Esercizi di statica e dinamica I parte

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1 Esercizi di statica e dinamica I parte EQ1) Una lamina CD di forma quadrata (lato 2L e densità in un suo generico punto P, µ(p) = 3m 8L 4 GP 2, con G punto d incontro delle diagonali del quadrato) è vincolata a muoversi in un piano verticale ed il vertice è incernierato nell origine del sistema di riferimento. Il sistema è soggetto, oltre che alla forza peso, ad una forza F = (mg/2) i applicata in e ad una coppia di forze di momento M = β cos(ϕ)k (con β R + ). Supposti i vincoli lisci ed introdotto il parametro adimensionale λ = β/(mgl) R +, determinare, utilizzando la coordinata lagrangiana ϕ riportata in figura: i le configurazioni di equilibrio ordinarie e la loro stabilità al variare di λ; ii la reazione vincolare in in regime statico nelle posizioni di equilibrio ordinarie del sistema; iii Ritrovare le configurazioni di equilibrio utilizzando le equazioni cardinali della della posizione di equilibrio stabile. D C = ϕ Figura esercizio n. EQ1 EQ2) Un asta, di lunghezza L e densità, in un suo generico punto P, µ(p) = 4m L 2 P, ha gli estremi vincolati a muoversi rispettivamente sull asse e sull asse di un sistema di assi cartesiani. Il sistema è soggetto, oltre che alla forza peso, ad una coppia di forze di momento M = α sin()k (α R + ). Supposti i vincoli lisci ed introdotto il parametro adimensionale λ = mgl/α R +, determinare, utilizzando la coordinata lagrangiana, indicata in figura: i le configurazioni di equilibrio ordinarie del sistema e la loro stabilità al variare di λ; ii le reazioni vincolari in ed in nelle posizioni di equilibrio ordinarie del sistema. 1

2 iii Ritrovare le configurazioni di equilibrio del sistema utilizzando le equazioni cardinali della iv Scrivere l equazione di Lagrange per il sistema in esame e le equazioni delle piccole oscillazioni nell intorno della configurazione di equilibrio stabile. Figura esercizio n.eq2 EQ3) Un asta omogenea di lunghezza 2L e massa m ha gli estremi e vincolati a muoversi rispettivamente sull asse e sull asse di un sistema di riferimento cartesiano. ll asta è fissato rigidamente un disco omogeneo D di massa m e raggio L/4 in modo che il centro G del disco coincida con il punto medio dell asta. Il sistema è soggetto, oltre che alla forza peso, ad una forza elastica F e = K 2. Supposti i vincoli lisci ed introdotto il parametro adimensionale λ = mg/(k 2 L) R +, determinare utilizzando la coordinata lagrangiana ϕ, riportata in figura: i le configurazioni di equilibrio e la loro stabilità al variare del parametro λ; ii le reazioni vincolari in ed in in regime statico nelle posizioni di equilibrio. iv Scrivere l equazione del moto di Lagrange e l equazione delle piccole oscillazioni nell intorno della posizione di equilibrio stabile per λ > 2. EQ4) Un asta (di densità, in un suo generico punto Q, µ(q) = m MQ 2 /(8L 3 ) con M punto medio di e di lunghezza 2L) è vincolata a scorrere nell origine di un sistema di riferimento cartesiano, in modo che formi con l asse un angolo costante uguale a π/4 e che gli estremi e non possano oltrepassare l origine. Il sistema è soggetto, oltre che alla forza peso, alla forza elastica F e = K 2 (con proiezione ortogonale di sull asse ). Supposti i vincoli lisci ed introdotto il parametro adimensionale λ = mg 2 6K 2 L R+, 2

3 ϕ G Figura esercizio n.eq3 determinare, utilizzando la coordinata lagrangiana s, riportata in figura: i le configurazioni di equilibrio ordinarie e di conine del sistema e la stabilità delle posizioni di equilibrio ordinarie al variare di λ; ii la reazione vincolare in nelle posizioni di equilibrio ordinarie del sistema; della posizione di equilibrio stabile. s M π / 4 Figura esercizio n.eq4 EQ5) Due aste omogenee, (di lunghezza 2L e massa 2m) ed (di lunghezza 2L e massa m), sono collegate rigidamente in in modo da formare un angolo retto (si veda 3

4 la figura) e l asta ha l estremo incernierato nell origine di un sistema di riferimento cartesiano. Il sistema è soggetto, oltre che alla forza peso, ad una coppia di momento M = β sin()k (con β R + ) e ad una forza costante F = 2mgj applicata in. Supposti i vincoli lisci ed introdotto il parametro adimensionale λ = mgl/β R +, determinare, utilizzando la coordinata lagrangiana : i le configurazioni di equilibrio del sistema e la loro stabilità al variare di λ; ii la reazione vincolare in in regime statico; iii Ritrovare le posizioni di equilibrio del sistema utilizzando le equazioni cardinali della della configurazione di equilibrio stabile. Figura esercizio n.eq5 EQ6) Un sistema materiale è costituito da due aste ed. L asta, di lunghezza L e di densità, in un suo generico punto Q, µ(q) = 4m Q 3 /(3L 4 ), ha l estremo incernierato nell origine di un sistema di riferimento cartesiano, mentre l asta omogenea (di massa m e lunghezza L) ha l estremo incernierato all asta e l estremo vincolato a muoversi lungo l asse. Il sistema è soggetto, oltre che alla forza peso, ad una forza costante F = (8mg/15)j applicata nel baricentro di e ad una forza elasica F e = K 2. Supposti i vincoli lisci ed introdotto il parametro adimensionale λ = mg 4K 2 L R+, determinare, utilizzando la coordinata lagrangiana (si ipotizzi la presenza di vincoli unilaterali per cui 0 π/3), riportata in figura: i le configurazioni di equilibrio ordinarie e di confine e la stabilità delle posizioni ordinarie al variare di λ; 4

5 ii la reazione vincolare in in regime statico nelle posizioni di equilibrio. statica, determinando anche le reazioni vincolari interne in. iv Scrivere l equazione di Lagrange per il sistema. Figura esercizio n.eq6 5