FAM. 1. Sistema composto da quattro PM come nella tabella seguente

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1 Serie 11: Meccanica IV FAM C. Ferrari Esercizio 1 Centro di massa: sistemi discreti Determina il centro di massa dei seguenti sistemi discreti. 1. Sistema composto da quattro PM come nella tabella seguente P i [m] m i [kg] P 1 = (5,1,3) 2 P 2 = (4,0, 2) 5 P 3 = ( 3, 3,4) 2 P 4 = (7,2,2) 1 2. Nella molecola di ammoniaca (NH 3 ) schematizzata nella figura qui sotto, tre atomi di idrogeno formano un triangolo equilatero, il cui centro si trova a distanza 9, m da ciascun atomo di idrogeno. L atomo di azoto è al vertice di una piramide retta della quale i tre atomi di idrogeno formano la base. La distanza azoto-idrogeno è 10, m e il rapporto delle masse azoto/idrogeno è 13,9. Scegliendo l origine in corrispondenza dell atomo di azoto, determina le coordinate (x G,y G,z G ) del centro di massa della molecola di ammoniaca. z N x y H H H 3. Considera due PM di massa m 1 e m 2 ad una distanza d tra loro. Verifica che ilrapportotraledistanzed 1 ed 2 traiduepmeilcentrodimassa vale d 1 d 2 = m 2 m 1. Applicazione numerica: sistema Terra-Sole. 1

2 Esercizio 2 Momento meccanico Considera la situazione in cui due PM ad una distanza d fissata e posti in P 1 e P 2 subiscono una forza di stessa intensità F ma verso opposto (il PM in P 1 subisce una forza F e quello in P 2 una forza F). 1. Fai un disegno della situazione (il più generale possibile). 2. Determina la forza totale sul sistema composto dai due PM, ossia F. Si può parlare di condizione di equilibrio in generale? 3. Dimostra che il momento (meccanico) totale vale M tot = P 2 P 1 F in questo caso 1 si dice che il sistema composto dai due PM subisce una coppia di momento M tot. 4. Verifica che la condizione di equilibrio è F = 0 x F = Dimostra che M A = M B + AB F. (Ciò che mostra la dipendenza esplicita del momento dal punto rispetto al quale esso viene calcolato). Esercizio 3 Equilibrio 1. Il sistema della figura è in equilibrio con il tratto centrale del cavetto di sostegno esattamente orizzontale. Trova le tensioni T 1, T 2, T 3 e l angolo β, sapendo che = 35, F 1 = 40N e F 2 = 50N. β T 1 T 2 T 3 F 1 F2 1 In generale nei casi in cui la risultante delle forze è nulla. 2

3 2. La porta blindata di una cassaforte pesa 53,4kN ed è sorretta in due punti A eb. Determina lecomponenti orizzontali dei vettori forza di reazione inaeb. A b G B a Applicazione numerica: a = 1016mm, b = 1270mm. Esercizio 4 Equilibrio 1. Determina la forza F minima necessaria per sollevare una ruota di massa 150kg e di diametro 2m sopra uno scalino di 40cm di altezza con l aiuto di un cavo e il valore massimo della forza (intensità) esercitata dallo scalino. Indicazione: Considera che ad ogni istante la ruota (=cilindro) è in equilibrio e che essa non slitta sul punto di contatto. F 2. Come mostra la figura una tavola omogenea di lunghezza L = 6mepeso 440N è appoggiata sul terreno e su un rullo privo di attrito fissato al bordo di un gradino di altezza h = 3m. Essa rimane in equilibrio per qualsiasi valore di θ 70, ma scivola via per θ < 70. Trova il valore del coefficiente di attrito statico fra la tavola e il terreno. h θ 3

4 Esercizio 5 Equilibrio Calcola la forza F affinché la massa m = 10kg sia in equilibrio. Dati: r 1 = 0,75m, r 2 = 2m, r 3 = 0,5m e r 4 = 1,5m. r 4 r 2 r 3 r 1 F m Esercizio 6 Momento angolare Consideriamo un punto materiale in moto rispetto al sistema di riferimento R. La grandezza vettoriale L O = x p, dove x = OP è il vettore posizione del PM, è chiamata momento angolare 2 del PM rispetto al punto O. 1. Dimostra che per ogni punto O fissato nel sistema di riferimento R si ha d L O dt = M O questo risultato è noto come Teorema del momento angolare. Osservazione: Per un PM l equazione precedente e la seconda legge di Newton non sono indipendenti. 2. Determina il momento angolare di un PM in MCU a velocità v rispetto al centro O della circonferenza che descrive la traiettoria. 3. Unagrandezza fisica Aèchiamatauna costante del moto severifica da dt = 0. Verifica che per un MCU il momento angolare L O è una costante del moto. 4. Una forza F è detta centrale se esiste un punto O fissato in R tale che F = F(r) e r dove x = OP = r e r. Dimostra che se la forza è centrale allora il momento angolare è una costante del moto. 5. Fai degli esempi di forza centrale. 2 A volte chiamato momento cinetico. 4

5 Esercizio 7 Teorema del momento angolare Un pendolo conico è costituito da un punto materiale di massa m sospeso ad un filo, di massa nulla e lunghezza l, fissato ad un punto A sull asse z. Il corpo gira attorno all asse z con una velocità angolare costante su di un cerchio di centro O e raggio R. Il filo fa un angolo con l asse z. A z ω l R O Determina il periodo T del moto utilizzando il teorema del momento angolare d L B dt = M est B scegliendo in modo appropriato il punto B. Esercizio 8 Collisioni 1. Un protone, alla velocità v 0 di valore 500m/s, urta elasticamente un altro protone a riposo. Il primo protone viene deviato a 60 dalla sua direzione primitiva. (a) Quali sono la direzione ed il verso vettore velocità del protone bersaglio dopo l urto? (b) Quali sono le norme dei due vettori velocità dopo l urto? (c) Deduci che in un urto elastico tra due particella di stessa massa esse si allontanano sempre con un angolo di 90 ad eccezione del caso in cui l angolo è 180. Indicazione per a): Calcola v 2 0 = v 0 v 0 con le informazioni ottenute dalla conservazione della quantità di moto. 2. Durante una collisione, una particella di massa m 1 e velocità v 1 è catturata da un nucleo immobile di massa m. Quest ultimo emette quindi una particella di massa m 2 con una velocità v 2 perpendicolare a v 1 ; il resto del nucleo ha una velocità finale v. Determina la variazione di energia cinetica tra lo stato iniziale e lo stato finale. Calcola poi il lavoro delle forze interne. 5

6 Esercizio 9 Sistema a più corpi 1. Dimostrache laquantità di motodi unsistema din PMdi massa m i èdatada p = M v G dove M = N i=1 m i e v G è la velocità del centro di massa. Interpreta questo risultato. 2. Deduci il teorema del centro di massa. Consideriamo ora due PM P 1 e P 2 di massa m 1 e m 2, che subiscono unicamente la forza d interazione reciproca. m 1 x 1 x G G x m 2 x 2 O R 3. Verifica che la quantità di moto e il momento angolare del sistema totale è una costante del moto. Indicazione: Per L verifica che il momento meccanico delle forze interne è nullo. 4. Determina l evoluzione temporale del centro di massa. Esercizio 10 Teorema del centro di massa 1. Un proiettile di massa M lanciato dall origine del sistema di coordinate cartesiane ad un angolo di con una velocità v 0 raggiunto il punto più alto si rompe in due frammenti di massa m. Determina le coordinate d impatto dei due frammenti, sapendo che la distanza tra di loro è d e che atterrano assieme. 2. Una persona di massa m p e posta ad un estremità di una barca di massa m b e lunghezza 2L. La barca galleggia sulla superficie dell acqua, l attrito barca-acqua può essere trascurato. Il sistema di riferimento è quello terrestre e si pone l origine del sistema di coordinate in corrispondenza della posizione iniziale della persona. Determina la posizione finale della persona una volta che raggiunge l estremità opposta della barca. Indicazione: Supponi che il centro di massa della barca sia in corrispondenza del baricentro geometrico e assimila quindi la barca ad un singolo PM. 6