Esercizi sul corpo rigido.

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1 Esercizi sul corpo rigido. Precisazioni: tutte le figure geometriche si intendono omogenee, se non è specificato diversamente tutti i vincoli si intendono lisci salvo diversamente specificato. Abbreviazioni: cdm: centro di massa. CR: corpo rigido. Centro di massa. 1. Trovare il cdm di un CR formato da 2 sbarre omogenee, di massa 5,0kg e lunghezza 60cm (AB), e 7,0kg e 1.2m (BC) (usare BC e AB come assi cartesiani) [0.35m, 0.125m A B C 2. Calcolare la posizione del cdm di un CR formato da un cilindro di massa m 1 =2,0kg, raggio R 1 =4,0cm e altezza h=0,40m, ed una sfera di massa m 2 =1,0kg e raggio R 2 =0,10m. Sfera e cilindro sono coassiali, la sfera è tangente ad una faccia del cilindro [10cm dentro il cilindro, dal lato del la sfera 3. Determinare la posizione del cdm a) di un cono omogeneo, di raggio R e altezza h [h/4 dalla base b) di una semisfera di raggio R [3R/8 dal centro 4. Un CR omogeneo è formato da una semisfera di raggio R e un cono di raggio R e altezza h. Calcolare l'altezza del cono affinché il cdm si trovi dal lato della semisfera (in questo caso il solido è in equilibrio stabile nella posizione in figura). [ h < 3R Equilibrio del corpo rigido. 5. Un artista eccentrico appende i suoi quadri per un angolo. Se un quadro ha dimensioni 40x70cm, determinare l angolo che forma il lato più lungo con la verticale. [ Una sbarra di massa m=20kg e lunghezza l=2.0m è appoggiata orizzontalmente su due punti, A e B, situati il primo a distanza l/4 dall estremo sinistro, il secondo all estremo destro. Determinare le reazioni normali N A e N B dei due appoggi. [N B =mg/3=65.4n, N A =2N B =131N 7. Un asta di 3,0m e 5,0kg è mantenuta in posizione orizzontale, tenendola con una mano ad un estremo e con l'altra a 30cm dallo stesso estremo. Calcolare le forze applicate nell'ipotesi che siano entrambe verticali. [in modulo: 196N all'estremo, 245N nell'altro punto 8. Una persona sostiene un'asta di 5.0 kg, lunga 3.0m, in posizione orizzontale, tenendola con una mano ad un estremo e con l'altra in un punto a 30cm dall'estremo. Calcolare le forze applicate nell'ipotesi che siano entrambe verticali [in modulo: 196 N all'estremo, 245 N nell'altro punto

2 9. Un disco di raggio 0.30m e massa 6,0kg è vincolato a ruotare intorno al suo asse, nel piano verticale. Ad esso è rigidamente attaccata un'asta di 1.2kg lunga 1m inclinata di 45 come in figura. Il tutto è tenuto in equilibrio da una massa m sospesa ad un filo avvolto sulla circonferenza del disco. Trovare il valore di m. [2.26kg Un cilindro di 4,5kg e raggio 5,2cm è mantenuto in equilibrio su un piano inclinato grazie ad un filo parallelo al piano, che passa per una puleggia ideale e sostiene all'altro capo un oggetto di massa opportuna. Il piano è inclinato 30 rispetto all'orizzontale. a) calcolare la massa del corpo sospeso e la forza di attrito statico; b) verificare che è soddisfatta la condizione di non slittamento, se il coefficiente di attrito statico vale 0,45. [... Momenti d inerzia. 11. Calcolare il momento d inerzia del sistema descritto nel prob. 1, rispetto ad un asse passante per A, ortogonale al piano del disegno. [6.48 kgm Calcolare il momento d inerzia di una cornice quadrata, formata da 4 aste di massa m=0.5 kg e lunghezza l=60cm, rispetto ad un asse ortogonale al quadrato, passante per uno dei vertici. [ I = ml = 0.6kgm Calcolare il momento d inerzia di un asta di massa m e lunghezza l, rispetto ad un asse passante per il centro di massa ma formante un 1 angolo θ con l asta. [ I = m( lsinθ ) 2 12 θ 14. Calcolare il momento d inerzia di un sistema formato da un asta di lunghezza l=0.40m e massa m=1.0 kg, ed una sfera attaccata all estremo, di massa m'=0.5kg e raggio R=10cm, rispetto ad un asse ortogonale all'asta passante per l'altro estremo [0.18 kgm Dimostrare che il momento d inerzia di un cono, rispetto al suo asse, vale mr, 10 (essendo m la massa del cono, R il suo raggio e h l'altezza). Rotazione con asse fisso. 16. Un disco di 5.0 kg e raggio 30cm è vincolato a ruotare intorno al proprio asse orizzontale. Un'asta di 0.50kg lunga 0.80m è fissata al bordo del disco come in figura. Calcolare l accelerazione angolare del sistema quando è lasciato andare [α =6.9 rad/s 2

3 17. Una massa m=0.50kg è appesa ad un cilindro di massa M=4.0kg e raggio R=10cm, mediante un filo di massa trascurabile. Il cilindro ruota senza attrito, nel piano verticale, intorno al proprio asse. Calcolare l accelerazione della massa m e la tensione della fune. [T=3.92N, a=1.96m/s Due masse m 1 =3.0kg e m 2 =2.0kg sono appese ad una puleggia di massa m 3 =10kg e raggio R=20cm mediante una fune di massa trascurabile (v.figura). a) Calcolare l accelerazione delle due masse nell ipotesi che la fune scivoli senza attrito sulla puleggia. b) Calcolare l accelerazione delle masse nell ipotesi che la fune non possa scivolare sulla puleggia. (Nota: nel 2 caso le tensioni sono diverse nei 2 rami) [a) 1.96 m/s 2, b) 0.98 m/s Calcolare la reazione vincolare esercitata dal perno della pulegga nei due casi del problema precedente. [a) T 1 =T 2 =23.5N, R=145.1N, b) T 1 =26.5N, T 2 =21.6N, R=146.1N 20. Il sistema del prob. 1 è vincolato a ruotare nel piano verticale intorno al punto A. La posizione iniziale è quella in figura. Calcolare l accelerazione angolare appena il sistema è lasciato libero di muoversi. [α= 8.63 rad/s 2 m 2 A C B m Nel problema precedente, a) calcolare la velocità angolare massima del sistema. b) Calcolare la reazione vincolare in tale condizione. [ω=5.84 rad/s, R= 359N 22. Nel prob. 18 calcolare la velocità della massa m 1 dopo che questa è scesa di 1.0m, partendo da ferma, usando la conservazione dell energia. [a) 1.98m/s, b) 1.40m/s 23. Al cilindro del prob. 17 si applica una coppia τ, mediante un motore, in modo tale che la massa m salga con velocità costante pari a 2.0m/s. Quanto vale la tensione del filo in questo caso? Qual è il valore del momento τ? Qual è la potenza erogata? [T=mg, τ=tr, P=τω=Tv 24. Un disco di massa m=20kg e raggio R=15cm inizialmente compie 10 giri al secondo intorno al proprio asse. Se il disco è soggetto ad un momento di attrito costante, di modulo 2.5Nm, qual è l accelerazione angolare? Quanti giri compie prima di fermarsi? [in modulo: 11.1 rad/s 2, 28.3 giri 25. Un asta vincolata a ruotare intorno ad un suo estremo è rilasciata, a riposo, in posizione θ=135 rispetto alla verticale (inclinata verso l'alto). Calcolare la velocità angolare nel punto più basso, e la reazione del vincolo in quell istante. 2 3g mg [ ω = ( 1+ sin 45 ) RV = ( 5 + 3sin 45 ) se l è la lunghezza dell asta l 2 Moto di rotolamento.

4 26. Una sfera di massa m=0.2kg e raggio R=4cm scende rotolando su un piano inclinato. Se parte da ferma e percorre un dislivello h=1m, quanto vale la sua velocità finale? [ v = ω R = 10 gh / 7 = 3.74m / s 27. Calcolare l accelerazione angolare della sfera nel problema 26. [5gsinθ/7R dove θ è l inclinazione del piano rispetto all orizzontale 28. Come cambierebbe la risposta al prob. 26 se anziché una sfera avessimo avuto un disco? [ v = ω R = 4 gh / 3 = 3.62m / s 29. Una sfera si trova su un piano inclinato con coefficiente di attrito statico µ S =0.3. Qual è l inclinazione massima del piano affinche il moto sia di puro rotolamento? [ θ Uno yo-yo (v. figura) è formato da un rocchetto di massa 100g, con momento d inerzia I= kgm 2. Il diametro interno, su cui è avvolto il filo, è di 2cm. Calcolare l accelerazione e la tensione del filo durante la discesa [ 31. Un cilindro di massa 2kg e raggio R=10cm rotola senza strisciare su un piano orizzontale, con velocità di traslazione v=10m/s. Determinare a che altezza sale su un piano inclinato (dislivello del cdm) nell ipotesi a) che il piano inclinato sia scabro in modo da garantire il puro rotolamento e b) che il piano sia perfettamente liscio. [7.65m, 5.10m Urti con corpi rigidi. 32. Un asta di massa m=3kg e lunghezza l=60cm, inizialmente a riposo, è sospesa ad un estremo intorno al quale può ruotare liberamente. Essa riceve un impulso J=5Ns, orizzontale, nell estremo libero. Calcolare: la velocità angolare subito dopo l urto; l impulso esercitato dal vincolo nell urto; l angolo massimo raggiunto dall asta. [8.3rad/s, 2.5Ns, J 33. Risolvere il problema 31 nell ipotesi che l impulso sia applicato a metà dell asta. [4.2rad/s, -1.25Ns, L asta del prob. 32, nelle stesse condizioni iniziali, viene colpita da una massa puntiforme m=0.1 kg e velocità, al momento dell urto, v=50m/s, orizzontale. Se l urto avviene all estremo libero dell asta, e la massa vi rimane attaccata, quanto valgono: la velocità angolare subito dopo l urto; l impulso esercitato dal vincolo nell urto; l angolo massimo raggiunto dall asta? [7.6rad/s, 2.3Ns, Risolvere il prob. 34 nell ipotesi che l impatto avvenga a metà dell asta. [4.1rad/s, -1.2Ns, 48

5 36. L asta del prob. 32 è inizialmente a riposo in posizione orizzontale. Viene lasciata libera di ruotare fino al punto più basso dove urta con l estremo una massa m'=0.50kg, inizialmente ferma. Se m' acquista una velocità, subito dopo l urto, pari a 2.0 m/s, quanto vale la velocità angolare dell asta dopo l urto? [5.3 rad/s 37. Un asta di massa m=2.0 kg e lunghezza l=60cm è inizialmente a riposo su un piano orizzontale liscio, non vincolata. Essa viene colpita ad un estremo da una massa puntiforme m'=0.40 kg alla velocità di 3.0m/s che resta attaccata. (v.figura). Determinare: a) la velocità del cdm prima e dopo l urto [0.50 m/s b) se il momento angolare si conserva nell urto, e rispetto a quale polo [Si, qualsiasi polo c) Calcolare la velocità angolare e l energia cinetica dopo l urto. [ω= rad/s, 0.99 J

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