Soluzione della prova scritta del 18 Aprile 2011

Transcript

1 Soluzione della prova scritta del 18 Aprile Nel sistema di figura, posto in un piano verticale, i due dischi, di peso, sono omogenei e hanno raggio, mentrelalaminaquadratahalato epeso. La lamina si appoggia con vincolo scabro sui due dischi, i quali a loro volta si appoggiano senza attrito sulla guida orizzontale. Si determini il valore della costante elastica tale che il sistema sia in equilibrio quando il triangolo è rettangolo; si calcolino le reazioni vincolari in ein; si determinino le azioni che la lamina quadrata esercita (in ein ) sugli altri due dischi; chiamato il coefficiente di attrito statico tra dischi e lamina, si trovi il minimo valore di per avere l equilibrio. La prima equazione cardinale per l intero sistema equivale a Φ + Φ = + (1) Dalla seconda equazione cardinale con polo, siha = +Φ Φ + =0 = Φ = Φ () Quindi Φ = Φ = 1 + () 1

2 Consideriamo ora il solo disco di centro. Scriviamo la seconda equazione cardinale con polo : = cos (4 cos ) sin + Φ cos =0 = 4 (4) Semplificando otteniamo = 8 (5) La prima equazione cardinale, sempre per il disco con centro, implica poi che ½ ½ + Φ Φ =0 Φ Φ =0 = = (6) = (4 cos ) = Dalla relazione di Coulomb Φ Φ = Φ Φ Φ + Φ () ovvero 0= 4 4 (8) Quindi il coefficiente di attrito statico è qualsiasi.. In un piano verticale, un disco omogeneo di massa e raggio rotola senza strisciare lungo una guida orizzontale. Un asta, di lunghezza e massa, ha l estremo vincolato mediante una cerniera al centro del disco. Se inizialmente il centro del disco si trova nell origine e l angolo Φ

3 dell asta rispetto alla verticale è 4, scrivere le equazioni di Lagrange; dire se esistono eventuali coordinate cicliche. In questo caso, scrivere l espressione dell integrale primo associato (costante del moto); scrivere l integrale dell energia e valutare la velocità angolare dell asta in un istante generico, sfruttando l informazione del punto precedente, sapendo che la velocità del disco e dell asta sono nulle al tempo =0; determinare la reazione vincolare nel punto di contatto fra disco e guida nella configurazione iniziale. Il sistema ha due gradi di libertà. Scegliamo come coordinate libere la coordinata del baricentro, oppure l angolo e l angolo che l asta forma con la verticale come in figura Ilsistemaèconservativo. L unicaforzaattivaèlaforzapesochecontribuisce con un potenziale dato da () = cos (9) L energia cinetica èdatada = + (10)

4 Poichè il disco rotola senza strisciare, =. Per il teorema di König = = 4 = 4 (11) Anche per l asta usiamo il teorema di König e scriviamo = 1 () = µ (1) Le coordinate del baricentro dell asta sono: ½ = + sin ½ = + = cos = cos = sin (1) per cui = µ cos + 1 µ 1 (14) La lagrangiana del sistema diventa L = + = µ cos cos (15) Equazioni di Lagrange per ( ) µ L L = µ + cos =0 = cond. iniziali Poichè L =0= è ciclica e = cos (16) + cos = (1) rappresenta un integrale primo. Equazioni di Lagrange per ( ) µ L L = + cos = sin sin (18) Sostituendo l equazione 16 nell equazione 18, si ottiene + cos µ cos = sin sin µ cos (19) L integrale dell energia è semplicemente = = µ cos + 1 cos = (0) 4

5 Dalla 16, si ottiene µ 4 cos + à µ cos cos µ! cos + 1 = cos e la velocità angolare dell asta in un istante generico diventa cos Ã! = cos 1 (1) = =1 cos ( cos ) () Per calcolare la reazione vincolare nel punto di contatto tra guida e disco esufficiente scrivere la prima equazione cardinale rispetto all asse. Si ottiene Φ + + = () Da = cos = = sin = = cos sin (4) dalla e dalla, si ricava Φ + = = Φ = µ cos sin à =+ cos 1 cos!+ Ã1 ( cos ) sin =+ cos cos! ( cos ) " + # sin 1 cos ( cos sin 1 sin cos ) ( cos ) (5) Nella configurazione iniziale, = 4 e Φ =