Lezione 8 Dinamica del corpo rigido

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1 Lezione 8 Dinamica del corpo rigido Argomenti della lezione:! Corpo rigido! Centro di massa del corpo rigido! Punto di applicazione della forza peso! Punto di applicazione della forza peso! Momento della forza peso! Energia potenziale! Rotazione nel piano! Momento di interzia! Energia cinetica di rotazione! Teorema di Huyghens-Steiner

2 Corpo rigido Definizione Un corpo rigido è un oggetto o meglio un sistema di punti materiali in cui le distanze relative NN cambiano Un corpo rigido diventa quindi la definizione di un oggetto reale esteso. Le forze interne (forze di coesione che mantengono invariate le distnze fra i punti) hanno le seguenti caratteristiche: NN hanno risultante R ( I ) 0 ( I M 0 NN fanno momento ) NN fanno lavoro W ( I ) 0

3 Corpo rigido Tale sistema è quindi descritto dalle seguenti equazioni dinamiche Le forze esterne sono responsabili del moto del Centro di Massa ( e ) R ma I momenti delle forze esterne sono responsabili delle rotazioni intorno ad (punto fisso o centro di massa del sistema) Il lavoro delle forze esterne varia l energia cinetica del sistema e M ( ) dl dt d i dt i ( r m v ) ( A B) Ecin, B Ecin A ( e) W, i i

4 Come è fatto un corpo rigido?? Corpo rigido Esso è formato da un insieme continuo di punti materiali. Estendendo quindi ciò che si è visto per un insieme discreto di punti materiali le singole masse saranno infinitesime, ossia m i dm Quindi tutte le somme diventano degli integrali!

5 Centro di massa di un corpo rigido Definiamo il centro di massa di un sistema di punti materiali la seguente grandezza: miri i r m y r dm m i r r i x Se definiamo la densità come: dm r ρ dv i i rdm dm con dv elemento di volume occupato da dm r Volume Volume rρ dv ρ dv Volume rdv Volume dv Volume rdv VolumeTotale

6 Centro di massa di un corpo rigido

7 Punto di applicazione della forza peso Centro di massa Consideriamo un corpo continuo sottoposto alla forza peso: dm gdm La risultante di tutte queste forze parallele fra di loro è: gdm g dm mg E tale forza è applicata nel centro di massa del sistema.

8 Momento della forza peso Centro di massa Il momento della forza peso rispetto a un polo fisso (ad esempio l origine dell asse delle coordinate) è dato da: ( ) rdm g M r gdm ma: r rdm r dm dm dm r M ( ) r dm g mr g r mg

9 Energia potenziale Centro di massa Analogamente a quanto visto in precedenza per il calcolo dell energia potenziale: ma: z E p gzdm g zdm zdm zdm z dm dm p gzdm g zdm gz E dm mgz Se il corpo è libero ed agisce solo la forza peso la traiettoria del è verticale rettilinea o parabolica a seconda delle cond. iniz.

10 Moti del corpo rigido

11 Moto rotatorio

12 Variabili rotazionali

13 Variabili rotazionali

14 Relazione tra variabili lineari e angolari

15 Rotazione nel piano v r Asse di riferimento dm ϑ u z Consideriamo un corpo di due dimensioni, che possa ruotare intorno ad un asse fisso Le equazioni del moto del sistema sono e R ( ) ma ( e) M dl dt Poichè r v L ( r ) i mi vi ( r v) dm i L rvdmu z

16 r v dm Asse di riferimento ϑ Rotazione nel piano u z Notiamo che il momento angolare e il momento della risultante delle forze esterne sono perpendicolari al piano e paralleli al versore u z Inoltre si ha che: v r dθ dt E quindi L dθ dθ dm rvdm rr r dm dt dt La quantità I r dm prende il nome di momento di inerzia

17 Momento di inerzia Si è appena introdotta una nuova quantità che prende il nome di momento di inerzia I r dm Nel caso continuo I i r i m i Nel caso discreto Il momento di inerzia è legato a come è distribuita la massa attorno all asse di rotazione

18 Momento di inerzia

19 Equazioni del moto del corpo rigido Per la traslazione ( e ) R ma Per la rotazione ( e) M dl dt L I dθ dt r r dm dmu z M ( e) dl d θ dt dt I u z

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21 Calcolo dell energia cinetica per la rotazione intorno ad un asse fisso v r dm ϑ u z Con E Sia m la massa totale del corpo rappresentato in figura Dal teorema di Konig si ha che cin 1 M tot v + i 1 m i v' i v ' i velocità relative rispetto al Asse di riferimento

22 Calcolo dell energia cinetica per la rotazione intorno ad un asse fisso r v dm u z Dall analisi del moto di rotazione intorno ad di tutte le masse infinitesime ϑ E cin 1 1 m v dmv' ' i i i Asse di riferimento Ma dθ v r dt E cin I r dm 1 dθ 1 dθ dm r dt dt r dm e in definitiva E cin 1 I dθ dt

23 Teorema di Huyghens-Steiner r r r' Prendiamo un corpo piano qualsiasi che ruota intorno al punto Calcoliamo ora il momento d inerzia rispetto al punto I I ( ) r + r' + r r' r dm + dm dm ( r r' ) r dm + r' dm + r r' dm ssia mr + I r' dm mr + I

24 Slittamento! Immaginiamo un corpo cilindrico o sferico in moto rispetto alla superficie di appoggio C! Se le velocità di tutti i punti sono uguali e sono parallele al piano tangente localmente alla superficie, abbiamo un moto di traslazione e il corpo slitta sulla superficie 4

25 Rotolamento! In generale un corpo può anche rotolare sulla superficie! Se il punto di contatto C tra corpo e superficie è fermo, istante per istante, si ha rotolamento puro! Altrimenti avremo contemporaneamente slittamento e rotolamento 5

26 Rotolamento puro! Tra superficie e corpo esiste una forza di attrito che mantiene fermo il punto di contatto C, istante per istante! Questa è la forza di attrito statico! La velocità del punto C (o di qualsiasi altro punto) a distanza r dal è v C v + v * C v + ω r 6

27 Rotolamento puro! La condizione di puro rotolamento è ovvero v ω r! In modulo la velocità del è v ωr v C 0! E l accelerazione a αr! Cioè nel moto di puro rotolamento esiste una relazione precisa tra velocità del e velocità angolare 7

28 Rotolamento puro

29 Attrito volvente! Si attribuisce questo fenomeno ad una nuova forma di attrito, detto volvente, che è attivo tra il corpo e la superficie di appoggio! È attibuito alla deformazione locale del corpo e della superficie! Per una ruota in moto, la retta d azione della componente normale N della reazione vincolare alla superficie d appoggio non contiene il centro della ruota h N 9

30 Attrito volvente L effetto e` schematizzato con l azione di un momento che si oppone al moto τ hn v (h è il braccio di N ed e` detto coefficiente di attrito volvente) L effetto dell attrito volvente è sempre molto minore di quello dell attrito radente e statico, per cui è generalmente trascurabile Da qui deriva il grande vantaggio che si ottiene, in molti casi, di dotare i veicoli di ruote piuttosto che di pattini 30

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32 Rotolamento puro sfera Per la traslazione F f a ma N mg 0 Iα r f I a a α f r M a f C F ω Per la rotazione Considerando tutte le equazioni m I R F mr I m F R I a R I f mr I m F R I m F a a R I m F a R I f ma f F a a a f s mg a µ Per il rotolamento puro occorre che

33 Rotolamento puro sfera

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35 M

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38 Pendolo composto Si chiama pendolo composto o pendolo fisico ogni corpo rigido che possa oscillare per azione del suo peso in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale non passante per il suo centro di massa. ϑ h mg Il momento della forza peso è M r mg hmg senθ Il segno negativo è dovuto al fatto che si ha una forza di richiamo

39 ϑ h mg Pendolo composto Studiamone il moto M r mg hmg senθ dl z d θ I zα I z dt dt dl dt z I α z I z d dt θ hmg d θ mgh + senθ 0 dt I z d θ mgh + θ dt E per piccole oscillazioni 0 I z senθ

40 ϑ h mg Pendolo composto d θ mgh + θ dt I z che ha soluzione 0 ( ) sen( Ωt + Φ) θ t con Ω θ 0 mgh I z l I T π π z π l Ω mgh g I z lunghezza ridotta del pendolo mh

41 ϑ h h' mg ' Pendolo composto l Se poniamo IC h' IC mhh' mh I z IC + mh IC + h h' + h mh mh mh > h Se facciamo oscillare attorno ad l' I' mh' I C + mh' mh' I C mh' + h' mhh' mh' + h' h + h' l Cioè l ' l Il periodo di oscillazione intorno ai due assi è lo stesso

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