Angolo polare, versori radiale e trasverso

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2 Angolo polare, versori radiale e trasverso Desideriamo descrivere il moto di un corpo puntiforme che ruota su una circonferenza attorno ad un asse fisso. Nella figura l asse di rotazione coincide con l asse z ed il punto ruota sul piano xy. Per la descrizione del moto e utile definire: L angolo polare ϑ: l angolo (misurato in senso antiorario) che il raggio congiungente il centro della circonferenza con il corpo puntiforme forma con l asse x; Il versore radiale r : vettore di modulo unitario diretto verso l esterno lungo il raggio congiungente il centro della circonferenza con il punto. Il Versore trasverso t : vettore di modulo unitario tangente alla circonferenza e avente come verso quello in cui il punto dovrebbe muoversi per aumentare l angolo θ. tˆ Spostamento angolare Quando il corpo si muove dal punto P al punto Q il raggio congiungente il centro della circonferenza con il corpo spazza un angolo θ = θ f -θ i θ prende il nome di spostamento angolare del corpo.

3 Velocita angolare Definiamo velocita angolare media (scalare) il rapporto ω = ϑ t Analogamente la velocita angolare istantanea ω (scalare) e definita come: ϑ ω = lim = t 0 t dϑ La velocita angolare sara quindi misurata in rad/s o per essere piu precisi in 1/s visto che il radiante e una grandezza adimensionata. Dalla definizione dell angolo polare θ segue che : ω>0 per rotazioni in senso antiorario ω<0 per rotazioni in senso orario. Accelerazione angolare Se la velocita angolare di un corpo varia di un ammontare ω =ω f -ω i in un intervallo di tempo t il corpo ha una accelerazione angolare. Definiamo accelerazione angolare media (scalare) il rapporto α = ω t Analogamente la accelerazione angolare istantanea α (scalare) e definita come: ω α = lim t 0 t dω = La accelerazione angolare sara quindi misurata in rad/s 2 o per essere piu precisi in 1/s 2 visto che il radiante e una grandezza adimensionata. Dalla definizione segue che : α >0 se la velocita angolare e crescente α <0 se la velocita angolare e decrescente.

4 Moto ad accelerazione angolare costante Un semplice caso di moto rotatorio attorno ad un asse fisso e quello del moto ad accelerazione angolare costante. Seguendo una procedura simile a quella discussa per ricavare le leggi orarie nel moto ad accelerazione costante, e possibile dimostrare che per il moto rotatorio ad accelerazione angolare costante valgono delle relazioni cinematiche formalmente analoghe a quelle ricavate per un moto lineare ad accelerazione costante. Esempio Un volano ruota con accelerazione angolare costante α=-2.00 rad/s 2. All istante t=0 il volano ha una velocita angolare ω=180 rad/s, calcolare: 1)di quale angolo e ruotato il volano dopo un tempo t=2.00s; 2)dopo quanto tempo il volano si arresta; 3) quanti giri compie il volano prima di arrestarsi. 1) θ f -θ i =ωt + 1/2 α t 2 = 180x2-1/2x2x2 2 =356 rad 2) ω f =ω i +αt t=(ω f -ω i )/α = (0-180)/(-2) = 90.0 s 3)(θ f - θ i ) = (ω f2 -ω i2 )/2α=(0-(180) 2 )/(-4)=8100 rad 8100 rad= 8100/2π giri= giri

5 Moto circolare uniforme, accelerazione radiale. Consideriamo un corpo che si muove di moto circolare uniforme (cioe che si muova su una circonferenza con velocita angolare costante). Il suo vettore velocita avra modulo costante e sara in ogni istante tangente alla circonferenza. Pertanto, poiche la direzione del vettore velocita cambia con il tempo, il corpo sara dotato di una accelerazione a c. Noto il raggio r della circonferenza ed il modulo della velocita v= v del corpo, quali saranno modulo direzione e verso del vettore a c? Poiche i triangoli in (b) e (c) sono simili: v /v = r /r v =(v/r) r Pertanto il modulo della accelerazione media nell intervallo di tempo t e quindi nel limite t 0 a = v / t = (v/r) ( r / t) a c = lim a = (v 2 /r) t 0 Inoltre per t 0 Il vettore v punta verso il centro della circonferenza. Esso ha quindi verso opposto al versore radiale. Pertanto : a c = - (v 2 ^ /r) r In un moto circolare uniforme e sempre presente una accelerazione radiale a c, rivolta verso il centro della circonferenza, detta anche accelerazione centripeta.

6 Moto circolare accelerazione tangenziale e radiale Consideriamo il moto di un corpo lungo un tratto di percorso circolare in cui la velocita cambi non solo in direzione ma anche in modulo. La velocita sara (come in qualsiasi tipo di moto) sempre tangente alla traiettoria mentre la accelerazione variera da punto a punto e potra essere scomposta in due vettori componenti: a= a c +a t L accelerazione centripeta (o radiale) a c e dovuta alla variazione nel tempo della direzione del vettore velocita della particella a c = - (v 2 ^ /r) r dove r e il raggio di curvatura della traiettoria nel punto considerato e v il modulo della velocita L accelerazione tangenziale a t e legata alla variazione nel tempo del modulo della velocita della particella a t = ed ha la direzione del vettore velocita cioe la direzione del versore trasverso d v Riassumendo la accelerazione di un punto materiale che si muove lungo un percorso circolare puo sempre essere scritta come: ^ v 2 d v ^ v ^ a = v r r Il modulo del vettore accelerazione sara : a c a =[ a c 2 + a t 2 ] 1/2

7 Nota Che relazione esiste fra velocita angolare (scalare) e modulo della velocita per un punto che si muove su una traiettoria circolare? Detto r il raggio della circonferenza, s la lunghezza dell arco di cerchio percorso dal punto e θ il corrispondente spostamento angolare, dalla definizione di radiante si ha: θ=s/r derivando rispetto al tempo ω = v /r e derivando ulteriormente rispetto al tempo α = a /r Esempio: Ad un certo istante i vettori velocita ed accelerazione di un punto materiale che si muove su una circonferenza di raggio R=2.50 m sono quelli riportati in figura. Per tale istante determinare: 1)l accelerazione radiale; 2)il modulo della velocita v= v ; 3)l accelerazione tangenziale. Sappiamo che: a t = a sen (30)=15.0 sen(30)=7.50 m/s 2 a c = a cos(30)=15.0 cos(30) =13.0 m/s 2 a c = v 2 /r a = a + a v =(r a cos(30) ) 1/2 = 5.70m/s t c 2 d v ^ v = v r r ^

8 Il vettore velocita angolare ω e definito come quel vettore avente: modulo Grandezze rotazionali vettoriali Finora abbiamo considerato la velocita angolare, l accelerazione angolare e lo spostamento angolare come scalari. E pero possibile definire delle corrispondenti grandezze vettoriali. ω = dϑ direzione dell asse di rotazione verso stabilito dalla regola della mano destra : quando le dita della mano avvolgono l asse di rotazione nella direzione della rotazione il pollice indica il verso della velocita angolare. Il vettore accelerazione angolare α e definito come quel vettore avente: dω modulo α = direzione dell asse di rotazione verso concorde con ω se il modulo di ω aumenta, opposto ad ω se il suo modulo diminuisce. Il vettore spostamento angolare infinitesimo dθ e definito come quel vettore che ha: modulo dθ uguale al valore assoluto dello spostamento angolare infinitesimo direzione dell asse di rotazione verso stabilito dalla regola della mano destra.

9 Alcuni quesiti di verifica 1)Cosa e un moto circolare uniforme? 2)Sapete definire i vettori spostamento angolare infinitesimo, velocita angolare e accelerazione angolare? 3)Conoscete le leggi orarie per il moto rotatorio con accelerazione angolare costante? 4) In un moto circolare a cosa sono legate la accelerazione radiale e la accelerazione tangenziale?