Esercizio (tratto dal problema 7.52 del Mazzoldi 2)

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1 1 Esercizio (tratto dal problema 7.5 del Mazzoldi ) Un doppio piano è costituito da due rampe contrapposte, di materiali diversi, inclinate ciascuna di un angolo rispetto all orizzontale. Sulla rampa di destra, che ha coefficienti di attrito statico e dinamico µ 1,S e µ 1,D rispettivamente, si trova un blocco di massa m 1 e dimensioni trascurabili, che può essere modellizzato come un punto materiale. Sulla rampa di sinistra, che ha coefficienti di attrito statico e dinamico µ,s e µ,d, si trova un disco di massa m e raggio R. I due oggetti sono collegati da un filo inestensibile, e si osserva che il disco scende con moto di puro rotolamento, mentre il blocco sale strisciando. m m 1 NB: I punti da 1. a 5. sono preliminari in quanto riguardano nozioni estremamente basilari. Se le risposte ai punti da 1. a 5. non risulteranno corrette, i restanti punti non verranno considerati. 1. Quale delle seguenti affermazioni riguardanti il blocco m 1 è corretta? (riscrivere la risposta per esteso e solo sul foglio protocollo, non qui sotto): [ punti] (a) su m 1 agisce una forza di attrito f att di modulo µ 1,D m 1 g sin lungo il piano; (b) su m 1 agisce una forza di attrito f att di modulo µ 1,D m 1 g cos lungo il piano; (c) su m 1 agisce una forza di attrito f att di modulo µ 1,S m 1 g cos lungo il piano; (d) su m 1 agisce una forza di attrito f att di modulo µ 1,S m 1 g sin lungo il piano;. Quale delle seguenti affermazioni riguardanti il disco m è corretta? (riscrivere la risposta per esteso e solo sul foglio protocollo, non qui sotto): [ punti] (a) su m non agisce alcuna forza di attrito lungo il piano perché il moto del disco è di puro rotolamento; (b) su m agisce una forza di attrito F att di modulo µ,d m g cos lungo il piano; (c) su m agisce una forza di attrito F att lungo il piano; (d) su m agisce una forza di attrito F att di modulo µ,s m g cos lungo il piano; 3. Disegnare le forze che agiscono sul blocco m 1 e scrivere la legge che determina il suo moto lungo la rampa di destra [ punti]; 4. Disegnare le forze che agiscono sul disco e scrivere la legge che determina il moto del suo centro di massa lungo la rampa di sinistra [ punti]; 5. Scrivere la legge che determina il moto rotatorio del disco attorno al suo centro di massa [ punti]; 6. Risolvere le equazioni ottenute nei punti 3, 4, 5, e determinare (in forma simbolica) l accelerazione a del sistema e la forza di attrito F att che agisce sul disco, in funzione di m 1, m, e µ 1,D [3 punti];

2 7. Determinare il valore esplicito di F att nel caso particolare in cui m 1 = Kg, m = 3.5 Kg e = π/5 e µ 1,D = 0.1 [1 punto]; 8. Se all istante t = 0 il centro di massa del disco (m = 3.5 Kg) ha una velocità iniziale pari a v CM = 3.0 m/s, quanto vale l energia cinetica iniziale del disco? [4 punti]; (momento d inerzia del disco rispetto all asse passante per il centro vale I = 1 m R )

3 3 SOLUZIONE 1. Siccome il blocco è un punto materiale che si muove lungo la rampa strisciando, la forza di attrito che il piano esercita su di esso è di tipo dinamico, ed è pari a f att = µ 1,D F p1, = µ 1,D m 1 g cos (1) dove F p1, è la componente normale al piano della forza peso. Siccome dal testo sappiamo che il blocco sale, la forza di attrito f att si oppone al moto ed è diretta lungo il piano verso il basso. Pertanto la risposta corretta è b) su m 1 agisce una forza di attrito f att di modulo µ 1,D m 1 g cos lungo il piano. Sul disco viene esercitata una forza di attrito, altrimenti non rotolerebbe. Inoltre, siccome il disco rotola senza strisciare, il punto di contatto disco-rampa è istantaneamente fermo e dunque la forza di attrito F att che la rampa esercita sul disco è di tipo statico. Il suo valore è un incognita del problema. L unica cosa che possiamo dire è che, essendo il punto di contatto fermo, tale forza incognita non supera la soglia massima, ossia vale che F att µ,s m g cos. e non possiamo affermare che F att = µ,s m g cos, che rappresenta solo il valore massimo. Pertanto la risposta corretta è c) su m agisce una forza di attrito F att lungo il piano Osserviamo anzitutto che, siccome il filo è inestensibile, il sistema blocco+disco si muove solidalmente, e la velocità e l accelerazione traslatorie (nelle rispettive direzioni) sono le stesse per il disco e per il blocco. Fissiamo un verso convenzionale per l accelerazione del sistema (il testo suggerisce quello di discesa lungo il piano per il disco, e dunque di salita lungo il piano per il blocco, come mostrato in figura 1). 3. Consideriamo le forze che agiscono sul corpo m 1. Anzitutto scomponiamo la forza peso nelle componenti parallela al piano e ortogonale al piano: { Fp1, = m 1 g sin () F p1, = m 1 g cos dove la componente normale F p1, è bilanciata dalla reazione vincolare del piano e non ha effetto. Lungo il piano agiscono inoltre su m 1 anche la tensione T del filo (diretta verso l alto) e la forza f att di attrito dinamico (diretta verso il basso perché sappiamo che il blocco sale). L equazione della dinamica per m 1, lungo il piano, è la seguente m 1 g sin + T µ 1,D m 1 g cos = m 1 a (moto traslatorio di m 1 ) (3)

4 4 4. Il centro di massa del disco si muove con un moto dettato dalla sommatoria di tutte le forze che agiscono sul corpo, come applicate al centro di massa stesso. Consideriamo dunque le forze che agiscono su m. Scomponiamo la forza peso nelle componenti parallela al piano e ortogonale al piano: { Fp, = m g sin (4) F p, = m g cos dove la componenti normale è bilanciata dalla reazione vincolare del piano e non ha effetto. Inoltre, agisce la tensione T del filo (diretta in maniera opposta a quella su m 1 ), ed infine sul disco agisce anche la forza di attrito (dato che il disco rotola) che si oppone al moto. Quindi l equazione che determina il moto del centro di massa è F p, m a T F att F p, T F p1, m 1 F p1, f att Figure 1: m g sin T F att = m a (moto traslatorio di m ) (5) 5. moto rotatorio del disco attorno al centro di massa; Si tratta della equazione del moto rotatorio M E = d L E dt (6) dove M E e L E sono il momento delle forze e il momento angolare rispetto al sistema di riferimento (peraltro non inerziale) del centro di massa del disco. Qui osserviamo che per come sono dirette le forze, M E e L E sono diretti lungo l asse perpendicolare al foglio (verso uscente), attorno a cui avviene la rotazione. Proiettando l equazione vettoriale lungo questa direzione abbiamo M E = dl E dt (7)

5 5 L unica forza che applica un momento è quella di attrito (le altre hanno braccio nullo) M E = F att R (8) Il momento angolare lungo l asse ortogonale al piano del disco (un asse principale) si scrive L E = I D ω dl E = I D α (9) dt dove I D è il momento d inerzia del disco, e α è l accelerazione angolare; siccome il moto del disco è di puro rotolamento, il punto di contatto è istantaneamente fermo, e dunque vale la relazione α = a R (condiz. moto di puro rotolamento) (10) In conclusione, dalle equazioni (7), (8), (9) e (10) ricaviamo che F att R = I D a R (moto rotatorio di m 1 ) (11) 6. Abbiamo dunque ottenuto le seguenti equazioni [(3) (5), e (11)] m 1 g sin + T µ 1,D m 1 g cos = m 1 a m g sin T F att = m a F att R = I D a R che costituisce un sistema di tre equazioni per le tre incognite a, F att e T. Risolviamo il sistema di equazioni; portiamo in evidenza T nella prima equazione e dividiamo la terza equazione per R, e T = m 1 a + m 1 g sin + µ 1,D m 1 g cos m g sin T F att = m a F att = a I D R Sostituendo la prima e la terza equazione nella seconda otteniamo (1) (13) m g sin m 1 a m 1 g sin µ 1,D m 1 g cos a I D R = m a g (sin (m m 1 ) µ 1,D m 1 cos ) = (m + m 1 + I D R )a a = g sin (m m 1 ) µ 1,D m 1 cos m + m 1 + I D R (14)

6 6 Ricordando ora che il momento d inerzia di un disco vale otteniamo che I D = 1 m R (15) a = g sin (m m 1 ) µ 1,D m 1 cos m m (16) Per quanto riguarda l attrito F att, dalla terza delle (13) otteniamo che Sostituendo la (16) si ottiene F att = a I D R = 1 m a (17) F att = m g sin (m m 1 ) µ 1,D m 1 cos m 1 + 3m (18) Possiamo (anche se non richiesto) determinare infine la tensione T sostituendo l eq.(16) nella prima delle equazioni (13); otteniamo l espressione ( ) T = m 1 g sin (m m 1 ) µ 1,D m 1 cos m m + g sin + µ 1,D g cos = ( ) sin (m m 1 ) µ 1,D m 1 cos = m 1 g m m + sin + µ 1,D cos = ( sin (m m 1 + m = m 1 g m ) + µ 1,D ( m 1 + m m ) ) cos m m = ( 5 m sin + 3 m ) µ 1,D cos = m 1 g m m ossia ( ) 5 sin + 3 µ1,d cos T = g m 1 m m 1 + 3m (19) 7. Sostituendo i valori numerici in (18) otteniamo F att = m g sin (m m 1 ) µ 1,D m 1 cos m 1 + 3m = = 3.5 Kg 9.81 m s sin π 5 (3.5 ) Kg 0.1 cos π 5 Kg Kg Kg = 1.70 Kg m s = = 1.70 N (0) 8. Dal teorema di König sappiamo che l energia cinetica del disco consta dell energia cinetica del centro di massa e dell energia cinetica rotazionale, ossia K = 1 m v CM + 1 I Dω (1) =

7 7 dove ω è la velocità angolare di rotazione, nel sistema del centro di massa. Dato che il disco rotola senza strisciare si ha e dunque ω = v CM R I D K = 1 m vcm + 1 R v CM = = 1 ( m + I ) D R vcm = = 1 ( m + 1 ) m vcm = = 3 4 m v CM () Sostituendo i valori K = Kg (3.0m s ) = = 4.6 J (3)