Prova scritta di Meccanica Razionale Sessione straordinaria - Primo appello - 14/1/2000

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1 Prova scritta di Meccanica Razionale Sessione straordinaria - Primo appello - 14/1/000 Si consideri una guida circolare di massa M e diametro B = R, su cui è vincolato a scorrere un anellino di dimensioni trascurabili e massa m. Tale guida si muove rigidamente in un piano lungo una guida verticale. Tra il punto e il punto della guida circolare è applicata una forza elastica di costante k > 0. Si chiede di: (a) trovare la lagrangiana del sistema; (b) trovare le equazioni del moto e le posizioni di equilibrio; (c) studiare le piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile. B

2 Prova scritta di Meccanica Razionale Sessione straordinaria - Secondo appello - 8/1/000 Si consideri un asta di massa m e lunghezza B = l, vincolata ad una parete orizzontale in modo che possa scorrere ed oscillare in un piano verticale. Tra l estremità libera B dell asta e il punto fisso C sulla parete è applicata una forza elastica di costante k > 0. Si chiede di: (a) trovare la lagrangiana del sistema; (b) trovare le equazioni del moto e le posizioni di equilibrio; (c) trovare l ampiezza delle pulsazioni delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile. C B

3 Prova scritta di Meccanica Razionale Sessione straordinaria - Terzo appello - 11//000 In un piano verticale si consideri un disco omogeneo di raggio R e massa M che rotoli senza strisciare lungo una guida orizzontale. Tra il centro del disco e l asse è applicata una forza elastica di direzione orizzontale e costante elastica k > 0. Un asta di lunghezza l e massa trascurabile è incernierata per un estremità al centro del disco; all estremità libera dell asta è attaccato un corpo di massa m e dimensioni trascurabili. Tutto il sistema è soggetto alla forza di gravità. Si chiede: (a) le posizioni di equilibrio del sistema e lo studio della loro stabilità; (b) la lagrangiana del sistema; (c) le pulsazioni delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile. k M R l m

4 Meccanica Razionale - Esercizio Seconda prova - 7/4/000 Versione Si consideri un sistema di riferimento cartesiano in un piano verticale, con l asse orientato verso l alto. Nel semipiano delle ascisse positive, una guida liscia segue il profilo della parabola di equazione = a, a > 0. Un punto materiale P di massa m può scorrere sulla guida ed è sottoposto, oltre alla forza peso, ad una forza elastica di coefficiente k > 0 e polo il punto = ( 0, a) 1. Si chiede di determinare: (1) le posizioni di equilibrio di P ; () la reazione vincolare nelle posizioni di equilibrio; (3) l equazione differenziale del moto di P ; (4) le posizioni di equilibrio relativo di P, nel caso in cui la guida ruoti con velocità angolare costante ω attorno all asse delle ordinate. P, m

5 Meccanica Razionale - Esercizio Seconda prova - 7/4/000 Versione B Si consideri un sistema di riferimento cartesiano in un piano verticale, con l asse orientato verso il basso. Nel semipiano delle ascisse positive, una guida liscia segue il profilo della parabola di equazione = a, a > 0. Un punto materiale P di massa m può scorrere sulla guida ed è sottoposto, oltre alla forza peso, ad una forza elastica di coefficiente k > 0 e polo il punto = ( 0, a) 1. Si chiede di determinare: (1) le posizioni di equilibrio di P ; () la reazione vincolare nelle posizioni di equilibrio; (3) l equazione differenziale del moto di P ; (4) le posizioni di equilibrio relativo di P, nel caso in cui la guida ruoti con velocità angolare costante ω attorno all asse delle ordinate. P, m

6 Meccanica Razionale - Esercizio Terza prova - 1/6/000 Un asta omogenea di massa m e lunghezza l ha un estremo incernierato in modo liscio nell origine di un riferimento cartesiano ortogonale, posto in modo che l asse z sia verticale ascendente. L asta è soggetta al proprio peso; inoltre, tra l estremo libero dell asta e il punto B = (l, 0, 0) è applicata una forza elastica di costante k = αmg, con α > 0. Si indichi l con θ l angolo formato dall asta con la parte positiva dell asse z, e con ϕ l angolo formato dalla proiezione dell asta sul piano con la parte positiva dell asse. Supponendo θ ]0, π[ e ϕ [0, π[, si chiede di determinare le posizioni di equilibrio dell asta e di discuterne la stabilità. Si chiede inoltre di determinare le equazioni differenziali del moto dell asta. z m, l k B

7 Prova scritta di Meccanica Razionale Sessione estiva - Primo appello - 13/6/000 In un piano verticale, un disco omogeneo di raggio R e massa m è vincolato a ruotare attorno al proprio centro, il quale è fissato nell origine di un sistema di assi cartesiani. Tra un punto C sul bordo del disco e il punto D( R, 0) intercorre una forza elastica di coefficiente k > 0. l punto del disco diametralmente opposto a C, è incernierato l estremo di un asta omogenea B, libera di ruotare intorno ad. Tutto il sistema è soggetto alla forza di gravità. Supposti tutti i vincoli lisci, si chiede di determinare: (a) le equazioni differenziali del moto; (b) le posizioni di equilibrio del sistema e lo studio della loro stabilità; (c) le pulsazioni delle piccole oscillazioni attorno a una posizione di equilibrio stabile. C R, m D l, m B

8 Prova scritta di Meccanica Razionale Sessione estiva - Secondo appello - 7/6/000 In un piano verticale, un asta omogenea B di lunghezza l e massa m è vincolata a ruotare attorno al proprio estremo, il quale è fissato nell origine di un sistema di assi cartesiani. Sull asta scorre un anellino di massa m e dimensioni trascurabili, il quale è soggetto ad una forza elastica di coefficiente k > 0 e polo il punto B, che si muove sull asse restando sulla verticale dell anellino. Tutto il sistema è soggetto alla forza di gravità. Supposti tutti i vincoli lisci, si chiede di determinare: (a) le equazioni differenziali del moto; (b) le posizioni di equilibrio ordinarie e di confine del sistema e lo studio della stabilità di quelle ordinarie; (c) le pulsazioni delle piccole oscillazioni attorno a una posizione di equilibrio stabile. m l, m

9 Prova scritta di Meccanica Razionale Sessione estiva - Terzo appello - 11/7/000 In un piano verticale, un asta omogenea di lunghezza l e massa m è vincolata a ruotare attorno al proprio estremo, il quale è fissato nell origine di un sistema di assi cartesiani. ll estremo è saldato l estremo di un asta omogenea B, di massa m e lunghezza l, in modo che le due aste risultino tra loro perpendicolari. Sull asta B scorre un anellino di massa m e dimensioni trascurabili, il quale è soggetto ad una forza elastica di coefficiente k = 3mg e polo il punto C di coordinate (0, l). Tutto il sistema è soggetto alla forza di l gravità. Supposti tutti i vincoli lisci, si chiede di determinare: (a) le equazioni differenziali del moto; (b) le posizioni di equilibrio ordinarie del sistema e lo studio della loro stabilità; (c) le reazioni vincolari statiche in una posizione di equilibrio. C l k l, m l, m m B

10 Prova scritta di Meccanica Razionale Sessione autunnale - Primo appello - 1/9/000 In un piano verticale è fissato un sistema di riferimento. Un asta omogenea B di lunghezza l e massa m è vincolata a ruotare attorno al proprio baricentro G, il quale si può muovere lungo una guida verticale coincidente con l asse. Sull estremo B dell asta agisce una forza elastica con polo nell origine degli assi cartesiani e coefficiente di elasticità k > 0. Tutto il sistema è soggetto alla forza di gravità. Supposti tutti i vincoli lisci, si chiede: (a) la lagrangiana del sistema; (b) le posizioni di equilibrio del sistema e lo studio della loro stabilità; (c) lo studio delle piccole oscillazioni attorno a una posizione di equilibrio stabile. k B G l, m

11 Prova scritta di Meccanica Razionale Secondo appello - 5/4/001 In un piano verticale è fissato un sistema di riferimento. Un asta omogenea B di lunghezza l e massa m è vincolata con vincolo liscio a ruotare attorno al proprio estremo, il quale si può muovere senza attrito lungo una guida verticale coincidente con l asse. Sul baricentro G dell asta agisce una forza elastica di coefficiente di elasticità k > 0 con polo nel punto C di coordinate (l, 0). Tutto il sistema è soggetto alla forza di gravità. Si chiede di determinare: (a) le posizioni di equilibrio del sistema e lo studio della loro stabilità al variare di k; (b) la lagrangiana del sistema; (c) le piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile. l C k G l, m B

12 Prova scritta di Meccanica Razionale Sessione estiva - Primo appello - 19 giugno 001 In un piano verticale, un asta omogenea di massa m e lunghezza l è vincolata a ruotare attorno al proprio estremo, fissato nell origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali. Un disco omogeneo di raggio l e massa m è vincolato a ruotare attorno al proprio centro, il quale è fissato nell estremo dell asta. Tra un punto fissato B sul bordo del disco e il punto intercorre una forza elastica di coefficiente k > 0. Tutto il sistema è soggetto alla forza di gravità. Supposti tutti i vincoli lisci, si chiede di determinare: (a) le posizioni di equilibrio del sistema e lo studio della loro stabilità; (b) le equazioni differenziali del moto; (c) le reazioni vincolari statiche nella posizione di equilibrio stabile. k l, m B l, m

13 Prova scritta di Meccanica Razionale Sessione estiva - Secondo appello - 10 luglio 001 In un piano verticale, un corpo rigido è formato da due aste B e BC, entrambe di massa m e lunghezza l, saldate nel loro estremo comune B in modo da formare un angolo retto. Tale estremo B è vincolato a scorrere su una retta orizzontale e il corpo rigido può ruotare attorno ad esso. Tra un punto fissato e l estremo intercorre una forza elastica di costante k > 0. Inoltre, sull estremo C agisce un altra forza elastica di costante k > 0 e polo il punto H che si muove sulla retta orizzontale restando sulla verticale di C. Tutto il sistema è soggetto alla forza di gravità. Supposti tutti i vincoli lisci, si chiede di determinare: (a) le posizioni di equilibrio del sistema e lo studio della loro stabilità; (b) le equazioni differenziali del moto; (c) l approssimazione lineare della lagrangiana e l equazione delle pulsazioni delle piccole oscillazioni attorno a una posizione di equilibrio stabile. B k H k l, m l, m C

14 (a) Chiamo ξ l ascissa di B e θ l angolo B. Sia G il baricentro di B e G quello di BC. llora G = l sin θ e G = l cos θ. Poi: ( ) = ( B) + (B ) = ( l cos θ + ξ, l sin θ), (C H) = (0, l cos θ). Quindi il potenziale (a meno dei termini costanti) è: U(ξ, θ) = mg( G + G ) 1 k( + C H ) = = mg(l sin θ + l cos θ) 1 k(ξ 4ξl cos θ + 4l cos θ) = = mg(l sin θ + l cos θ) 1 k(ξ l cos θ). Cerchiamo i punti critici: U = k(ξ l cos θ) = 0 ξ U = mgl cos θ mgl sin θ k(ξ l cos θ)l sin θ ; θ dall prima si ricava ξ = l cos θ, e dalla seconda cos θ = sin θ, da cui θ = π o θ = 5 π. Quindi 4 4 le posizioni di equilibrio sono P 1 (l, π) e P 4 ( l, 5 π). La matrice hessiana è 4 [ ] k kl sin θ H = kl sin θ mgl sin θ mgl cos θ 4kl sin θ k(ξ l cos θ)l sin θ da cui H(P 1 ) = [ k kl kl mgl kl ] [ k kl, H(P ) = kl mgl kl ]. La posizione P 1 è un massimo per il potenziale, quindi è stabile, mentre P è una sella. (b) Posso trovare l energia cinetica considerando le velocità dei baricentri delle due aste e i termini di rotazione attorno ai baricentri (la velocità angolare sarà θ per entrambe le aste, visto che sono saldate). Si ha v G = θ l + ξ + l ξ θ sin θ, v G = θ l + ξ + l ξ θ cos θ, J Gz = J G z = 1 1 m4l = 1 3 ml, quindi K(ξ, θ, ξ, θ) = 4 3 ml θ + m ξ + ml ξ θ(sin θ + cos θ).

15 In definitiva la lagrangiana è L(ξ, θ, ξ, θ) = 4 3 ml θ + m ξ + ml ξ θ(sin θ + cos θ) + mg(l sin θ + l cos θ) 1 k(ξ l cos θ), e dunque si possono ricavare le equazioni differenziali del moto. (c) Bisogna calcolare la matrice dell energia cinetica e l hessiano del potenziale nella posizione di equilibrio stabile; risulta: [ 1 m J = ml ] [ k kl ] 1 ml, H = 4 3 ml kl mgl, kl e la lagrangiana approssimata si ottiene calcolando L = 1 [ ] [ ] ξ ξ θ J + 1 [ ξ l θ π θ 4 La frequenza delle pulsazioni si ottiene risolvendo l equazione ] det [ω J + H = 0, che fornisce ] H [ ξ l θ π m l ω 4 (m gl + 43 ) kml ω + kmgl = 0, da cui si possono ricavare le pulsazioni ω. ].

16 Prova scritta di Meccanica Razionale Sessione autunnale - Primo appello - 18 settembre 001 In un piano verticale, una guida circolare di raggio R e massa m è vincolata a ruotare in modo liscio attorno al proprio centro, posto nell origine di un sistema di assi cartesiani. l suo interno è vincolato a muoversi con vincolo di puro rotolamento un disco di massa m e raggio R/ è vincolato a restare a contatto con la guida mediante un vincolo di puro rotolamento. Tra il centro del disco e un punto fissato della guida circolare è presente una forza elastica di coefficiente k. Tutto il sistema è soggetto alla forza di gravità. Si chiede di determinare: (a) le posizioni di equilibrio del sistema e lo studio della loro stabilità; (b) la velocità angolare del disco; (c) la lagrangiana del sistema; (d) nel caso m = 1, k = 1, g = 1, R = 1, le equazioni del moto linearizzate attorno alla posizione di equilibrio stabile e l ampiezza delle piccole oscillazioni. Si indichi con φ l angolo ÔH e con θ l angolo Ô. θ H k φ Tempo di risoluzione: ore. È permessa la consultazione degli appunti del corso. Correzione e orali: giovedì 0 settembre alle ore 9,30.

17 Svolgimento del compito di Meccanica Razionale del 18 settembre 001 Sia φ l angolo ÔH e θ l angolo Ô; si ha θ, φ [0, π], quindi non ci sono posizioni di confine. 1) Si ha = R sin φ, quindi il potenziale si esprime come = R + R 4 R cos (θ φ), U(θ, φ) = mg R sin φ + 1 kr cos (θ φ) + cost. I punti stazionari si trovano risolvendo U θ = 1 kr sin (θ φ) = 0 U φ = mg R cos φ + 1 kr sin (θ φ) = 0, quindi (θ, φ) = (π/, π/), (3π/, π/), (π/, 3π/) o (3π/, 3π/). La matrice hessiana è H(θ, φ) = 1 [ ] kr cos (θ φ) kr cos (θ φ) kr cos (θ φ) mgr sin φ kr, cos (θ φ) da cui H(π/, π/) = 1 mgr3 k instabile, H(3π/, π/) = 1 mgr3 k e H 11 > 0 instabile, H(π/, 3π/) = 1 mgr3 k instabile, H(3π/, 3π/) = 1 mgr3 k e H 11 < 0 stabile. ) La velocità angolare della guida circolare è θ, la velocità del centro del disco è R φt, dove t è il versore della rotazione di θ. Denotando con ω la velocità angolare del disco e imponendo il vincolo di puro rotolamento in H si ottiene da cui, tenendo conto che k r = t, si ottiene v H = v + ωk R r, v H = R θt, ω = θ φ. 3) Per trovare la lagrangiana è sufficiente determinare l energia cinetica del sistema. Si ha K guida = 1 mr θ. Inoltre, essendo 1m ( ) R il momento d inerzia del disco rispetto all asse per perpendicolare al piano, si ha K disco = 1 8 mr φ mr ( θ φ) = 1 4 mr θ mr φ 1 4 mr θ φ. 1

18 Quindi l energia cinetica del sistema è da cui si esprime la lagrangiana K = 3 4 mr θ mr φ 1 4 mr θ φ, L( θ, φ, θ, φ) = 3 4 mr θ mr φ 1 4 mr θ φ mg R sin φ + 1 kr cos (θ φ). 4) L unica posizione stabile si ha per θ = φ = 3π/: ponendo le costanti uguali a 1, la matrice hessiana nella posizione di equilibrio stabile è [ ] 1 1 H = 1, 1 quindi il potenziale linearizzato diventa U = 1 [ [ θ 3 θ π φ 3π] 3 H π ] φ 3π = 1 θ φ + θφ + 3 πφ + cost. Inoltre K non dipende dalla posizione, quindi la lagrangiana linearizzata è L( θ, φ, θ, φ) = 3 4 θ φ 1 4 θ φ 1 θ φ + θφ + 3 πφ da cui si ricavano le equazioni del moto approssimate: d L dt θ = 3 θ 1 4 φ L θ = θ + φ d L dt φ = 3 8 φ 1 4 θ L φ = φ + θ + 3 π, quindi 3 θ 1 4 φ + θ φ = φ 1 4 θ + φ θ 3 π = 0. Per calcolare le pulsazioni delle piccole oscillazioni esprimiamo l energia cinetica in forma matriciale: K = 1 [ [ ] 3 [ θ φ] 1 ] 4 θ φ da cui 1 4 [ 3 ω1, = det(ω K + H) = det ω ω ω ω 1 e si ricavano le ampiezze delle pulsazioni: ω = 3 ± ]

19 Prova scritta di Meccanica Razionale Sessione autunnale - Secondo appello - ottobre 001 Sia un riferimento cartesiano ortogonale in un piano verticale, con l asse orientato verso l alto. Una guida circolare di raggio R e massa m è vincolata a ruotare senza strisciare lungo l asse. Si denoti con H l istantaneo punto di contatto tra la guida e l asse. Il centro G della guida è sottoposto ad una forza elastica di coefficiente k e polo l origine. Inoltre, lungo la guida circolare scorre in modo liscio un punto materiale P di massa M. Tutto il sistema è soggetto alla forza di gravità. Si chiede di: (a) determinare le posizioni di equilibrio del sistema e lo studio della loro stabilità; (b) determinare la velocità angolare della guida e la lagrangiana del sistema; (c) ponendo k = 1, R = 1, M = m = 1 e g = 1, determinare e risolvere le equazioni del moto linearizzate attorno alla posizione di equilibrio stabile. Si indichi con ξ l ascissa di H e con θ l angolo che descrive la posizione di P rispetto all orizzontale. P θ H G ξ k Tempo di risoluzione: ore. Correzione e orali: venerdì 5 ottobre alle ore 10,30.

20 Svolgimento del compito di Meccanica Razionale del ottobre 001 Si ha ξ R e θ [0, π], quindi non ci sono posizioni di confine. (a) Calcoliamo il potenziale: si ha G = ξ P = ξ + R sin θ G = R + ξ quindi U(ξ, θ) = mgξ Mg(ξ + R sin θ) 1 kξ + cost. I punti stazionari si trovano risolvendo U = mg Mg kξ = 0 ξ U = MgR cos θ = 0, θ ( da cui si trovano due posizioni di equilibrio: C 1 m+m g, π k hessiana è [ ] k 0 H(ξ, θ) =, 0 MgR sin θ da cui si ha immediatamente che C 1 è instabile e C è stabile. ) ( e C m+m g, 3π). La matrice k (b) La velocità angolare della guida circolare si trova imponendo il vincolo di puro rotolamento in H: poiché la velocità di H come punto dell asse è nulla, si deve avere 0 = v H = v C + ω k (H G) = ξ j + ω k ( R i ) = ( ξ ωr) j da cui ω = ξ R. Per trovare la lagrangiana non resta che determinare l energia cinetica del sistema. Si ha (P ) = (P G)+(G ) = R cos θ i +R sin θ j +R i +ξ j = R(1+cos θ) i +(ξ+r sin θ) j, quindi la velocità di P è v P = R θ sin θ i + ( ξ + R θ cos θ) j, v P = R θ + ξ + R ξ θ cos θ, Inoltre, essendo vc = ξ e I Cz = mr, si trova K = 1 M(R θ + ξ +R ξ θ cos θ)+ 1 m ξ + 1 ξ mr (m R = + 1 ) M ξ + 1 MR θ +MR ξ θ cos θ. Quindi la lagrangiana del sistema è L( ξ, θ, ξ, θ) = (m + 1 ) M ξ + 1 MR θ + MR ξ θ cos θ mgξ Mg(ξ + R sin θ) 1 kξ. 1

21 (c) Ponendo le costanti uguali a 1, la posizione stabile si scrive C (, 3 π) e la matrice hessiana [ ] 1 0 H =, 0 1 quindi il potenziale linearizzato diventa Ũ = 1 [ ] [ ξ + θ 3 ξ + π] H θ 3π Inoltre l energia cinetica K, calcolata nella posizione C è e si ricava la lagrangiana linearizzata da cui K = 3 ξ + 1 θ = 1 ξ 1 θ ξ + 3 πθ + cost. L( ξ, θ, ξ, θ) = 3 ξ + 1 θ 1 ξ 1 θ ξ + 3 πθ, d dt L = 3 ξ ξ L ξ = ξ d dt L = θ θ L θ = θ + 3 π. Quindi le equazioni del moto approssimate sono 3 ξ + ξ + = 0 θ + θ 3 π = 0, che si risolvono immediatamente: ω1 = 1, 3 ω = 1, quindi ( 3 ) ξ(t) = cos t + α 3 θ(t) = B cos (t + β) + 3π, dove, B, α, β dipendono dalle condizioni iniziali.

22 Prova scritta di Meccanica Razionale Sessione invernale - Primo appello - 11 dicembre 001 In un piano verticale, un asta B di massa m e lunghezza l è vincolata a ruotare attorno al proprio estremo, il quale scorre lungo l asse di un sistema di riferimento ortogonale (vedi figura). L asta non è omogenea, bensì ha densità lineare ρ(p ) = m P. Tra l estremo B l dell asta e l origine intercorre una forza elastica di coefficiente k = mg. 3l Si ponga ξ = e θ = ÂB. Tutto il sistema è soggetto alla forza di gravità. Supposti tutti i vincoli lisci, si chiede di determinare: (a) la posizione del centro di massa (baricentro) G e il momento d inerzia baricentrale I Gz dell asta; (b) le posizioni di equilibrio del sistema e lo studio della loro stabilità; (c) la lagrangiana del sistema; (d) le pulsazioni delle piccole oscillazioni nella posizione di equilibrio che si ha per θ = 0. ξ θ l, m k = mg 3l B

23 Soluzione della prova scritta di Meccanica Razionale Primo appello - 11/1/001 (a) Calcoliamo la posizione del centro di massa dell asta rispetto al suo estremo : denotando con la distanza del generico punto P dell asta da, la densità diventa ρ() = m. Quindi l G = 1 m l 0 m l d = l l 0 d = 3 l. La posizione del baricentro in funzione dei parametri ξ, θ diviene (G ) = (G ) + ( ) = 3 l(sin θ i cos θ j ) + ξ j = 3 l sin θ i + (ξ l cos θ) j. 3 Per calcolare I Gz, calcoliamo prima I z : ricordando che la distanza al quadrato di P da è, si ha l m I z = l 3 d = ml, quindi 0 ( ) I Gz = I z md(, G) = ml m 3 l = ml 18. (b) ra troviamo il potenziale: le forze in gioco sono soltanto quella di gravità e quella elastica, quindi U(ξ, θ) = mg G 1 k B. L ordinata del baricentro la conosciamo, per trovare B basta fare (B ) = (B ) + ( ) = l(sin θ i cos θ j ) + ξ j = l sin θ i + (ξ l cos θ) j, da cui B = l + ξ ξl cos θ. Quindi, a meno di costanti, ricordando anche il valore di k, U(ξ, θ) = mg(ξ mg l cos θ) 3 3l (ξ ξl cos θ), da cui { U ξ mg = mg ξ + mg 3l U θ = 3 mgl sin θ mg 3 cos θ 3 ξ sin θ. Studiamo mg mgl sin θ ξ sin θ = 0: raccogliendo si ha sin θ = 0 oppure l ξ = 0. Da 3 3 sin θ = 0 si ottiene θ = 0 o θ = π, e sostituendo nella prima equazione si hanno le configurazioni di equilibrio C 1 ( l/, 0) e C ( 5l/, π). Dall altra si ha ξ = l e sostituendo nella prima si ottiene cos θ = 1/, ovvero θ = π/3 o θ = 5π/3. Quindi ci sono altre configurazioni di equilibrio date da C 3 ( l, π/3) e C 4 ( l, 5π/3). Per la stabilità calcoliamo l hessiano del potenziale: [ mg mg ] sin θ 3l 3 H(ξ, θ) = mg sin θ mg = mg [ 1/l sin θ (l + ξ) cos θ 3 sin θ (l + ξ) cos θ 3 3 ],

24 per cui C 1, C sono stabili, mentre C 3, C 4 sono instabili. (c) Calcoliamo l energia cinetica del sistema: per farlo, troviamo la velocità del baricentro e l energia di rotazione attorno al baricentro. Si ha v G = d dt (G ) = 3 l θ cos θ i + ( ξ + 3 l θ sin θ) j, da cui, tenendo conto che il termine di rotazione è I θ Gz /, K(ξ, ξ, θ, θ) = 1 ( 4 m 9 l θ + ξ + 4 ) 3 l ξ θ sin θ La lagrangiana si trova ponendo L = K + U, ovvero + 1 ml 18 θ. L (ξ, ξ, θ, θ) = 9 ml θ + 1 m ξ + 3 ml ξ θ sin θ+ ml 36 θ mgξ+ mg mgl cos θ 3 3l ξ + mg ξ cos θ. 3 (d) La posizione è C 1 ; si procede nel modo ordinario.

25 Prova scritta di Meccanica Razionale Sessione invernale Secondo appello 8/1/00 In un piano verticale è fissato un sistema di riferimento. Un corpo rigido, formato da un asta omogenea B di lunghezza l e massa m al cui estremo B è saldato il bordo di un disco omogeneo di raggio l/ e massa m, è vincolato con vincolo liscio a ruotare attorno all estremo libero dell asta, il quale si può muovere senza attrito lungo una guida verticale coincidente con l asse. Sul punto B del corpo agisce una forza elastica di coefficiente di elasticità k > 0 con polo nel punto C di coordinate (l, 0). Tutto il sistema è soggetto alla forza di gravità. Denotando con ξ la posizione sull asse dell estremo dell asta e con ϑ l angolo formato dall asse con l asta, si chiede di determinare: (a) le posizioni di equilibrio del sistema e lo studio della loro stabilità al variare di k; (b) la lagrangiana del sistema; (c) le piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile. l, m ξ ϑ B l, m k C

26 Svolgimento del compito di Meccanica Razionale dell 8 gennaio 00 Si ha ξ R e ϑ [ π, π], quindi non ci sono posizioni di confine. (a) Il baricentro del corpo rigido si trova chiaramente in B, e si ha: Quindi il potenziale è (B ) = (B ) + ( ) = l sin ϑ i + (ξ l cos ϑ) j, (B C) = (B ) + ( C) = (l sin ϑ l) i + (ξ l cos ϑ) j. U(ξ, ϑ) = mg(ξ l cos ϑ) 1 k(ξ 4l sin ϑ lξ cos ϑ) + cost. I punti stazionari si trovano risolvendo U = mg kξ + kl cos ϑ = 0 ξ U ϑ = mgl sin ϑ + kl cos ϑ klξ sin ϑ = 0. Dalla prima equazione si ottiene ξ = l cos ϑ mg/k; sostituendo nella seconda mgl sin ϑ + kl cos ϑ kl cos ϑ sin ϑ + mgl sin ϑ = 0. Semplificando e raccogliendo, si ottiene cos ϑ( sin ϑ) = 0, da cui ϑ = ±π/ Quindi ci sono due posizioni di equilibrio: P 1 ( mg/k, π/) e P ( mg/k, π/). La matrice hessiana è [ ] k kl sin ϑ H(ξ, ϑ) = kl sin ϑ (mg + kξ)l cos ϑ kl, sin ϑ e si ha det H(P 1 ) < 0, det H(P ) > 0, da cui segue che P è l unica posizione di equilibrio stabile, essendo l unico punto di massimo per il potenziale. (b) Calcoliamo l energia cinetica del corpo rigido: il baricentro si trova in B, di cui abbiamo già determinato la posizione, quindi la componente di traslazione è [ ] 1 d m (B ) = m( dt ξ + l ϑ + l ξ ϑ sin ϑ). Per la componente di rotazione calcoliamo i momenti d inerzia dell asta e del disco rispetto al baricentro B per l asse perpendicolare al piano, ottenendo IB,z asta = 1 3 ml, IB,z disco = 1 ( ( ) l l ) m + m = 3 8 ml ; quindi il momento d inerzia del corpo è I corpo B,z = 1 3 ml ml = 17 4 ml. 1

27 La velocità angolare del corpo rigido è ϑ, per cui risulta K = m( ξ + l ϑ + l ξ ϑ sin ϑ) ml ϑ = m ξ + ml ξ ϑ sin ϑ ml ϑ, da cui si ottiene la lagrangiana del sistema L( ξ, ϑ, ξ, ϑ) = K + U = m ξ + ml ξ ϑ sin ϑ ml ϑ mg(ξ l cos ϑ) 1 k(ξ 4l sin ϑ lξ cos ϑ). (c) Nella posizione stabile P ( mg/k, π/) la matrice hessiana è [ ] k kl H = kl kl ; inoltre l energia cinetica, calcolata nella posizione P, diventa K = m ξ + ml ξ ϑ ml ϑ. Scrivendo K come forma quadratica rispetto a ξ, ϑ, si ottiene K( ξ, ϑ) = 1 [ ] [ ξ ξ θ] J θ = [ ξ θ] [ m ml ml 65 4 ml ] [ ] ξ. θ Quindi si può impostare il calcolo delle pulsazioni ω delle piccole oscillazioni: [ ] mω det [ω J + H] = det k mlω kl mlω 65 kl 4 ml ω kl = 0. Raccogliendo si ottiene (mω k) ( ) 65 4 ml ω kl ml ω + kl = 0, da cui ω 1 = k 4k m, ω = 17m =.

28 Prova scritta di Meccanica Razionale Nuovo ordinamento ppello del 1 marzo 00 Prima parte. Nel sistema di riferimento z con l asse z orientato verso l alto, un punto materiale P di massa m è vincolato a muoversi sulla superficie di un paraboloide di equazione z = + 4. Su tale punto agisce, oltre alla forza peso, una forza elastica di coefficiente k > 0 e polo il punto (0, 0, 1). Supposti tutti i vincoli lisci, si chiede di determinare: 1. le posizioni di equilibrio di P ;. la stabilità di tali posizioni; 3. la reazione vincolare nelle posizioni di equilibrio. Seconda parte. Supponiamo ora che il punto P sia vincolato, oltre che al paraboloide suddetto, anche al piano = 0. Sapendo che tutto il sistema è posto in rotazione uniforme attorno all asse z con velocità angolare di modulo ω, si calcoli l equazione differenziale del moto di P nel caso k = mg.

29 Svolgimento del compito di Meccanica Razionale del 1 marzo 00 Prima parte. 1. Usiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange con ϕ(, ) = + /4 z. Le forze agenti su P sono il peso mg k e la forza elastica k(p ), dove = (0, 0, 1). Denotando con (,, z) le coordinate di P, si ha (P ) = (P ) + ( ) = i + j + (z 1) k, e dunque, scomponendo l equazione vettoriale F + λ ϕ = 0, il sistema da risolvere è k + λ = 0 k + λ = 0 mg k(z 1) λ = 0 + z = 0. 4 Una soluzione immediata è = 0, = 0, z = 0, λ = k mg. Inoltre: se 0, dalla prima si ha λ = k/, dunque = 0, z = 1/ mg/k e quindi = ± 1/ mg/k. Questa posizione esiste soltanto quando 1/ mg/k > 0, ovvero k > mg (se fosse 1/ mg/k = 0 avremmo la posizione nulla trovata in precedenza). Se invece 0, dalla seconda si ottiene λ = k, dunque = 0 e z = 1 mg/k, ma questa contrasta con l equazione del vincolo, quindi non è accettabile. In sintesi, se k mg c è solo la posizione P 1 (0, 0, 0); se k > mg, oltre alla posizione P 1 ci sono anche le posizioni P,3 = (± 1/ mg/k, 0, 1/ mg/k).. Per lo studio della stabilità, è opportuno ricorrere allo studio della funzione potenziale, scegliendo, come gradi di libertà. Si ha ) ( U(, ) = mg ( + 1 ) ) + + ( , e dunque, con facili calcoli, si trova la matrice hessiana [ ( ) ] mg + k k 3 H(, ) = + k 4 k 1mg 1k ( 1 + 3). 4 In particolare, [ ] mg + k 0 H(P 1 ) = 0 1, H(P (mg + k),3 ) = [ ] 4mg k 0 0 3k. 4 Se k < mg, P 1 è stabile; se k > mg, P 1 è instabile e P,3 sono stabili. Il caso k = mg per P 1 va trattato a parte: conviene riscrivere la funzione potenziale, che diventa ( U(, ) = mg + 5 ) ) 4 + (

30 Si verifica facilmente che U(, ) U(0, 0) = mg, quindi il punto P 1 è stabile anche in questo caso. Riassumendo: se k mg, P 1 è stabile; se k > mg, P 1 è instabile e P,3 sono stabili. Si ha una tipica situazione di biforcazione della stabilità dell equilibrio. 3. Ricordando che la reazione vincolare è proprio λ ϕ, si ha: 1 Φ(P 1 ) = (mg k) k, Φ(P,3 ) = ±k mg ( mg k i + k ) k. 4 Seconda parte. Il punto risulta vincolato alla parabola z =, = 0, quindi ha un solo grado di libertà, diciamo. Quindi (P ) = i + k. Per calcolare l equazione del moto possiamo usare l integrale dell energia, visto che le forze ammettono potenziale. Tenendo conto del potenziale centrifugo, si ha U() = mg 1 k( + ( 1) ) + 1 mω, K(, ẋ) = 1 m(ẋ + 4 ẋ ), dove abbiamo usato v(p ) = d (P ) = ẋ i + ẋ k. Imponendo K U = c e usando la dt condizione k = mg, si ha c = 1 m(ẋ + 4 ẋ ) + mg + mg( 4 + 1) 1 mω = 1 m(ẋ + 4 ẋ ) + mg 4 + mg 1 mω. Derivando rispetto al tempo e semplificando mẋ, si ottiene ovvero ẍ + 4(ẋ + ẍ) + 4g 3 ω = 0, (1 + 4 )ẍ + 4ẋ + 4g 3 ω = 0, che è l equazione differenziale del moto relativo di P.

31 Prova scritta di Meccanica Razionale Secondo appello - 5 aprile 00 Prima parte. In un piano verticale, un punto P di massa m è vincolato a muoversi su una guida liscia di equazione = a 3, dove a è una costante positiva assegnata. Il punto P è soggetto alla forza peso, orientata in senso opposto all asse. Inoltre, tutto il piano è posto in rotazione uniforme di modulo ω attorno all asse. Supposti tutti i vincoli lisci, si chiede di determinare, nel sistema relativo: 1. le posizioni di equilibrio di P ;. lo studio della loro stabilità; 3. l equazione differenziale del moto di P. Seconda parte. Nel sistema di riferimento z con l asse z rivolto verso l alto, un punto P di massa m è vincolato a scorrere senza attrito sulla superficie dell ellissoide di equazione z z = 0. Su tale punto agisce, oltre alla forza peso, una forza elastica di coefficiente k = mg e polo il punto = (0, 0, ). Determinare le posizioni di equilibrio di P e le relative reazioni vincolari statiche.

32 Svolgimento del compito di Meccanica Razionale del 5 aprile 00 Prima parte. 1. Il sistema è a vincoli lisci e le forze ammettono un potenziale. Denotando con l ascissa di P, che ha un grado di libertà, troviamo il potenziale come somma del potenziale gravitazionale e del potenziale centrifugo: U() = mga mω, e dunque le posizioni di equilibrio si possono trovare imponendo U () = 3mga + mω = 0, da cui = 0 oppure = ω /3ga. Quindi le posizioni di equilibrio sono P 1 = (0, 0) e P = (ω /3ga, ω 6 /7g 3 a ).. Per lo studio della stabilità, studiamo la derivata seconda del potenziale: U () = 6mga + mω. Si ha U (0) = mω > 0, quindi P 1 è instabile, mentre U (ω /3ga) = mω < 0, quindi P è stabile. 3. Per trovare l equazione differenziale del moto relativo di P, poiché siamo in presenza di un solo grado di libertà, possiamo usate l integrale dell energia. Si ha quindi d(p ) dt = ẋ i + 3a ẋ j, E = K(, ẋ) U() = 1 mẋ (1 + 9a 4 ) + mga 3 1 mω = cost. Derivando rispetto al tempo otteniamo da cui, semplificando mẋ, mẋẍ(1 + 9a 4 ) + 18ma 3 ẋ 3 + 3mga ẋ mω ẋ = 0, ẍ(1 + 9a 4 ) + 18a 3 ẋ + 3ga ω = 0. Seconda parte. Useremo il metodo del moltiplicatore di Lagrange. Ponendo ϕ(,, z) = z z, si ha ϕ(,, z) = 6 i + 4 j + (z 1) k. Poiché la forza peso è mg k e la 1

33 forza elastica è mg(p ) = mg( i + j + (z ) k ), dall equazione vettoriale F + λ ϕ = 0 unita all equazione ϕ(,, z) = 0 si ottiene il sistema mg + 6λ = 0 mg + 4λ = 0 mgz + 3mg + λ(z 1) = z z = 0. Dalla prima equazione si ha = 0 oppure λ = mg/3. Dalla seconda si ha = 0 oppure λ = mg/. Quindi: se = 0, = 0 dalla quarta si ha z = 0 oppure z =, che porta rispettivamente a λ = 3mg/ e λ = mg/. Se invece = 0, λ = mg/ dalla terza si ha di nuovo z = e dunque = 0. Infine, se = 0, λ = mg/3 dalla terza si ha z = 7/4 e dunque = ± 7/48. Ricapitolando, le soluzioni sono ( ) 7 P 1 = (0, 0, 0), λ = 3mg/, P = (0, 0, ), λ = mg/, P 3,4 = ± 48, 0, 7, λ = mg/3. 4 Per le reazioni vincolari, sostituendo i valori in λ ϕ abbiamo 7 Φ(P 1 ) = 3mg k, Φ(P ) = mg k, Φ(P 3,4 ) = ±mg 48 i + 1 mg k e l esercizio è concluso.

34 Prova scritta di Meccanica Razionale Meccanica nalitica Sessione estiva - Primo appello - 0 giugno 00 Sia BCD una lamina quadrata omogenea di massa m e lato l. Il vertice D della lamina scorre sull asse z di un riferimento cartesiano ortogonale z, mentre il vertice è vincolato a giacere nel piano, in modo che la lamina giaccia sempre in un piano verticale. Sul vertice della lamina è applicata una forza elastica, di coefficiente k = mg e polo l l origine del sistema di riferimento. Tutto il sistema è soggetto alla forza di gravità. Si denoti tramite ϕ l angolo formato dall asse con la retta e tramite ϑ l angolo formato dalla retta DG (G è il centro della lamina) con l asse z. Supposti tutti i vincoli lisci, si chiede di determinare: 1. le posizioni di equilibrio del sistema;. le reazioni vincolari nelle posizioni di equilibrio; 3. la stabilità dell equilibrio nel caso ϕ = 0; 4. la lagrangiana del sistema ed eventuali integrali primi del moto. z C D ϑ k G l, m B ϕ

35 Svolgimento del compito di Meccanica Razionale del 0 giugno Il sistema ha due gradi di libertà, è a vincoli lisci e le forze ammettono un potenziale. Per calcolare la quota di G e la lunghezza di ( ), vediamo un disegno sul piano hz, dove h è la retta di ( ): z ϑ G D ϑ H h Si ha z G = l sin ϑ e = l cos (ϑ π/4), quindi U(ϑ, ϕ) = mgl sin ϑ 1 kl sin ϑ cos ϑ + cost. Dunque le posizioni di equilibrio si possono trovare imponendo { U = mgl cos ϑ ( 1 ϑ kl cos ϑ sin ϑ ) = 0 U = 0. ϕ La seconda equazione è sempre verificata, mentre dalla prima ricaviamo, sostituendo anche il valore di k, cos ϑ + cos ϑ 1 = 0, da cui cos ϑ = 1 o cos ϑ = 1/. Le soluzioni sono ϑ = ±π/3 e ϑ = π. Si trova che le posizioni di equilibrio sono indipendenti da ϕ, quindi sono infinite.. In ogni posizione di equilibrio si hanno reazioni vincolari in D e in. Poiché i vincoli sono lisci, Φ D ha la direzione di ( ), mentre Φ ha direzione verticale. Quindi è facile 1

36 vedere che Φ D deve opporsi solo alla forza elastica e Φ deve opporsi solo alla forza peso. In ogni posizione di equilibrio (π/3, ϕ) si ha dunque Φ = mg k, Φ D = k( ) = mg (cos π 1 cos ϕ i + cos π ) 1 sin ϕ j, mentre nelle posizioni ( π/3, ϕ) si ha Φ = mg k, e nelle posizioni (π, ϕ) si ha Φ D = k( ) = mg ( cos 7π ) 7π cos ϕ i + cos 1 1 sin ϕ j, Φ = mg k, Φ D = k( ) = mg (cos ϕ i + sin ϕ j ). 3. Notiamo che la richiesta ϕ = 0 è irrilevante, in quanto l equilibrio non dipende da ϕ. Questo però ci permette di ridurre i gradi di libertà, in modo da poter studiare facilmente la stabilità. Dal punto 1 si ha U (ϑ) = mgl cos ϑ mgl cos ϑ + mgl, da cui U (ϑ) = mgl sin ϑ + mgl cos ϑ sin ϑ. Quindi U (π/3) = 3mgl 6/4 > 0, da cui si ricava che π/3 è instabile; al contrario, U ( π/3) = 3mgl 6/4 < 0, dunque π/3 è stabile. Si ha poi U (π) = 0, quindi si deve proseguire con le derivate: U (ϑ) = mgl cos ϑ + mgl (cos ϑ sin ϑ), quindi U (π) = mgl + mgl 0, ovvero π è un punto di flesso, dunque instabile. 4. Per il calcolo dell energia cinetica, applichiamo il teorema di König. Per la velocità del baricentro, calcoliamo prima la posizione: (G ) = (G D) + (D ) ( ) = l sin ϑ cos ϕ i + l sin ϑ sin ϕ j + l cos ϑ + l sin (ϑ π/4) k e dunque, dopo alcuni conti, v G = l ϑ cos ϑ 1 l ϑ sin ϑ cos ϑ + 1 l ϕ sin ϑ.

37 Per il termine di rotazione, fissiamo in G una terna solidale alla lamina con gli assi, paralleli ai lati e z ortogonale alla lamina. In questo modo gli assi sono principali e i momenti sono ml /1 (per e ) e ml /6 (per z ). La velocità angolare è ω = ϑ k + ϕ k = ϑ k + ϕ(cos (ϑ π/4) i sin (ϑ π/4) j ), dunque K rot = 1 (p + Bq + Cr ) = ml 4 ϕ + ml 1 ϑ. questo punto, la lagrangiana è costruita. Si verifica poi immediatamente che essa non dipende dal tempo e da ϕ, quindi gli integrali primi sono quello dell energia e L = cost, che corrisponde alla conservazione del ϕ momento angolare lungo l asse z. 3

38 Prova scritta di Meccanica Razionale Meccanica nalitica Sessione estiva - Secondo appello - 11 luglio 00 In un piano verticale, una lamina quadrata omogenea BCD di massa m e lato l è vincolata a ruotare attorno al proprio vertice, il quale può scorrere sull asse di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Sul vertice C (opposto ad ) agisce una forza elastica orizzontale, di coefficiente k = mg, λl λ > 0 e polo il punto C, proiezione ortogonale di C sull asse. Tutto il sistema è soggetto alla forza di gravità. Si denoti con ξ l ascissa di e con θ l angolo formato dalla retta C con l asse. Supposti tutti i vincoli lisci, si chiede di determinare: 1. le posizioni di equilibrio del sistema;. lo studio della loro stabilità; 3. la lagrangiana del sistema; 4. nel caso λ = 4, le pulsazioni delle piccole oscillazioni attorno a una posizione di equilibrio stabile. ξ θ D B m, l C k C

39 Svolgimento del compito di Meccanica Razionale dell 11 luglio 00 - Seconda unità 1. Il sistema ha due gradi di libertà, ξ R e θ [0, π[, è a vincoli lisci e le forze ammettono un potenziale. Denotiamo con G il baricentro della lamina: poiché G = l /, si ha G = (l /) sin θ. Inoltre C C = ξ + l cos θ. Quindi il potenziale del sistema diventa U(ξ, θ) = mgl sin θ 1 k(ξ + l cos θ + lξ cos θ). Dunque le posizioni di equilibrio si possono trovare imponendo { U = kξ kl cos θ = 0 ξ U = mgl cos θ + θ kl sin θ cos θ + klξ sin θ = 0. Dalla prima ricaviamo ξ = l cos θ, che sostituito nella seconda dà mgl cos θ + kl sin θ cos θ kl sin θ cos θ = mgl cos θ = 0, da cui θ 1 = π/ e θ = 3π/. Quindi ξ 1 = ξ = 0. Notiamo che tali posizioni non dipendono dal valore di λ.. Per la stabilità di tali posizioni, l intuizione ci suggerisce che (0, π/) sia stabile, mentre (0, 3π/) sia instabile. Lo verifichiamo studiando la matrice hessiana del potenziale: [ ] k kl sin θ H(ξ, θ) = kl sin θ mgl sin θ + kl (cos θ sin θ). klξ cos θ Si ha quindi [ ] [ k kl H(0, π/) = k kl kl, H(0, 3π/) = mgl kl kl mgl kl In entrambi i casi si ha H 11 < 0; poiché det H(0, π/) = kmgl/ > 0 e det H(0, 3π/) = kmgl/ < 0, si ha che (0, π/) è stabile mentre (0, 3π/) è instabile. nche qui notiamo che la stabilità non dipende dal valore di λ. 3. Per il calcolo dell energia cinetica, applichiamo il teorema di König. Si ha ( ) (G ) = (G ) + ( ) = ξ + l cos θ i l sin θ j e dunque v G = ( ξ l θ ) sin θ i l θ cos θ j vg = ξ + 1 l θ l ξ θ sin θ. 1 ].

40 Inoltre, il momento d inerzia della lamina rispetto ad un asse baricentrale perpendicolare è ml /6 e il la velocità angolare è θ k, quindi K = 1 m ξ ml θ ml ξ θ sin θ ml θ = 1 m ξ ml θ ml ξ θ sin θ. Dunque la lagrangiana del sistema diventa L = 1 m ξ ml θ ml ξ θ sin θ + mgl sin θ 1 kξ kl cos θ klξ cos θ. 4. Poniamo ora mg = 4kl e mettiamoci nella posizione (ξ = 0, θ = π/). Si ha K = 1 m ξ ml θ ml ξ θ = 1 [ ] [ [ ξ m ] ξ θ] J, J = ml θ ml ; 3 ml inoltre, H(0, π/) = [ ] k kl kl ( + 1)kl Quindi le pulsazioni delle piccole oscillazioni si trovano risolvendo ovvero Dopo alcuni conti si ottiene che dà le pulsazioni cercate. det(ω J + H) = 0, [ mω det k mlω + ] kl mlω + kl 3 ml ω (. + 1)kl m ω 4 4(1 + 3 )mkω + 1 k = 0,

41 Prova scritta di Meccanica Razionale e nalitica (seconda unità) Sessione autunnale - Primo appello - 1 settembre 00 Un corpo rigido BCD è formato da quattro aste omogenee, ognuna di massa m e lunghezza l, saldate tra loro a formare un quadrato. Tale corpo rigido si muove in un sistema di riferimento ortogonale z, in modo che il piano determinato dalle aste passi sempre per l asse z. Inoltre è vincolato a scorrere sulla parte positiva dell asse z e B è vincolato a scorrere sul piano. Il corpo è soggetto alla forza peso, diretta in senso opposto all asse z; inoltre, tra l origine del sistema di riferimento e il punto B del corpo rigido intercorre una forza elastica di coefficiente k 0. Denotando con ϑ, ϕ gli angoli in figura e tenendo presente che 0 ϑ π/, si chiede di determinare: 1. la matrice d inerzia di BCD rispetto a un sistema di riferimento solidale baricentrale;. la lagrangiana del sistema; 3. nel caso k = 0, le posizioni di equilibrio ordinarie e di confine. z D C ϑ ϕ B

42 Svolgimento del compito di Meccanica Razionale del 1 settembre 00 - Seconda unità 1. Il baricentro G si trova chiaramente nel punto d incontro delle rette C e BD, ovvero a distanza l/ da ogni asta. Consideriamo un sistema di riferimento centrato in G e con l asse parallelo a BC, l asse parallelo a CD e l asse z ortogonale al piano del corpo rigido. D B C Per calcolare la matrice d inerzia rispetto a questo sistema, conviene calcolare quella di ogni asta e sfruttare l additività. Si ha I 11 (B) = I 11 (CD) = ml 1, I (B) = I (CD) = ml 4, I 33 (B) = I 33 (CD) = ml 1 + ml 4 = ml 3, I 1 (B) = I 1 (CD) = I 3 (B) = I 3 (CD) = I 13 (B) = I 13 (CD) = 0. Per quanto riguarda le altre due aste, il conto è simile, e risulta I 11 (D) = I 11 (BC) = ml 4, I (D) = I (BC) = ml 1, I 33 (D) = I 33 (BC) = ml 1 + ml 4 = ml 3, I 1 (D) = I 1 (BC) = I 3 (D) = I 3 (BC) = I 13 (D) = I 13 (BC) = 0. 1

43 Quindi la matrice d inerzia è ml /3 0 0 I G = 0 ml / ml /3. Calcoliamo la quota di G. z D G ϑ z G C B ϑ h ( π ) z G = l cos 4 ϑ Inoltre B = l sin ϑ, quindi = l (sin ϑ + cos ϑ). U(ϑ, ϕ) = mgl(sin ϑ + cos ϑ) 1 kl sin ϑ. Per il calcolo dell energia cinetica, applichiamo il teorema di König. Si ha (G ) = (G ) + ( ) = (ϑ l sin + π 4 ) cos ϕ i, quindi, derivando e facendo alcuni conti, (ϑ l sin + π ) sin ϕ j, l (sin ϑ + cos ϑ) k, 4 vg = 1 [ l ϑ + 1 ϕ + ( ϕ ϑ ] ) sin ϑ cos ϑ.

44 La velocità angolare è data da ω = ϕ k + ϑ k, dove k è il vettore lungo z del sistema solidale al corpo rigido usato nel punto 1. Si ha k = sin ϑ i + cos ϑ j, quindi Quindi la lagrangiana è K rot = 1 ω I Gω = 1 (p + Bq + Cr ) = 1 ( 5 6 ml ϕ sin ϑ ml ϕ cos ϑ + 4 ϑ) 3 ml = 5 1 ml ϕ + 3 ml ϑ. [ L = ml ϑ + 1 ϕ + ( ϕ ϑ ] ) sin ϑ cos ϑ ml ϕ + 3 ml ϑ mgl(sin ϑ + cos ϑ) 1 kl sin ϑ = 5 3 ml ϑ ml ϕ + ml ( ϕ ϑ ) sin ϑ cos ϑ mgl(sin ϑ + cos ϑ) 1 kl sin ϑ. 3. Per le posizioni ordinarie si ha U(ϑ, ϕ) = mgl(sin ϑ + cos ϑ), da cui si trovano facilmente le posizioni (e saranno indipendenti da ϕ). Per le posizioni di confine, si può applicare il Principio delle potenze virtuali. 3

45 Prova scritta di Meccanica Razionale Meccanica nalitica Secondo appello - 6 settembre 00 Sia dato, in un piano verticale con riferimento cartesiano ortogonale, un corpo rigido formato da due aste omogenee B e BC, entrambe di massa m e lunghezza l, saldate ad angolo retto nell estremo comune B. Tale estremo B è vincolato a scorrere sull asse. Una forza elastica, di coefficiente k > 0, ha polo nel punto (0, 0) e agisce sul punto B del corpo. Denotando con ξ l ordinata di B e con θ l angolo formato dall asse con l asta BC, e supposti tutti i vincoli lisci, si chiede di: 1. studiare le posizioni di equilibrio del corpo e discuterne la stabilità;. determinare la lagrangiana del sistema; 3. calcolare i momenti cinetici p ξ e p θ ; 4. trovare le pulsazioni fondamentali delle piccole oscillazioni attorno a una posizione di equilibrio stabile. ξ B m, l m, l θ C

46 Prova scritta di Meccanica Razionale Meccanica nalitica Primo appello - 17 dicembre 00 In un piano verticale, due semirette r e s, aventi origine nel medesimo punto, formano angoli di π/6 e π/6 con la verticale discendente. Su r scorre un punto materiale P di massa m 1, su s un punto materiale Q di massa m. Tra i due punti P e Q intercorre una forza elastica di coefficiente k > 0. Supposti tutti i vincoli lisci, si chiede di: 1. trovare le posizioni di equilibrio del sistema;. discuterne la stabilità; 3. determinare la lagrangiana del sistema e le equazioni del moto. Si supponga poi che il piano contenente le due semirette sia posto in rotazione uniforme con velocità angolare ω attorno all asse verticale passante per. Si determinino anche in questo caso le posizioni di equilibrio e se ne discuta la stabilità al variare di ω. ω π 6 π 6 Q, m P, m 1 k r s

47 Prova scritta di Meccanica Razionale Meccanica nalitica Secondo appello - 7 gennaio 003 In un piano orizzontale, un punto materiale P di massa m 1 si muove su una guida circolare di raggio R. Per il centro di questa guida, passa una guida rettilinea, giacente nello stesso piano, su cui si muove un punto materiale Q di massa m. Tali punti P e Q sono soggetti ad una mutua attrazione elastica di coefficiente k > 0. Supposti tutti i vincoli lisci, si chiede di: 1. trovare le posizioni di equilibrio del sistema;. discuterne la stabilità; 3. determinare la lagrangiana del sistema e le equazioni del moto. Si supponga poi che il piano orizzontale contenente le due guide sia posto in rotazione uniforme con velocità angolare ω attorno all asse perpendicolare al piano passante per. Si determinino anche in questo caso le posizioni di equilibrio e se ne discuta la stabilità al variare di ω. P, m 1 Q, m ω

48 Prova scritta di Meccanica Razionale Meccanica nalitica Primo appello - 18 marzo 003 Un corpo rigido è formato da un asta omogenea B di massa m e lunghezza l, al cui estremo B è saldata ad angolo retto un asta omogenea CD, anch essa di massa m e lunghezza l, nel suo punto medio. Tale corpo rigido può ruotare liberamente attorno all estremo in un piano verticale, e l estremo scorre senza attrito sull asse di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, fissato con l asse rivolto verso l alto. Sul punto B del corpo rigido agisce una forza elastica di coefficiente k > 0 e polo l origine. Inoltre tutto il sistema è soggetto alla forza peso. Dopo aver posto λ = 3mg, si chiede di determinare: kl 1. le posizioni di equilibrio del sistema;. la stabilità di tali posizioni in funzione del parametro λ; 3. la lagrangiana del sistema e i momenti cinetici; 4. per λ > 8, le equazioni linearizzate del moto attorno ad una posizione di equilibrio stabile e le pulsazioni delle piccole oscillazioni. C k m, l B m, l D

49 Prova scritta di Meccanica Razionale Meccanica nalitica Prima unità Primo appello - 18 marzo 003 In un piano verticale, due punti materiali P e Q, di masse m e M rispettivamente, si muovono su una semiretta fissa r, che ha l origine in un sistema di riferimento ortogonale e giace nel quarto quadrante di tale sistema, formando un angolo α ]0, π/[ con la verticale discendente. Sul punto P agisce una forza elastica di polo l origine della semiretta, sul punto Q agisce una forza elastica di polo il punto P. Tali forze elastiche hanno il medesimo coefficiente k > 0. Denotando con ξ la distanza di P da e con η la distanza di Q da, e supposti tutti i vincoli lisci, si chiede di: 1. trovare le posizioni di equilibrio del sistema;. discuterne la stabilità; 3. determinare la lagrangiana del sistema e le equazioni del moto. Si supponga poi che il piano verticale contenente la semiretta sia posto in rotazione uniforme con velocità angolare ω attorno all asse. Si determinino anche in questo caso le posizioni di equilibrio e se ne discuta la stabilità al variare di ω. ω α k P, m k Q, M r

50 Prova scritta di Meccanica nalitica Seconda unità Secondo appello - 1 aprile 003 SIa z un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con l asse z rivolto verso l alto. Una lamina quadrata BC di massa m e lato l è libera di ruotare attorno alla retta C, la quale si può muovere nel piano ruotando attorno ad. Sul vertice della lamina agisce una forza elastica di coefficiente k > 0 e polo il punto D(l, 0, 0). Inoltre tutto il sistema è soggetto alla forza di gravità. Si denoti con ϕ l angolo formato dall asse con la semiretta C, e con θ l angolo tra il piano della lamina e la verticale. Si ponga inoltre mg = kl. Si chiede di: 1. mostrare che si ha ( ) = l sin θ sin ϕ i l sin θ cos ϕ j l cos θ k ;. trovare le posizioni di equilibrio del sistema e la loro stabilità; 3. determinare la lagrangiana del sistema; 4. trovare le pulsazioni delle piccole oscillazioni attorno a una posizione di equilibrio stabile. z D ϕ C θ B

51 Prova scritta di Meccanica Razionale Prima unità Secondo appello - 1 aprile 003 In un piano verticale dotato di un sistema di riferimanto cartesiano ortogonale con l asse rivolto verso l alto, un punto materiale P di massa m è vincolato a muoversi su una guida di equazione = a 3, a > 0. Su P agisce la forza peso. Si chiede di determinare le posizioni di equilibrio, discuterne la stabilità e trovare le equazioni del moto. Supposto poi che tutto il sistema ruoti attorno all asse con velocità angolare uniforme ω = ω j, si chiede anche in questo caso di trovare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilità, la reazione vincolare nelle posizioni di equilibrio e l equazione del moto di P.

52 Prova scritta di Meccanica Razionale Meccanica nalitica Primo appello - 17 giugno 003 In un piano orizzontale è data un asta B omogenea, di massa m e lunghezza l. L asta può liberamente ruotare attorno al suo punto medio. Un disco omogeneo di raggio R e massa m è vincolato a muoversi rotolando senza strisciare sull asta B. Tra il centro C del disco e il punto medio dell asta agisce una forza elastica di coefficiente k > 0. Detto H il punto di contatto del disco con l asta, si indichi con θ l angolo che l asta forma con un asse fisso e con ξ l ascissa di H rispetto all asta B. 1. Supposto dapprima θ costante, si determini il moto del disco in tali condizioni.. Nel caso θ variabile, si scriva l energia cinetica del sistema. 3. Si scrivano poi le equazioni differenziali del moto in tale caso generale. 4. Si mostri che il sistema ammette due integrali primi e se ne diano le espressioni. 5. Si studi la stabilità delle posizioni di equilibrio del sistema. C B ξ H θ

53 Risoluzione della prova del 17 giugno seconda unità Il sistema ha due gradi di libertà, ξ [ l, l] e ϑ [0, π]. Essendo il moto in un piano orizzontale, non consideriamo la forza peso. 1. Nel caso ϑ costante, il sistema ha un solo grado di libertà. Fissiamo un sistema di riferimento con l asse lungo l asta e l origine in e scriviamo le equazioni cardinali della dinamica per il disco. Si ha (C ) = ξ i + R j, quindi F = kξ i kr j. Calcoliamo poi il momento di F rispetto al centro di istantanea rotazione H: poiché (H C) = R j, segue M H = ( kξ i kr j ) ( R j ) = krξ k. Poiché il vincolo di puro rotolamento impone ω = ξ R k e (J H) 33 = 3 mr, il momento della quantità di moto rispetto a H diventa Γ H = J H ω = 3 mr ξ k, dγ H dt = 3 mr ξ k. Quindi dalla seconda equazione cardinale della dinamica si ottiene ξ + k 3m ξ = 0, che dà un moto armonico con pulsazione k. 3m. Il modulo della velocità angolare dell asta è ϑ, quindi si ha K asta = 1 m(l) ϑ = 1 6 ml ϑ. Per trovare l energia cinetica del disco, applichiamo il teorema di König. Essendo il disco omogeneo, il suo baricentro si trova in C e si ha da cui (C ) = (ξ cos ϑ R sin ϑ) i + (ξ sin ϑ + R cos ϑ) j, v C = ( ξ R ϑ) + ξ ϑ. Tenendo presente che la velocità angolare del disco si trova sovrapponendo il movimento rotatorio del disco (con velocità ξ/r) e quello dell asta (con velocità ϑ), si ottiene Quindi risulta K disco = 1 m v C + 1 (J C) 33 ω disco = 3 4 m ξ mr ϑ + 1 mξ ϑ 3 mr ξ ϑ. K = K asta + K disco = 1 6 ml ϑ m ξ mr ϑ + 1 mξ ϑ 3 mr ξ ϑ. 1