x, y reali; allora f(x cos(kx, g(x sin(kx per k R Dunque, due tali f,g sono uniche, una volta determinati i loro valori su un qualunque intervallo. L unico nostro problema è la continuità : non abbiamo i mezzi per dimostrare la continuità delle due funzioni che abbiamo definito ed è comunque difficile farlo senza mordersi la coda (usando quelle funzioni che si tenta di definire. Ad ogni buon conto, si può prendere la precedente come unica definizione di seno e coseno. La dimostrazione delle formule di addizione può comunque essere fatta con angoli acuti e poi estesa tramite le formule degli archi associati e da qui si ricavano tutte le relazioni precedenti nello stesso identico modo. Le funzioni seno e coseno Vediamo un attimo che effetto ha avuto l estensione che abbiamo effettuato; innanzitutto, notiamo che cos(0 1, cos(90 0 e dunque che sin(0 0, sin(90 1. Inoltre, dalla definizione o dalle formule di addizione, sappiamo che entrambe queste funzioni sono periodiche di periodo 360. Occupiamoci ora del loro segno. Sappiamo che sugli angoli acuti sono entrambe positive; tramite le formule degli archi associati deduciamo quindi che il coseno è positivo su ] 90, 90 [, mentre è negativo su ]90, 70 [ e si annulla in 90, 90 ycos(x ; il seno ha comportamento simile, ma sfasato di 90, ovvero è positivo su ]0, 180 [, negativo su ] 180, 0 [ e si annulla in 0, 180. Ecco, infine, i grafici di queste due funzioni. 0,4 0,8 ysin(x 5,5 0,5 5 0,8 0,4 Le altre funzioni goniometriche 8

9 Tramite la circonferenza goniometrica si possono interpretare geometricamente anche le altre funzioni sopra definite; siano t {(x, y R x 1} e c {(x, y R y 1} le tangenti a Γ in (1, 0 e (0, 1. Definiamo T α s α t e C α s α c; allora T α (1, tan(α e C α (cot(α, 1, come porta a dire una banale applicazione delle similitudini tra triangoli. Inoltre, si ha sec(α OT α e csc(α OC α. E, detta p α la tangente a Γ in P α, le sue intersezioni con gli assi siano X α p α {y 0} e Y α p α {x 0}; allora si ha X α (sec(α, 1 e Y α (1, csc(α. Infine tan(α X α P α e cot(α Y α P α. La verifica di questa ultima affermazione è contenuta negli esercizi alla fine del precedente paragrafo. E da notare come queste costruzioni siano possibili solo per α ] 90, 90 [ oppure per α ]0, 180 [; in effetti, volendo riportare invariata la definizione di tangente e cotangente, secante e cosecante (come rapporto, dobbiamo escludere dal dominio di definizione alcuni valori, nei quali il denominatore si annulla. Quindi, la tangente e la secante sono definite su R \ {90 + k360 k Z}, la cotangente e la cosecante su R \ {k360 k Z}. Inoltre, la tangente e la cotangente hanno un periodo di ampiezza 180, mentre la secante e la cosecante, come del resto il seno e il coseno, hanno periodo di ampiezza 360. Eccone i grafici. 9

10 ,5 ytan(x 5,5 0 ycot(x,5 5,5 ysec(x,5 ycsc(x 5!,5 0,5 5!,5 Esercizi 1. Scrivere le formule degli archi associati per tangente, cotangente, secante, cosecante. 13. Dimostrare le formule di addizione a partire dalla definizione delle funzioni trigonometriche data in questo paragrafo. I Radianti Fino ad ora, abbiamo utilizzato il sistema sessagesimale per esprimere gli angoli. Nel fare trigonometria è più usuale sfruttare una diversa convenzione : definiamo radiante l angolo che, al centro di una circonferenza, sottende un arco di lunghezza pari al raggio. 10

11 Questa definizione significa : identifichiamo un angolo con la lunghezza dell arco che esso sottende sulla circonferenza unitaria. Quindi, un angolo giro sarà indicato con π radianti; un angolo piatto con π radianti e un angolo retto con π/ radianti. Nel seguito sottintenderemo la parola radianti dopo valori angolari. Divagazione Vi sono altre definizioni, molto più eleganti, delle funzioni seno e coseno, che non hanno legami con la geometria degli angoli, ad esempio come serie di potenze; da tali definizioni, si può ricavare che queste funzioni hanno un periodo e tale periodo risulta essere π. In questo modo si è soliti introdurre in matematica il numero pigreco. Con queste definizioni alternative, dunque, gli argomenti di seno e coseno vengono automaticamente interpretati come angoli in radianti, una volta che ci si riconduca alle definizioni date sopra. In questo senso (e in altri, legati ad esempio alla teoria del calcolo integrale o all analisi complessa la scelta dei radianti è la più naturale. Esercizi 14. Trovare le formule di conversione da gradi a radianti e viceversa. 15. Calcolare seno, coseno, tangente degli angoli mπ/n con 0 < m < n e 1 n 6, n 8, 10. Trigonometria Potrà apparire una distinzione sottile, ma la trigonometria è l indagine dei legami tra le lunghezze e gli angoli in un triangolo, mentre lo studio delle funzioni seno e coseno, delle loro relazioni e delle identità che soddisfano viene detto più propriamente goniometria. Questo per giustificare il titolo del paragrafo; nella pratica questa distinzione è assolutamente inesistente e capiterà spesso di sentir parlare di trigonometria del triangolo. Ora, torniamo alle origini : il teorema di Pitagora. Ci proponiamo di calcolare, in un triangolo generico, un lato in funzione degli altri due e dell angolo tra essi compreso; sappiamo che è in teoria possibile per il secondo criterio di congruenza, che ci assicura l unicità di un triangolo di cui siano specificati due lati e l angolo tra loro compreso. 11

12 Sia ABC un triangolo qualsiasi, come in figura; sia allora H in AC (o sul suo prolungamento il piede dell altezza uscente da B. Possiamo scrivere, per il teorema di Pitagora, che BC BH + HC e, sempre per il teorema di Pitagora, che BH AB AH. Mettendo assieme queste due relazioni otteniamo BC AB + CH AH AB +AC AH AH CH AB +AC AH AC, nel caso che AC AH + HC; è semplice verificare che quanto segue funziona, sostituendo α con π α, e porta al medesimo risultato, nel caso in cui AC HC AH. Ricordando i risultati del primo paragrafo possiamo dire che AH AB cos(α da cui, adottando le notazioni in figura a b + c bc cosα ed ecco il Teorema di Carnot, detto anche Legge del Coseno; ovviamente, quanto dimostrato vale permutando ciclicamente le lettere di lati e angoli. Ora, rielaboriamo un poco il risultato precedente; ovviamente si ha cosα b + c a bc e, ricordando che sin α 1 cos α, possiamo vedere che 1 cos α a 4b c b 4 c 4 a 4 b c + b a + a c 4a b c (bc (a b c 4a b c (a b c + bc( a + b + c + bc 4a b c (a (b c ((b + c a 4a b c (a b + c(a + b c(b + c + a(b + c a 4a b c 4S a b c ( 1 R dove, dopo un poco d algebra, abbiamo utilizzato il teorema di Erone per l area del triangolo (indicata con S e la formula per il raggio del cerchio circoscritto (indicato con R. Dunque, ricordandoci che 0 < α < π e che dunque il suo seno è positivo, otteniamo che sinα 1 a R risultato noto come Teorema del Seno. 1

13 Questi due teoremi permettono di calcolare tutti gli elementi di un triangolo conoscendone opportunamente 1 tre. Questo calcolo si dice risoluzione del triangolo. Inoltre, dal teorema del seno si ricava immediatamente una formula per l area del triangolo: sinα S a abc S 1 bc sin α Una simile espressione ha una ovvia interpretazione geometrica : b sinα è la lunghezza dell altezza relativa al lato c e reciprocamente c sin α è la lunghezza dell altezza relativa al lato b. Un altro utile risultato è il seguente teorema delle proiezioni, di banale dimostrazione : a b cosγ + c cosβ Altre formule note e di frequente utilizzo sono riportate come esercizi. Esercizi 16. (Formule di Nepero Dimostrare che valgono b + c b c β+γ tan tan β γ e le formule ottenute permutando ciclicamente le lettere. 17. (Formule di Delambre Dimostrare che valgono b + c a cos β γ sin α e le formule ottenute permutando ciclicamente le lettere. 18. (Formule di Briggs Dimostrare che valgono sin α (p b(p c bc cos α p(p a bc tan α r p a e le formule ottenute permutando ciclicamente le lettere, con p a + b + c (p a(p b(p c r p 1 nel caso in cui siano noti due lati e un angolo, l angolo deve essere quello compreso; altrimenti, è pur sempre possibile calcolare tutto, ma vi sono due valori possibili per il terzo lato e i due angoli 13

14 19. Calcolare la lunghezza delle mediane di un triangolo in funzione di lati e angoli. 0. Calcolare la lunghezza delle bisettrici di un triangolo in funzione di lati e angoli. 1. Calcolare l area di un quadrilatero, note le diagonali e l angolo tra esse.. (Formula di Brahmagupta Calcolare l area di un quadrilatero ciclico, noti i lati. 3. (Formula di Gerone Generalizzare l esercizio precedente al caso di un quadrilatero generico, di cui siano noti lati e angoli. Discutere il caso di un quadrilatero circoscrittibile e di un quadrilatero contemporaneamente ciclico e circoscrittibile. 4. Calcolare la lunghezza delle diagonali di un quadrilatero ciclico, noti i lati. Esprimerne il prodotto e il rapporto, ricavando i teoremi di Tolomeo e Legendre. 5. Calcolare il lato l n (L n del poligono regolare di n lati inscritto in (circoscritto a una circonferenza di raggio r. 6. Dimostrare le seguenti : sin α + sin β + sinγ S R sin α sin β sinγ S R sin α sin β sin γ r 4R tan α tan β tan ( α+β r a + b + c Appendice : Esponenziale complesso Nel seguito daremo per note la definizione di numero complesso e la familiarità con le usuali operazioni nel campo complesso. Definiamo l esponenziale di un numero complesso in questo modo; sia z C, z ai + b, allora e z exp z e a (cos(b + i sin(b, dove e a indica l abituale elevamento a potenza nel campo reale. In un senso che non è possibile precisare qui, questa è la naturale estensione della funzione esponenziale ad argomento complesso. Notiamo che dalla definizione segue che sin(α eiα e iα i cos(α eiα + e iα All esponenziale complesso ora definito si applicano le normali regole per il calcolo con la funzione esponenziale : e z e w e z+w (e z w e zw. Inoltre ē z e a (cos(b i sin(b e a (cos( b + i sin( b e z e dunque, possiamo riscrivere le precedenti relazioni come : cos(α Re e iα sin(α Im e iα 14

15 da cui possiamo scrivere le formule di addizione in maniera compatta e comoda da ricordare come Re e iα+iβ Re e iα e iβ Im e iα+iβ Im e iα e iβ Inoltre, anche le formule di duplicazione e bisezione vengono trasformate nell elevamento al quadrato e nella radice quadrata. Quindi, per calcolare cos(nα, possiamo procedere come segue : cos(nα Re e inα Re (e iα n Re(cos(α + i sin(α n n ( n Re (i k cos n k (αsin k (α k [n/] k0 k0 ( n k ( 1 k cos n k (αsin k (α e lo stesso per il seno. Spesso, il passaggio alla scrittura complessa rende la semplificazione di un espressione trigonometrica più agevole, soprattutto quando sono coinvolti seni di vari multipli di uno stesso argomento. Ad esempio : n sin(kα k0 Im n k0 e ikα Im 1 ei(n+1α 1 e iα Im ei(n+1α/ e i(n+1α/ e i(n+1α/ e iα/ e iα/ e iα/ sin((n + 1α/ Im e inα/ sin(α/ sin((n + 1α/sin(nα/ sin(α/ Inoltre, la moltiplicazione per numeri complessi di norma unitaria, come ad esempio e ix con x R è, dal punto di vista geometrico, una rotazione; questo permette di trovare ancora un altra forma per le formule di addizione : ( cos(α sin(α sin(α cos(α ( cos(β sin(β sin(β cos(β ( cos(α + β sin(α + β sin(α + β cos(α + β intendendo le matrici come rotazioni e il prodotto come composizione. Esercizi 7. Trovare un espressione chiusa per N k0 sin (kx. 8. Calcolare il prodotto di tutti i lati e le diagonali di un poligono regolare di n lati inscritto nella circonferenza goniometrica, uscenti da un dato vertice. 9. Calcolare come visto per il coseno sin(nα 30. Calcolare in forma chiusa n k0 cos(kx e n k0 cos (kx. 15