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1 1 Esercizio Una ruota di raggio R = 15 cm e di massa M = 8 Kg può rotolare senza strisciare lungo un piano inclinato di un angolo θ 2 = 30 0, ed è collegato tramite un filo inestensibile ad un blocco di massa m = 2 Kg, che a sua volta può scivolare su un piano inclinato di un angolo θ 1 = 45 o e privo di attrito. 1. calcolare l accelerazione del sistema e stabilire se la ruota sale o scende [6 punti]; 2. calcolare il modulo ed il verso della forza di attrito al contatto ruotapiano [6 punti]; 3. se la ruota parte inizialmente da ferma, calcolare la sua velocità angolare ω dopo un tempo t = 0.5 s [3 punti]. (trascurare la massa delle razze della ruota, e schematizzarla come un anello) m M θ 1 θ 2 SOLUZIONE Dati Iniziali: m = 2 Kg M = 8 Kg θ 1 = π/4 θ 2 = π/6 R = 0.15 m t = 0.5 s Osserviamo anzitutto che, siccome il filo è inestensibile, il sistema si muove solidalmente, e la velocità e l accelerazione traslatorie (nelle rispettive direzioni) sono le stesse per l anello e per il corpo. Fissiamo un verso convenzionale per l accelerazione del sistema (ad esempio quello di discesa lungo il piano per l anello, e dunque di salita lungo il piano per il corpo, come mostrato in figura 1).

2 2 Consideriamo le forze che agiscono su ciascun corpo. Anzitutto scomponiamo la forza peso nelle componenti parallela al piano e ortogonale al piano: { Fp1, = m g sin θ 1 F p1, = m g cos θ 1 (1) e { Fp2, = M g sin θ 2 F p2, = M g cos θ 2 (2) dove le componenti normali sono bilanciate dalla reazione vincolare del piano e non hanno effetto. Inoltre, agisce la tensione T del filo (diretta in maniera opposta sul corpo e sull anello), ed infine sull anello agisce anche la forza di attrito (dato che l anello rotola) che si oppone al moto. T T F att F p1, F p2, F p2, θ 1 θ 2 Figure 1: Le equazioni del moto sono le seguenti moto traslatorio del corpo (punto materiale); mg sin θ 1 + T = ma (3) moto traslatorio del centro di massa dell anello; Il centro di massa si muove con un moto dettato dalla sommatoria di tutte le forze che agiscono sul corpo, come applicate al centro di massa stesso: Mg sin θ 2 T F att = Ma (4)

3 3 moto rotatorio dell anello attorno al centro di massa; Si tratta della equazione del moto rotatorio M E = d L E dove M E e L E sono il momento delle forze e il momento angolare rispetto al sistema di riferimento (peraltro non inerziale) del centro di massa dell anello. Qui osserviamo che per come sono dirette le forze, M E e L E sono diretti lungo l asse perpendicolare al foglio (verso entrante), attorno a cui avviene la rotazione. Proiettando l equazione vettoriale lungo questa direzione abbiamo (5) M E = dl E (6) L unica forza che applica un momento è quella di attrito (le altre hanno braccio nullo) M E = F att R (7) Il momento angolare lungo l asse ortogonale al piano dell anello (un asse principale) si scrive L E = I A ω dl E = I A α (8) dove I A è il momento d inerzia dell anello, e α è l accelerazione angolare; siccome il moto dell anello è di puro rotolamento, il punto di contatto è istantaneamente fermo, e dunque vale la relazione α = a R (condiz. moto di puro rotolamento) (9) (NB: Siccome il punto di contatto rimane istantaneamente fermo, la forza di attrito che agisce su di esso è una forza di attrito statico. Essa soddisfa dunque la relazione 0 F att Fatt max, dove Fatt max = µ s Mg cos θ 2, che è il valore massimo consentito per F att. Pertanto in generale F att µ s Mg cos θ 2 ed il valore effettivo di F att va determinato risolvendo il sistema di equazioni (vedi sotto).)

4 4 In conclusione, dalle equazioni (6), (7), (8) e (9) ricaviamo che F att R = I A a R (10) Abbiamo dunque ottenuto le seguenti equazioni [(4), (3) e (10)] Mg sin θ 2 T F att = Ma mg sin θ 1 + T = ma (11) a F att R = I A R che costituisce un sistema di tre equazioni per le tre incognite a, F att e T. Risolviamo il sistema di equazioni; portiamo in evidenza T nella seconda equazione e dividiamo la terza equazione per R, e Mg sin θ 2 T F att = Ma T = ma + mg sin θ 1 (12) F att = a I A R 2 Sostituendo la seconda e la terza equazione nella prima e otteniamo Mg sin θ 2 ma mg sin θ 1 a I A R 2 = Ma g(m sin θ 2 m sin θ 1 ) = (M + m + I A R 2 )a a = g M sin θ 2 m sin θ 1 m + M + I A R 2 Ricordando ora che il momento d inerzia di un anello vale (13) I A = MR 2 (14) otteniamo che a = g M sin θ 2 m sin θ 1 m + 2M Sostituendo i valori numerici (15) a = 9.81 m 8 Kg sin π 6 2 Kg sin π 4 s 2 2 Kg Kg = 9.81 m s 2 = = 1.41 m s 2 (16) =

5 5 Dal segno si deduce che il verso convenzionalmente scelto è quello lungo cui avviene effettivamente il moto, e dunque la ruota scende. La forza di attrito si può ora valutare dalla terza delle equazioni (12), ricordando anche la (14), ossia: Sostituendo i valori numerici: F att = a I A R 2 = = a M (17) F att = 1.41 m s 2 8 Kg = = 11.3 N (18) Rispetto al centro di massa l anello si muove di moto rotatorio uniformemente accelerato, con accelerazione α [vedi Eq.(9)] α = a R (19) e dunque la velocità angolare varia come ω(t) = α t = a R t (20) dove si è tenuto conto del fatto che inizialmente l anello è fermo (ω 0 = 0). Pertanto dopo un tempo t l anello raggiunge una velocità angolare ω di rotazione pari a Sostituendo i valori otteniamo ω = ω(t ) = a R t (21) ω = 1.41 m s m 0.5s = = 4.7 s 1 (22)

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