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1 6.25 (6.29 VI ed) vedi dispense cap3-mazzoldi-dinamica-part2 Dueblocchisonocomeinfiguraconm=16kg, M=88kgeconcoeff. d attrito statico tra i due blocchi pari a = La superficie su cui poggia M è priva d attrito. Qual è la minima intensità di F necessaria a tenere m contro M? La forza d attrito coinvolta è quella tra i due blocchi occorre quindi visualizzare la reazione normale al piano di contatto Il diagramma delle F m f s N mg forge agenti su m è : attrito si ha quindi: Nella situazione di massimo x : +F N = ma y : + N mg = 0 Per cui si ottiene N = mg N = mg Sul blocco M invece agisce solo N (sull asse x e non vi sono forze attrito su x): N = Ma mg = Ma quindi otteniamoa = mg M dacuisostituendonellaprimaeq. siha F N = ma F mg = m mg M F min = mg + m2 g M = mg (1+ m M ) = 488 N Esercizio 6.19 (VI-ed) -vedi dispense cap3-mazzoldi-dinamica-part2 Il corpo A in figura pesa 102 N, mentre B pesa 32 N.b I coefficienti di attrito tra A e il piano inclinato sono = 0.56 e µ d = L angolo θ = 40. Trovare l accelerazione a del sistema quando a) A è inizialmente fermo; b) A in moto in salita; c) A in moto in discesa. Riepilogo esercizi Dinamica 1

2 T f s P Diagramma delle forze: A La forza d attrito deve essere statica all inizio e ha un verso tale da opporsi al moto Nella situazione di massimo attrito si ha quindi (con a=0): x : +T + N M A gsinθ = M A a y : +N M a gcosθ = 0 Per cui si ottiene T+ M A gcosθ M A gsinθ = M A a Dal corpo B otteniamo T M B g = M B a (in segno perchè i versi dei due sistemi sono discordi) Risolvendo si ottiene a = (M B+µ S M A cosθ M A sinθ)g M A +M B Ma il risultato se vedete viene a > 0 cosa che non può essere perchè l attrito diventerebbe motore. Pertanto l attrito statico non sarà massimo ma tale da elidere le altre forze a = 0 b) Il blocco viene spinto in alto quindi l attrito è dinamico e direzione verso il basso: +T µ d M A gcosθ M A gsinθ = M A a T = M B g M B a a = (M B M A µ d cosθ M A sinθ)g M A +M B a=-3.9 m/s 2 c) a=-1.0 m/s 2 Esempio 7.11 Cilindro che rotola e solleva un corpo Esempio 7.11 Cilindro che rotola e solleva un corpo M m 1 m 2 Siano m 1 = 20kg m 2 = 10kg la carrucola di massa Riepilogo esercizi Dinamica 2

3 trascurabile, il cilindro di raggio r=0.25m, il momento M=30Nm. Calcolare a, T ed il minimo valore di coeff. di attrito I segreti del rocchetto (vedi esempio sperimentale) Un rocchetto di raggio interno R 1 ed esterno R 2 è disposto come in figura su un piano orizzontale. Viene tirato tramite una forza applicata al suo raggio interno R 1, forza che è inclinata di θ rispetto l orizzonte. Sapendo che il rocchetto rotola e che il suo momento di inerzia è I, la sua massa M, determinare l equazione del suo moto (a,α). Esercizio 2 del 16/7/2012 Un cilindro omogeneo di massa m e raggi R=10cm, trasla su una superficie orizz. senza attrito, con velocità v 0 = 4.9m/s diretta ortogonalmente l asse del cilindro. Ad un certo momento entra in contatto con un tratto di superficie scabra (µ d = 0.3). Si determini: l istante t, a partire dal momento in cui il cilindro entra in contatto con la superficie scabra, in cui il cilindro inizia a rotolare; la velocità angolare ω con cui il cilindro procede dopo l istante t Esercizio 2 del 26/11/2012 Un cilindro pieno di raggi R=30cm e massa m=20kg viene fatto salire lungo un piano inclinato di angolo θ = 20 rispetto l orizzontale. Il cilindro è tirato da una forza F applicata al CM costante e orizzontale. Determinare: a) il minimo valore di F sufficiente a far salire il cilindro con moto di puro rotolamento; b) il minimo valore di coefficiente di attrito statico affinchè il moto sia di puro rotolamento; c) l accelerazione del CM se l intensità della forza è pari a F = 2F min e il cilindro sale rotolando. Problema Riepilogo esercizi Dinamica 3

4 Ad un cilindro di raggio R e massa M posto su un piano inclinato di 30 è applicata una forza F a distanza r sopra il centro del cilindro e parallela al piano inclinato. Sapendo che il cilindro è in equilibrio, determinare il minimo valore del coefficiente di attrito per l equilibrio e la forza necessaria. e quindi si deve avere M/g/sinθ 1+ r R r R M/g/cosθ tanθ 1+ R r Esercizio 2 del 17/7/2013 Un corpo puntiforme di massa m/4 è appoggiato, con attrito trascurabile, sulla guida radiale ideale di un disco sottile, omogeneo e rigido, di raggio R e massa m. Ilcorpoèattaccatoalcentrodeldiscotramiteunamolla ideale, di lunghezza a riposo R/2, costante elastica k e massa trascurabile. Il sistema è inizialmente in quiete sul piano orizzontale. Ad un certo istante una coppia di forze, di modulo costante pari a F, è applicata al sistema come mostrato in figura, per il tempo sufficiente a fargli raggiungere la velocità angolare di modulo ω f = km. Calcolare, assumendo m=2 kg, R=0.4 m, F=3 N: a) il momento d inerzia iniziale del sistema, rispetto a un asse verticale passante per il centro del disco; b) l accelerazione angolare α del sistema generata dalla applicazione della coppia; c) l allungamento finale l della molla, a regime, quando il sistema ruota alla velocità angolare finale Esercizio 2 del 17 ottobre 2012 Un sistema rigido è costituito da una sbarra omogenea, di massa M=800 g e lunghezza L=32 cm, la cui estremità è saldata ortogonalmente all asse Riepilogo esercizi Dinamica 4

5 di un disco di raggio R=10 cm e uguale massa M. Il sistema può ruotare nel piano verticale, senza attrito, attorno all asse del disco, parallelo al piano orizzontale, ma è inizialmente tenuto in equilibrio mediante un corpo di massa m=1 kg appeso all estremo libero di una fune ideale ancorata al bordo del disco. 1. Determinare la posizione di equilibrio del sistema, calcolando l angolo θ che l asta forma con la verticale. Ad un certo istante, un altro corpo di massa 2m viene agganciato all estremo libero della fune. 2. Determinare la velocità angolare con cui sta ruotando il sistema nell istante in cui l asta è disposta verticalmente sopra l asse del disco. Esercizio 1 del 2/2/2013 Un cilindro di massa M=2 kg e raggio R=30 cm è vincolato a ruotare intorno ad un asse orizzontale passante per il centro. Ad un certo istante un proiettile di massa m=0.8 kg viene sparato con velocità v=3.5 m/s e si conficca nel cilindro, fermandosi all interno del cilindro ad una distanza h=20 cm dal centro del cilindro. Sapendo che immediatamente dopo l urto il proiettile si ferma esattamente sulla verticale dell asse di rotazione, determinare la velocità angolare dopo l urto e di quanto ruota il cilindro prima di fermarsi. Esercizio 2 del 2/2/2013 Un pendolo disposto come in figura è costituito da un asta rigida di massa trascurabile, lunga L=1.5m, a cui è appea una massa M=2.2kg. Al pendolo a distanza h=0.8m dal punto di sopsensione è attaccata una molla di costante elastica k=250n/m, che non è allungata quando l asta è verticale. Spostando dalla posizione di equilibrio il pendolo esso comicia ad oscillare. Nell approssimazione di piccoli angoli (cosθ = 1,sinθ = θ) determinare il periodo di oscillazione. Esercizio 2 del 3/7/2013 Un sistema meccanico è costituito da un disco rigido omogeneo di massa m=3.7kg e raggio r=0.48m e da una ruota assimilabile ad un anello omogeneo di massa m e raggio r. Il disco e la ruota sono vincolati a ruotare senza strisciare su un piano inclinato di 20 rispetto l orizzontale e sono tra loro Riepilogo esercizi Dinamica 5

6 uniti da un filo ideale che connette i loro centri. La ruota si trova più in alto del disco (vedi figura). Alla ruota è applicata tangenzialmente e perpendicolarmente verso il piano una forza F, tale da mantenere in equilibrio il sistema. Calcolare F e la tensione del filo che unisce i due corpi. Ad un certo momento si elimina la forza F, il sistema inizia a rotolare partendo da fermo e la fune rimane in tensione. Determinare la tensione del filo e l accelerazione del CM. Riepilogo esercizi Dinamica 6

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