6. Moto in due dimensioni

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1 6. Moto in due dimensioni 1 Vettori er descriere il moto in un piano, in analogia con quanto abbiamo fatto per il caso del moto in una dimensione, è utile usare una coppia di assi cartesiani, come illustrato in figura 1. I due assi, conenzionalmente chiamati asse delle x e delle y, hanno in comune l origine. Un punto generico del piano è indiiduato da una coppia di numeri x ed y che sono dati dalla distanza dall origine dei piedi delle perpendicolari tracciate dal punto sugli assi stessi. Il segmento è detto raggio ettore del punto. Come un qualsiasi ettore è rappresentato da una freccia che parte dall origine e termina nel punto. I ettori sono necessari ogni olta che per una data grandezza fisica dobbiamo specificare non solo il alore della sua entità ma anche la direzione e il erso. Si stabilisce che la lunghezza del ettore indica la sua entità. Nell esempio della figura 1 il raggio ettore, d ora in poi indicato con r, descrie lo spostamento del punto rispetto all origine. La lunghezza della freccia si indica con il simbolo r ed è anche detta modulo del ettore. Il modulo ci dice quanto lontano è da. Non ci dice però da che parte si troa rispetto ad. er specificare questa informazione introduciamo l angolo formato dal ettore con l asse delle x. L informazione data dal modulo del ettore e dall angolo è equialente a quella data assegnando i alori delle coordinate del punto. Infatti il modulo del ettore si ottiene applicando il teorema di itagora al triangolo rettangolo di ertici N r = x 2 + y 2. (1) Usando la trigonometria la tangente dell angolo è determinata da tan = y x. (2) Rimandiamo all appendice per il significato delle funzioni trigonometriche elementari. In sintesi un ettore può essere descritto in due modi: a) dando il alore del modulo e l angolo che forma con l asse delle x; b) dando le coordinate del suo punto estremo. Molte grandezze fisiche hanno una natura ettoriale. ltre al raggio ettore r che indica la posizione di un punto materiale, sono grandezze ettoriali la elocità, l accelerazione e la forza agente su corpo. 2 Moto circolare er rendersi conto della natura ettoriale della elocità, consideriamo il moto circolare uniforme, cioè un moto circolare a elocità costante. Tale moto è illustrato in figura 2. Durante il moto, il ettore elocità mantiene costante il suo modulo, ma cambia continuamente la sua direzione e erso. Sia il modulo della elocità. Vogliamo determinare il modulo del ettore accelerazione. sseriamo che il ettore elocità è sempre tangente alla circonferenza come si 1

2 M y r x N Figure 1: In un piano un punto è indiiduato dalle coordinate x ed y. Queste corrispondono ai segmenti N e M. Il segmento è detto raggio ettore del punto. può edere in figura 2. Consideriamo il ettore elocità nei due punti e Q e supponiamo che il tempo impiegato per andare da a Q sia τ. er determinare l accelerazione, trasportiamo il ettore elocità del punto nel punto Q, come illustrato. L angolo tra i ettori elocità al tempo t = 0 e al tempo t = τ è lo stesso angolo formato dai raggi ettori tracciati dall origine ai punti e Q. Il ettore w che unisce l estremità del ettore elocità del punto e l estremità del ettore elocità nel punto Q rappresenta la ariazione di elocità intercorsa nel tempo τ. Notiamo che l accelerazione è puramente centripeta, cioè sempre diretta erso il centro della circonferenza. Infatti ad ogni istante il moto proseguirebbe lungo la direzione tangente se non ci fosse l accelerazione erso il centro. Sottilineamo che al momento non discutiamo qual è la causa del moto circolare, ma soltanto la sua descrizione cinematica. Consideriamo i due triangoli isoscele Q e quello formato dai ettori elocità. In base ai teoremi sui triangoli simili, cioè aenti angoli uguali, il rapporto tra la corda s ed il raggio è pari al rapporto tra w e, cioè s R = w. (3) Se ora consideriamo un interallo di tempo τ molto piccolo, i due punti e Q si troano molto icini. In queste condizioni l arco di circonferenza tra e Q può essere approssimato dalla corda s e quindi si ha = s τ. (4) Se definiamo il modulo dell accelerazione a = w/τ, usando (3) e (4) si ha a = w τ = 1 τ 2 s R = 2 R. (5)

3 w Q R s Figure 2: Moto circolare uniforme in senso antiorario. Nel punto Q è riportato il ettore elocità del punto. w è la ariazione di elocità. s è la corda tra i punti e Q. Questa è la legge del moto circolare uniforme. Introduciamo la elocità angolare ω come l angolo spazzato nell unità di tempo. Sia T il tempo impiegato a fare un giro completo. Allora dee essere D altro canto la elocità dee essere ω = 2π T. (6) = 2πR T = ωr. (7) Questa relazione connette la elocità lineare a quella angolare attraerso il raggio. Applichiamo la legge (5) al caso in cui la causa dell accelerazione centripeta sia la forza graitazionale. Immaginiamo cioè un punto materiale di massa m in un orbita circolare intorno ad un altro corpo di massa M. In base alla II legge del moto e alla legge della graitazione uniersale si ha Esprimendo in termini del periodo si ottiene G Mm R 2 = m 2 R. (8) R 3 = GM (2π) 2 T 2. (9) 3

4 Questa relazione non è altro che la legge di Keplero che mette in relazione il raggio dell orbita con il periodo di tempo necessario a percorrerla. La (9) è scritta per il caso semplice di un orbita circolare. D altro canto la circonferenza è un caso limite dell ellissi ed è quindi plausibile che una relazione simile alla (9) alga per le orbite ellittiche. In effetti è proprio così, anche se nel caso dell ellissi la trattazione geometrica è leggermente più complicata. Le orbite dei pianeti intorno al sole sono in generale delle orbite ellittiche e Keplero troò la legge (9) considerando i dati delle osserazioni astronomiche. Il fatto che questa legge, ricaata sperimentalmente da osserazioni astronomiche, sia deducibile dalle leggi del moto e dalle legge della graitazione uniersale, costituisce una spettacolare conferma della teoria newtoniana. A Funzioni trigonometriche Consideriamo, come illustrato in figura 3, un sistema di assi cartesiani. In questo sistema consideriamo un circonferenza di raggio unitario. Un generico punto sulla circonferenza è uniocamente determinato dall angolo formato dal segmento e l asse delle x. Le coordinate x ed y di sono chiamate coseno e seno dell angolo e si indicano x = cos, y = sin. (10) er il teorema di itagora dee alere x 2 + y 2 = 1 che implica cos 2 + sin 2 = 1. (11) Questa è la relazione fondamentale della trigonometria e ci dice che seno e coseno di un angolo non sono indipendenti. La funzione tangente è definita in termini del rapporto tra seno e coseno tan sin cos = y x. (12) I alori del seno e del coseno per tutti gli angoli compresi tra 0 0 e sono stati calcolati e oggi sono generalmente disponibili in un comune calcolatore tascabile. 4

5 1 y R 1 x 1 1 Figure 3: Definizione della funzione seno e coseno di un angolo. 5