Corso di Fondamenti di Meccanica - Allievi MECC. II Anno N.O. II prova in itinere del 02/02/2005.

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1 orso di Fondamenti di Meccanica - llievi ME. II nno N.O. II prova in itinere del 02/02/2005. ESERIZIO Del sistema rappresentato in figura sono note geometria, masse e curva caratteristica del motore. J m ηr, ηd, τ J 1,R 1 M T E F r m m0 45 v,a D J 3,R 3,m 3 B ω m J 2,R 2,m 2 H α = 10 f v, f a ω ms Dati: m 3 =30 kg R 3 =0.5 m J 3 =4.125 kgm 2 J 1 =J 2 =1 kgm 2 R 1 =R 2 =0.3 m m 2 =10 kg α =10 r =50 Nm J m =2 kgm 2 η d = η r =0.9 τ =1/3 f v =0.02 f a =0.5 m0 =34 Nm ω ms =200 rad/s Determinare: 1. coppia motrice a regime con il disco 3 in discesa (verso di a, v assegnati) 2. velocità angolare del motore a regime 3. accelerazione allo spunto del disco 3 in discesa 4. tiri nelle funi nei rami B e D nelle condizioni di moto del punto 3 5. reazioni vincolari delle cerniere in E e F nelle condizioni di moto del punto 3 6. verifica di aderenza in H nelle condizioni di moto del punto 3

2 ognome, nome, matricola e firma orso di Fondamenti di Meccanica - llievi ME. II nno N.O. II prova in itinere del 2 febbraio Meccanica Razionale: domanda di teoria Si enunci l equazione simbolica della statica e si ricavi a partire da essa l espressione delle Q k (componenti della sollecitazione attiva secondo le coordinate libere q k ) per un sistema olonomo.

3 ognome, nome, matricola e firma orso di Fondamenti di Meccanica - llievi ME. II nno N.O. II prova in itinere del 2 febbraio Meccanica Razionale: esercizio Il sistema di figura è posto in un piano O verticale. L asta O è incernierata a terra nell estremo O. L asta B è collegata alla α prima asta con una cerniera mobile nell estremo m, l PSfrag replacements. Entrambe le aste hanno massa m e lunghezza l. Sull asta O agisce una 1 coppia di momento 1. β m, l 1. Si scrivano le equazioni di Lagrange m, l per il sistema. B 2. Si determini la coppia 1 (funzione del tempo) in modo che le velocità angolari delle aste α e β siano costanti nel tempo e con α = 2β. 3. In tale situazione determinare la velocità angolare α dell asta O.

4 Fondamenti di meccanica teorica ed applicata Prova in itinere 16/02/2005 Dell autoveicolo di figura sono note dimensioni geometriche e caratteristiche inerziali: p 1 = 1 m distanza del baricentro dall asse anteriore del veicolo; p 2 = 1.5 m distanza del baricentro dall asse posteriore del veicolo; h = 0.6 m altezza del baricentro rispetto al suolo; H = 0.8 m altezza rispetto al suolo del centro delle pressioni; R = 0.25 m raggio di rotolamento delle ruote; M = 800 kg massa veicolo; J R = 0.5 kgm 2 momento d inerzia di una singola ruota; S = 2 m 2 sezione maestra del veicolo; = 0.40 coefficiente di resistenza aerodinamica; X v H h h J R J R M RM, G R G H α = 10 p 2 p 1 P1 P2 α=10 Sono inoltre noti i dati relativi alla linea di trasmissione: J m =0.2 kgm 2 momento d inerzia masse rotanti lato motore; τ p = 0.5 rapporto al ponte; η p = 0.85 rendimento del differenziale; τ = τ ( marcia) = 0.8 rapporto di trasmissione degli ingranaggi del cambio; η = η( marcia) = 0.95 rendimento della trasmissione; Sez. - Differenziale τ, η ambio τ P, η P J m Ruote motrici Motore

5 Si chiede di determinare: 1) coppia motrice m a regime per garantire una velocità v = 30 [m/s]; 2) accelerazione a con m = 2*m di regime (punto 1) alla stessa velocità v di avanzamento; 3) verificare l aderenza del punto 2; 4) coppia all albero in corrispondenza della sezione -; 5) accelerazione a con m = - * (sempre alla medesima v);

6 orso di Fondamenti di Meccanica - llievi ME. II nno Recupero I del 16 febbraio 2005 ESERIZIO Del sistema articolato, posto nel piano verticale, rappresentato in figura sono completamente note le caratteristiche geometriche ed inerziali J,L,m m ω O R α = π/6 3L r P π /4 J D, R, M B Dati: H f v, f a L=0.2 m R=0.1 m P=400 N f v =0.01 f a =0.5 M=10 kg J D =0.05 kgm 2 m=2 kg J =0.1 kgm 2 r =10 Nm onsiderando la velocità angolare della asta O costante e α=π/6, determinare: 1. La velocità e l accelerazione del punto B 2. Velocità ed accelerazione angolare del disco di centro B 3. La coppia motrice in assenza di attrito 4. Reazioni vincolari in O

7 ognome, nome, matricola e firma orso di Fondamenti di Meccanica - llievi ME. II nno N.O. Recupero della I prova in itinere del 16 febbraio Meccanica Razionale: domanda di teoria Definire il momento d inerzia e il momento delle quantità di moto per un sistema meccanico. Ricavare l espressione del momento delle quantità di moto per un atto di moto rigido piano.

8 ognome, nome, matricola e firma orso di Fondamenti di Meccanica - llievi ME. II nno N.O. Recupero della I prova in itinere del 16 febbraio Meccanica Razionale: esercizio Il sistema di figura giace in un piano ver- M, 2R ticale ed è costituito da due punti materiali di masse rispettive m 1 e m 2 = 9m 4 1 vincolati R a scorrere senza attrito in direzione vertica-psfrale, da un disco di massa M = 2m 1 e raggio replacements m 2 m 1 2R che rotola senza strisciare su di un asse H orizzontale, e da un disco di raggio R privo di massa concentrico al primo disco e saldato su di esso. Un filo si avvolge senza strisciare intorno al primo disco, scorre senza attrito su di un piolo fisso e reca all estremo libero il punto materiale di massa m 2. Un altro filo si avvolge senza strisciare intorno al secondo disco, scorre senza attrito su di un piolo fisso e reca all estremo libero il punto materiale di massa m 1. I tratti liberi dei fili sono tutti orizzontali o verticali. 1. Determinare l accelerazione angolare dei dischi. 2. Determinare le tensioni nei fili e le reazioni vincolari nel punto H di contatto del primo disco con l asse di appoggio.

9 llievi ME. II nno N.O. orso di Fondamenti di Meccanica Meccanica Razionale ppello del 5 luglio 2005 Domanda di teoria: Definire l equazione simbolica della dinamica, spiegandone il significato. Ricavare, illustrando i passaggi, l espressione della componente generalizzata dell oppposto delle forze d inerzia (τ n ) in funzione dell energia cinetica per un sistema olonomo. Esercizio. In un piano verticale un disco di massa M e raggio R ha il proprio centro vincolato a scorrere senza attrito M, R lungo una guida orizzontale. Un astapsfrag replacements B m, l D di massa m e lunghezza l è vincolata α a cerniera sulla circonferenza nel suo estremo B. L altro estremo D dell asta è vincolato mediante un pattino a scorrere senza attrito lungo una guida verticale. L asta si mantiene sempre orizzontale in virtù del pattino D. Usando come coordinata libera l angolo α di rotazione del disco: 1. Determinare la velocità dell asta e del centro. 2. Scrivere l energia cinetica del sistema. 3. Scrivere la quantità di moto del sistema. 4. Determinare la coppia in modo da mantenere. α= costante. 5. Nella situazione del punto 4 (. α costante), determinare la reazione vincolare esterna in.

10 Esercizio n 2 L impianto di sollevamento rappresentato in figura è costituito da un motore con volano (momento di inerzia J m ), da due trasmissioni in serie, di cui la seconda del tipo vite senza fine ruota elicoidale, da una puleggia di raggio R su cui si avvolge una fune, supposte inestensibile, priva di massa e perfettamente aderente alla puleggia, da un contrappeso di massa m e da una pressa di massa M. J, R J m τ 2, η 2d, η 2r B τ 1, η 1d, η 1r m M Si chiede di determinare: 1. la coppia che il motore deve applicare per sollevare la pressa a regime; 2. l accelerazione della pressa nel caso in cui il motore applichi una coppia doppia rispetto a quella calcolata al punto precedente; 3. il tiro della fune nel ramo B, nelle condizioni di moto del punto 2); 4. la coppia che il motore deve applicare affinchè la pressa scenda con velocità costante; 5. l accelerazione della pressa nel caso in cui la coppia del motore sia nulla; 6. facoltativamente, la massima accelerazione con cui può scendere la pressa nella condizione limite in cui la fune nel ramo B va in bando (ossia quando il tiro nel ramo B si annulla). Determinare inoltre la coppia che deve fornire il motore per garantire questa condizione di moto e il momento torcente agente nella sezione -. Dati numerici: R = 1 m τ 1 = 0.1 J = 200 kgm 2 η 1d = 0.9 J m = 0.1 kgm 2 η 1r = 0.8 M = 1000 kg τ 2 = 0.2 m = 200 kg η 2d = 0.8 η 2r = 0.7

11 llievi ME. II nno N.O. orso di Fondamenti di Meccanica Meccanica Razionale ppello del 19 luglio 2005 Domanda di teoria. partire dalla definizione di quantità di moto e di momento delle quantità di moto per un sistema di punti materiali, ricavare le formule di queste quantità per l atto di moto piano di un corpo rigido. Esercizio. Il sistema di figura è posto in un piano verticale. L asta è priva di massa mentre l asta B è omogenea di massa m e lunghezza l. Gli estremi e B del- 2 1 m, l le due aste scorrono senza attrito B PSfrag replacements lungo due guide rispettivamente verticale ed orizzontale. Determinare le coppie esterne 1 (t) e 2 (t) da applicare sulle due aste in modo che esse abbiano velocità angolari ω 1 e ω 2 costanti nel tempo.

12 Fondamenti di meccanica teorica ed applicata Prova in itinere 19/07/2005 Della trattrice di figura sono note dimensioni geometriche e caratteristiche inerziali: p = 2 m distanza del baricentro dall asse posteriore del veicolo; J m = 0.1 kgm 2 momento d inerzia del motore (asse longitudinale); a = 1.5 m distanza del baricentro dall asse anteriore del veicolo; J p = 2.5 kgm 2 momento d inerzia singola ruota posteriore; H = 1 m altezza del baricentro rispetto al suolo; J a =0.5 kgm 2 momento d inerzia singola ruota anteriore; h = 0.5 m altezza del gancio di traino rispetto all asse posteriore; c,d = p,d = 0.95 rendimento diretto del cambio e del ponte; R p = 1 m raggio di rotolamento delle ruote posteriori; c,r = p,r = 0.9 rendimento retrogrado del cambio e del ponte; R a = 0.5 m raggio di rotolamento delle ruote anteriori; c = 0.3 rapporto di trasmissione del cambio; M = 7000 kg massa veicolo; p = 0.1 rapporto di trasmissione del ponte; F = 5000 N forza trainata - min = 500 giri/min regime minimo del motore; f v = 0.02 coeff. di attrito volvente; - max = 2000 giri/min regime massimo del motore; f a = 0.9 coeff. di aderenza; = 10 inclinazione della strada Si chiede di determinare: 1) coppia motrice m a regime in salita; 2) accelerazione del trattore con coppia motrice pari a 1,5 volte quella del punto 1; 3) verifica di aderenza della condizione di moto del punto 2; 4) verifica di ribaltamento della condizione di moto del punto 2; 5) coppia frenante da applicare a tutte e 4 le ruote per avere una decelerazione del trattore pari a -3 m/s 2, imponendo m = -200 Nm e F = 0 N; 6) velocità di avanzamento del trattore minima e massima, conoscendo il campo di funzionamento del motore.

13 llievi ME. II nno N.O. orso di Fondamenti di Meccanica Meccanica Razionale ppello del 21 settembre 2005 Domanda di teoria. Ricavare per il moto piano del corpo rigido l espressione dell energia cinetica in funzione della velocità angolare e della velocità del baricentro, e l espressione della potenza delle forze in funzione della risultante e del momento risultante. Enunciare quindi il teorema dell energia cinetica per un corpo rigido. Esercizio. Il sistema di figura è po- sto in un piano verticale. Il disco di centro G, massa m e raggio r rotola senza strisciare sul profilo inclinato r O M, R H G PSfrag replacements m, r di un angolo α. Un filo inestendibile di massa trascurabile è attaccato in G, si appoggia senza attrito sulla carrucola e si avvolge α senza strisciare sul disco O di massa M e raggio R. Un profilo circolare di raggio r privo di massa è saldato sul disco O e concentrico con esso. Detto profilo circolare rotola senza strisciare su una guida orizzontale. Il centro G del disco di massa m ha inizialmente una velocità V 0. alcolare il valore della coppia da applicare sul disco O affinché il centro G si muova con velocità costante V 0. In tali circostanze calcolare le reazioni vincolari in H e la tensione nel filo.

14 Esercizio n 2 L impianto di sollevamento rappresentato in figura è costituito da un motore con volano (momento di inerzia J m ), da una trasmissione del tipo vite senza fine ruota elicoidale, da una puleggia di raggio R P su cui si avvolge una fune, supposta inestensibile, priva di massa e perfettamente aderente alla puleggia, da un contrappeso di massa m che striscia lungo un piano inclinato, e da un carrello di massa M che porta un carico di massa Mc. J P, R P J m, d, r B f s M D J R, r f v M m f d Si chiede di determinare: 1. la coppia che il motore deve applicare per sollevare il carrello a regime; 2. l accelerazione del carrello nel caso in cui il motore applichi una coppia il 50% superiore a quella calcolata al punto precedente; 3. il tiro della fune nei due rami B e D, nelle condizioni di moto del punto 2; 4. la coppia che il motore deve applicare per sollevare il carrello a regime, nel caso in cui il carrello sia privo di carico Mc; 5. la massima coppia che il motore deve applicare affinché la fune nel tratto D rimanga sempre in tensione, una volta che il sistema è stato avviato. In questa condizione di moto, verificare che il carico Mc non cada dal carrello. Dati numerici: R P = 0.5 m = 0.1 J P = 10 kgm 2 d = 0.8 J m = 0.02 kgm 2 r = 0.6 J R = 0.05 kgm 2 fs = 0.6 M = 200 kg fd = 0.5; Mc = 100 kg fv = 0.01; r = 0.1 m = 20 deg m = 120 kg = 60 deg

15 ESERIZIO 1 orso di Fondamenti di Meccanica llievi ME. II nno N.O. I Prova in itinere del 21/11/2005 Il sistema rappresentato in figura, disposto nel piano verticale, è costituito da due dischi omogenei, incernierati a terra rispettivamente in O 1 e O 2, di raggio R e 2R e massa m 1 e m 2. Sui due dischi rotola senza strisciare un asta omogenea B di massa M e lunghezza L. onoscendo la velocità angolare ω 1 =αt del disco 1 in funzione del tempo: 1) determinare la velocità angolare ω 2 del disco 2 in funzione del tempo; 2) calcolare il vettore accelerazione del baricentro dell asta B; 3) sapendo che la configurazione in figura rappresenta la condizione iniziale di moto (contatto tra disco 2 e asta in corrispondenza dell estremo B dell asta) calcolare il tempo dopo il quale il punto dell asta coincide con il punto di contatto con il disco 1; 4) calcolare la coppia m in grado di garantire il moto; 5) nella configurazione di moto iniziale, calcolare le reazioni vincolari nei punti di contatto tra asta e dischi. M, L B m 1, R ω 2 m 2, 2R ω 1 O 1 O 2 m d

16 ESERIZIO 2 Il sistema articolato rappresentato in figura si muove nel piano verticale. Il solo disco (saldato all asta OD) è dotato di massa. Note la geometria del sistema (a=l, b=3l, x=2l e α, R) e la massa del disco M si chiede di: 1. Scrivere le relazioni tra le velocità angolari delle aste (determinare & β in funzione di α, β ed α& ). 2. Scrivere la potenza delle forze e coppie applicate al sistema. 3. alcolare la coppia (funzione di α, β, α&, & β e && β ) in modo che la velocità angolare dell asta B sia costante. 4. Determinare in funzione della posizione le reazioni vincolari agenti sull asta B (in ed in B). D M,R a α, & αα,&& B b c γ x O β