Si consideri un punto materiale in moto su una traiettoria curvilinea e soggetto ad una forza non costante. F i F 2 F N

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1 Lavoro ed energia 1

2 Si consideri un punto materiale in moto su una traiettoria curvilinea e soggetto ad una forza non costante. F i F 2 F N 2

3 vettorizzare una traiettoria Si divide la traiettoria s in N piccoli tratti s i. Ogni tratto s i viene trasformato nel vettore s i : Modulo pari a s i ; Direzione tangente alle traiettoria in ogni punto; Verso da 1 N, cioè il verso di percorrenza della traiettoria s i s j s 1 3

4 Lavoro parziale definiamo il lavoro compiuto dalla forza nel primo tratto: L = F s = F s cosϑ Analogamente si calcolano L 2,, L i,, L N. s 1 θ F 1 4

5 Lavoro di una Forza Dati i vettori s i, con i = 1,,N Consideriamo i valori delle forze applicate al punto materiale corrispondenti: F i Importante: s i e F i sono vettori!!! L = N F s i i i=1 Si calcola il prodotto scalare tra il vettore F i nel tratto i-esimo, e s i e poi si esegue la sommatoria. 5

6 Interpretazione geometrica del Lavoro F x Calcoliamo L i = F xi x i F Xi x i x 6

7 Interpretazione geometrica del Lavoro F x Calcoliamo L = ΣL i = ΣF xi x i x 7

8 Interpretazione geometrica del Lavoro F x Calcoliamo L = ΣL i = ΣF xi x i x 8

9 Casi Particolari 1) Vettore forza costante &Traiettoria rettilinea F θ x L = Fxcosθ 9

10 Casi (MOLTO) Particolari -1-2) Vettore forza costante & Traiettoria rettilinea & θ = 90 F θ = 90 x L = 0 (caso del moto di una particella carica in un campo magnetico) 10

11 Casi (MOLTO) Particolari -2-3) Vettore forza costante & Traiettoria rettilinea & θ = 0 F x L = Fx (lavoro motore) θ = 0 11

12 Casi (MOLTO) Particolari -3-4) Vettore forza costante & Traiettoria rettilinea & θ = 180 F x L = -Fx (lavoro resistente) θ =

13 Unità di Misura e dimensioni del Lavoro [ L] N = i= 1 F s i i =... 1Newton * metro = 1Joule 13

14 Esempio numerico F = 50 N, x = 30 m, L = 750 J F θ = 60 x 14

15 Potenza La potenza esprime il lavoro erogato nell unità di tempo. P = L/ t [P] = [ML 2 /T 3 ] 1Watt = 1Joule/sec (nel SI) 15

16 Teorema dell Energia Cinetica -1- Si consideri un punto materiale di massa m, vincolato a muoversi su una traiettoria rettilinea per un tratto x, a causa di una forza costante F. Il punto materiale di massa m ha una velocità iniziale v 0 ed una velocità finale v m θ = 0 F 16

17 Teorema dell Energia Cinetica -2- Il lavoro compiuto dalla forza F per uno spostamento x: L = F x; Relazione tra v e v 0 : v 2 -v 0 2 = 2a x (dimostrarlo!) L = F x = ma x = m(v 2 -v 02 )/2 = mv 2 /2 - mv 02 /2 Definiamo E K = mv 2 /2 = Energia Cinetica di un punto materiale di massa m e velocità v. Abbiamo dimostrato: L = E K θ = 0 m F 17

18 Esempio Quanta strada fa un corpo di massa 10 kg in moto su un piano orizzontale con velocità iniziale pari a 10 m/s se il coefficiente di attrito dinamico del piano vale 0.3? L = E L K = 1 2 m( v 2 f v 2 i ) = 1 2 mv = fd s = fd s cos(180 ) = fd s = µ d Ns = µ dmgs mgs 1 µ d = mvi 2 s = 17m 2 2 i m 0.3*10kg *9.81 sec 2 * s = kg * m 2 sec 2

19 Calcolo del lavoro di specifiche forze Forza peso Forza elastica Forza di attrito 19

20 Lavoro della forza peso h 2 A mg L AB = mg (h 2 -h 1 ) h 1 B 20

21 Lavoro della forza peso h 2 A mg θ L AB = L AC + L CB = = mg AC cosθ + 0 = = mg (h 2 -h 1 ) h 1 B mg C 21

22 Lavoro della forza peso h 2 A In entrambi i casi L AB = mg (h 2 -h 1 ) mg h 1 B mg C 22

23 Lavoro della forza peso h 2 A mg Anche nel caso di una traiettoria curvilinea: L AB = mg (h 2 -h 1 ) (senza dimostrazione) h 1 B mg C 23

24 Lavoro della forza peso h 2 A mg Nel caso della forza peso il lavoro compiuto sul corpo di massa m NON dipende dalla traiettoria ma solo dalla posizione iniziale e da quella finale. h 1 B mg C 24

25 Esempio

26 Lavoro della forza elastica F elas = -kx F elas Il lavoro si calcola come area sottesa dalla curva: L= -(kx 1 +kx 2 )(x 2 -x 1 )/2= -(kx 22 -kx 12 )/2 Come si fa ad arrivare a questo risultato? x 1 x 2 X Anche nel caso della forza elastica il lavoro compiuto dipende solo dalla posizione iniziale e da quella finale. 26

27 Esercizio Una molla è appesa verticalmente ed alla sua estremità inferiore è collegata una massa m. Con la mano, la massa è fatta scendere lentamente con velocità costante fino alla massima elongazione. Poi viene tolta la mano e la massa rimane in equilibrio. Sapendo che m = 10 kg e x f = 0.14 m, calcolare: -Il lavoro della forza di gravità -Il lavoro della forza elastica -Il lavoro della mano

28 Esercizio Uno scatolone di massa 2 kg parte da fermo e si muove lungo una rampa curva priva di attrito, partendo da una quota di 3 m. Successivamente, si muove lungo un piano orizzontale scabro per 9 m prima di fermarsi. - Qual è la velocità dello scatolone in fondo alla rampa? - Quanto lavoro viene compiuto sullo scatolone dalla forza di attrito? - Qual è il coefficiente di attrito tra lo scatolone e la superficie orizzontale?

29 Prime Conclusioni Ci sono forze (per es. la forza peso, la forza elastica) il cui lavoro NON dipende dal percorso (compiuto dal punto materiale o dalla estremità della molla) ma solo dalla posizione iniziale e finale. Esistono anche forze (per es. la forza di attrito) il cui lavoro invece dipende dal percorso compiuto dal punto materiale 29

30 Lavoro della forza d attrito Caso A Caso B I Tratto lungo d Tratto lungo d+h F Un punto materiale si muove da I verso F. Tratto lungo h In entrambi i casi il punto materiale di massa m parte da I ed arriva ad F, MA segue due percorsi diversi. 30

31 Lavoro della forza d attrito Caso A I Tratto lungo d F Un punto materiale si muove da I verso F Caso B L A = -µmgd L B =-µmg(d+h)-µmgh Nel caso della forza d attrito il lavoro compiuto dipende dal percorso, a parità di posizione iniziale e finale. 31

32 Forze Conservative Le forze come la forza peso e la forza elastica si dicono conservative. Le forze come la forza di attrito si dicono non conservative o dissipative. SOLO IN PRESENZA DI FORZE CONSERVATIVE possiamo DEFINIRE l energia POTENZIALE. 32

33 Forze Conservative: forza peso Fisica con Elementi di Matematica (O-Z) - Farmacia - A.A

34 Forze Conservative: forza elastica 34

35 Energia meccanica e sua conservazione A. Pastore 35

36 Esempio Un proiettile di massa 20 kg viene sparato verso l alto da un cannone, con velocità iniziale di 200 m/s. Supponendo che non ci siano attriti: - calcolare l energia totale del proiettile nel punto di massima altezza - calcolare l altezza raggiunta

37 MOTO DEL PROIETTILE : energia in gioco MOTO DEL PROIETTILE (5) Come cambiano l energia potenziale e cinetica nei punti evidenziati? Data la velocità iniziale e l angolo di inclinazione, siete in grado di valutare la massima altezza raggiunta?

38 Esercizio Uno scatolone di massa 3 kg parte da fermo e si muove lungo una rampa curva priva di attrito, partendo da una quota di 5 m. Alla fine della rampa c è una molla di costante elastica 400 N/m che viene compressa dallo scatolone di un tratto x, prima di fermarsi temporaneamente. Determinare il valore di x.

39 NON Conservazione della Energia meccanica 39

40 Principio di conservazione dell Energia per sistemi isolati 40

41 Esercizio Un punto materiale di massa 100 g è inizialmente fermo su un piano inclinato liscio, alla quota di 4 m. Dopo essere scivolato lungo il piano inclinato, il punto materiale percorre un tratto rettilineo AB di lunghezza 10 m, per poi salire su un altro piano inclinato. Entrambi i tratti sono senza attrito. Calcolare: - la velocità del punto materiale in A - la sua velocità in B - l altezza massima raggiunta dal punto materiale sul secondo piano inclinato - se il tratto rettilineo ha un coefficiente di attrito dinamico µ d, determinarne il valore tale che il punto materiale si fermi a 8 m dal punto A.

42 Esercizio Un blocco di massa 12 kg è inizialmente fermo in cima a un piano inclinato liscio (inclinazione 30 ). Ad un certo istante viene lasciato scivolare lungo il piano inclinato e si arresta dopo aver compresso una molla di 5.5 cm. Se la costante elastica della molla vale 1.35*10 4 N/m: - Calcolare lo spostamento del corpo lungo il piano inclinato - Qual è la velocità del blocco quando tocca la molla?

43 Esercizio [scritto Ottobre 2013] Un corpo di massa 20 kg, partendo da fermo, scivola per un tratto di 10 m lungo un piano inclinato, di angolo α rispetto all orizzontale, privo di attrito. Raggiunta la base del piano inclinato, prosegue su un piano orizzontale scabro (µ d = 0.2) di lunghezza 20 m. Si calcoli: - Il valore di α affinchè il corpo arrivi alla fine del tratto d con velocità nulla - il valore della velocità del corpo alla fine del tratto d, se l angolo di inclinazione del piano inclinato vale 45. [23.6, 7.8 m/s]

44 Esercizio (à vous!) Un punto materiale di massa 0.3 kg si muove nella direzione mostrata in figura con velocità iniziale 9 m/s. Il primo piano è inclinato di 30, il secondo è inclinato di 45. Per entrambi, il coefficiente di attrito dinamico è 0.1. Sapendo che il punto materiale parte da una altezza di 30 cm, determinare: -La massima altezza raggiunta dal punto materiale sul primo piano inclinato -La massima altezza raggiunta dal corpo sul secondo piano inclinato