INTRODUZIONE ALLA CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE PROF. FRANCESCO DE PALMA

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1 INTRODUZIONE ALLA CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE PROF. FRANCESCO DE PALMA

2 Sommario MOTO E TRAIETTORIA... 3 PUNTO MATERIALE... 3 TRAIETTORIA... 3 VELOCITÀ... 4 VELOCITÀ MEDIA... 4 VELOCITÀ ISTANTANEA... 6 ACCELERAZIONE... 6 ACCELERAZIONE MEDIA... 6 ACCELERAZIONE ISTANTANEA... 7 ESEMPIO... 8 BIBLIOGRAFIA di 11

3 Moto e traiettoria Punto materiale Nel seguito di questa lezione verrà discussa la cinematica del punto, in essa consideriamo unicamente il moto e come esso avviene a prescindere da ciò che lo causa. Per la descrizione dei corpi in moto utilizzeremo l approssimazione del punto materiale, ovvero un corpo in moto con dimensioni trascurabili rispetto al fenomeno in studio di massa non nulla. Esso, pertanto, può essere considerato puntiforme ma ha una massa associata. Traiettoria Ciascun punto, nel suo moto nel piano (o in generale nello spazio), può essere individuato da un raggio vettore rispetto all origine. Esso ovviamente dipende dal sistema di riferimento considerato, pertanto in generale si ha che, come mostrato in Figura 1. Se consideriamo delle coordinate cartesiane nel piano, il raggio vettore può essere scomposto in una componente lungo x ed una lungo y, con i rispettivi vettori, ovvero: Figura 1: traiettoria di un punto P, osservato da due sistemi di riferimento. Se e solo se il punto è in moto, rispetto al sistema di riferimento considerato, si ha che il raggio vettore varia nel tempo, ovvero si ha: 3 di 11

4 L insieme dei punti percorsi dal punto P al passare del tempo si chiama traiettoria; essa è indicata tramite la linea nera in Figura 1. Spesso il tipo di traiettoria è usato per denominare il moto, ad esempio, se: la traiettoria è una retta si ha un moto rettilineo, la traiettoria è una curva piana si ha un moto curvilineo piano, la traiettoria è una circonferenza si ha un moto circolare, la traiettoria è una ellisse si ha un moto ellittico. Si definisce moto unidimensionale un moto descrivibile da una sola variabile dipendente dal tempo, lungo una retta si ha x=x(t), lungo una traiettoria curvilinea si ha s=s(t), come in Figura 2. Figura 2: moti in una sola dimensione Velocità Velocità media Per definire la velocità e nel seguito l accelerazione, inizieremo considerando solo moti monodimensionali e pertanto la posizione del corpo è completamente descritta dalla funzione posizione x(t). Nel moto di un punto materiale da 0 a 1 lungo una traiettoria lineare con una variazione della posizione pari a,, come in Figura 3, in un tempo, si definisce la velocità media: Essa è indipendente da come è avvenuto il moto nelle fasi intermedie ma dipende solo dalle posizioni iniziali e finali e dal tempo intercorso. 4 di 11

5 Figura 3: Variazione della posizione Data la definizione della velocità media come rapporto tra una lunghezza e un tempo si ha che essa si misura in Il segno della velocità media può essere valutato, come in Figura 4, grazie ad un esempio numerico e grafico. In tutto l esempio consideriamo sempre un asse positivo, verso destra, come indicato in Figura 4. Quando un corpo ha un moto concorde con il verso scelto per l asse orientato di riferimento, quindi si muove verso destra nell esempio, la, ovvero avremo una velocità media positiva (assumendo intervalli di tempo sempre positivi). Se il moto del corpo avviene nel verso opposto all asse orientato scelto, ovvero è un moto discorde avremo che. Pertanto, come evidenziato dall esempio in Figura 4, il segno della velocità dipende unicamente dal verso relativo del moto rispetto all asse orientato scelto. Figura 4: Valutazione del segno della velocità media. 5 di 11

6 Velocità istantanea Poiché la velocità media non descrive il moto in ogni istante ma dipende semplicemente dagli stati iniziale e finale è necessario introdurre una nuova quantità che ci consenta di studiare in modo più completo il moto. Se valutiamo la velocità media per un intervallo di tempo infinitesimo avremmo la velocità istantanea : La velocità istantanea di un punto è la rapidità di variazione della posizione occupata dal punto nel tempo. In altri termini è il limite per del rapporto incrementale della funzione x(t), ovvero la derivata prima rispetto al tempo della posizione spaziale x(t): In tal modo per ogni istante, pertanto per ogni punto della traiettoria, possiamo conoscere la velocità istantanea del corpo 1. Nel seguito assumeremo Accelerazione Accelerazione media In generale anche la velocità istantanea dipende dal tempo, ovvero. Se il corpo passa da una velocità al tempo ad una velocità al tempo (come mostrato in Figura 5), possiamo caratterizzare ulteriormente il moto valutando l accelerazione media, definita: Poiché l accelerazione media è definita come un rapporto tra una variazione della velocità ed un intervallo di tempo, essa si misura in. 1 Assumendo che la funzione x(t) sia derivabile. 6 di 11

7 Figura 5: rappresentazione grafica della variazione della posizione Per studiare come varia il segno dell accelerazione media, consideriamo due corpi in moto concorde ad un asse orientato, come mostrato in Figura 6. In tal caso avremo che l accelerazione è positiva se la velocità aumenta ( ) ed è negativa se la velocità diminuisce ( ). Pertanto a differenza della velocità media il segno dell accelerazione non dipende dal verso del moto rispetto all asse orientato. Figura 6: Valutazione del segno dell'accelerazione media. Accelerazione istantanea Come per la velocità media anche l accelerazione media non dipende dalle velocità istantanee lungo la traiettoria ma solo dalla velocità iniziale e finale e dall intervallo di tempo intercorso. Per descrivere completamente il moto è necessario valutare l accelerazione in ogni punto della traiettoria. Valutando l accelerazione media per un intervallo di tempo infinitesimo avremmo l accelerazione istantanea. Definita: 7 di 11

8 L accelerazione istantanea di un punto è la rapidità di variazione della velocità del punto nel tempo. In altri termini è il limite per del rapporto incrementale della funzione v(t), ovvero la derivata prima rispetto al tempo della velocità v(t): Nel seguito della trattazione, quando ci riferiremo all accelerazione, parleremo di accelerazione istantanea. Poiché sappiamo che la velocità istantanea è la derivata dello spostamento, possiamo sostituire nella formula precedente il valore della velocità ed otteniamo: da cui risulta che l accelerazione è la derivata seconda dello spostamento. Pertanto nota la funzione, assumendo che sia derivabile due volte, possiamo conoscere ad ogni istante la velocità e l accelerazione del corpo. Esempio Per analizzare meglio il significato delle relazioni tra lo spostamento, la velocità e l accelerazione, consideriamo il caso di un ascensore espresso in Figura 7. Tra il tempo 1 ed il tempo 2 l ascensore è in quiete, tra 2 e 3 si ha un accelerazione costante, tra 3 e 4 l ascensore ha una velocità costante, tra 4 e 5 si ha una decelerazione costante, tra 5 e 6 il corpo è nuovamente in quiete. Come si può vedere solo nei due intervalli in cui il corpo è in quiete x(t) risulta costante, in tali intervalli si ha che sia la velocità che l accelerazione sono nulle. Durante la fase di accelerazione costante tra 2 e 3, la velocità aumenta linearmente. Tra 3 e 4 l accelerazione è nuovamente nulla e la velocità resta costante, lo spostamento del corpo aumenta linearmente. Tra 4 e 5 l accelerazione è costante ma negativa e la velocità del corpo diminuisce linearmente sino a diventare nulla nel punto 5, lasciando il corpo fermo. 8 di 11

9 Figura 7: Funzioni orarie del caso dell'ascensore. Possiamo anche studiare il caso rappresentato nella Figura 7 tramite un esempio numerico. Nella Tabella 1 sono riportate le diverse posizioni raggiunte dal corpo e gli istanti in cui li raggiunge. Tabella 1: valori numerici dello spostamento del corpo. Posizione x 1 = 0 m x 2 = 0 m x 3 = 4 m x 4 = 24 m x 5 = 28 m x 6 = 28 m Tempo t 1 =0 s t 2 =1 s t 3 =3 s t 4 =8 s t 4 =10 s t 6 =11 s Grazie ai valori in Tabella 1, possiamo valutare i valori delle velocità medie e delle accelerazioni medie grazie alle definizioni viste in precedenza. La velocità media nell intervallo tra 3 e 4, quando la velocità è costante, risulta pari a: 9 di 11

10 Data tale velocità e conoscendo che il corpo era in quiete al tempo 2 ed al tempo 5, e pertanto, possiamo valutare l accelerazione e la decelerazione media, rispettivamente negli intervalli 2-3 e 4-5. Esse risulteranno pari a: 10 di 11

11 Bibliografia P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci, Fisica Vol I, Edises D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fondamenti di fisica. Meccanica, termologia, CEA 11 di 11