parametri della cinematica

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1 Cinematica del punto Consideriamo il moto di una particella: per particella si intende sia un corpo puntiforme (ad es. un elettrone), sia un qualunque corpo esteso che si muove come una particella, ovvero ogni sua parte si muove solidalmente nella stessa direzione e con la stessa velocità. La cinematica non si preoccupa del perché del moto e delle sue variazioni (accelerazione, cambio di direzione, decelerazione), ma semplicemente della descrizione dei parametri del moto in funzione del tempo. Inizialmente consideriamo moti rettilinei, cioè che seguono una linea retta non abbiamo bisogno dei vettori. Spostamento Velocità Accelerazione parametri della cinematica A.A. 2014/15 Fisica 1 1

2 Spostamento Fissiamo sulla retta lungo cui avviene il moto un punto che chiamiamo origine, automaticamente otteniamo due versi positivo (da sx a dx) e negativo (da dx a sx). O x negativo positivo Una particella che muovendosi passa dalla posizione x 1 alla posizione x 2 compie uno spostamento definito come Δx = x 2 x 1 Se Δx è positivo il moto avviene in verso positivo, se Δx è negativo il moto avviene in verso negativo. Lo spostamento dipende solo dal punto iniziale e dal punto finale (in tre dimensioni ci si rende conto che lo spostamento è una grandezza vettoriale). A.A. 2014/15 Fisica 1 2

3 Velocità Grafico della funzione x(t) (legge oraria) Velocità vettoriale media v v = Δx Δt = x 2 x 1 t 2 t 1 L unità di misura per la velocità è m/s A.A. 2014/15 Fisica 1 3

4 Equazione dimensionale per la velocità [ v] = [ L] [ T] 1 La velocità rappresenta la pendenza media della curva x(t) nell intervallo determinato dai punti di coordinate (x 1,t 1 ) e (x 2,t 2 ). La velocità vettoriale media ha sempre lo stesso segno dello spostamento (Δt è sempre > 0). v = Δx Δt = 6m 3s = 2 m s A.A. 2014/15 Fisica 1 4

5 Velocità scalare media u u = Δs Δt Δs è il percorso effettivo La velocità scalare media è un numero sempre positivo e in generale è diversa dalla velocità vettoriale media. Velocità vettoriale istantanea v Determina la velocità in un istante preciso Δx v = lim Δt 0 Δt = d x dt La velocità vettoriale istantanea è la pendenza della retta tangente alla curva x(t) nel punto di ascissa t. Velocità scalare istantanea u La velocità scalare istantanea è il modulo della velocità vettoriale istantanea, in quanto al limite per Δt 0 dx e ds coincidono. A.A. 2014/15 Fisica 1 5

6 Accelerazione Accelerazione vettoriale media a a = Δv Δt = v 2 v 1 t 2 t 1 L unità di misura dell accelerazione è m/s 2. L equazione dimensionale è [ a] = L [ ][ T] 2 Accelerazione vettoriale istantanea a Δv a = lim Δt 0 Δt = d v dt L accelerazione vettoriale istantanea è la pendenza della curva v(t) nel punto di ascissa t. Essa rappresenta la rapidità di variazione del vettore velocità istantanea. a = d v dt = d d x = d2 x dt dt dt 2 A.A. 2014/15 Fisica 1 6

7 A.A. 2014/15 Fisica 1 7

8 Moto rettilineo uniformemente accelerato a è costante, cioè non è funzione del tempo. Ricaviamo le funzioni v(t) e x(t). Integrando si ottiene a = d v dt d v = a dt dv = a dt, v = a t + C d v = a dt Per determinare la costante di integrazione C, scegliamo l istante t = t 0 in cui la velocità assume il valore v = v 0. Infine si ottiene v 0 = a t 0 + C C = v 0 a t 0 v = v + a t t 0 0 ( ) (1) A.A. 2014/15 Fisica 1 8

9 Per lo spostamento si ha v = d x dt d x = v dt dx = v dt x = [ v 0 + a ( t t 0 )] dt x = v 0 t + a ( t t 0 )dt x = v 0 t a ( t t 0 ) 2 + C ' Prendendo x = x 0 per t = t 0 si ottiene (file) x 0 = v 0 t 0 + C ' C ' = x 0 v 0 t 0 Sostituendo si ottiene x = x 0 + v 0 t t 0 ( )+ 1 2 Combinando le equazioni (1) e (2) si ricava v(x) a ( t t ) 2 0 (2) v 2 = v 2 + 2a( x x ) 0 0 (3) A.A. 2014/15 Fisica 1 9

10 Esercizio Un oggetto puntiforme viene lanciato verso l alto con velocità iniziale v 0 = 98 m/s parallela e concorde all asse delle y. Il lancio avviene da un altezza y 0 = 100 m. Se l accelerazione di gravità vale g = 9.8 m/s 2 ed è antiparallela all asse delle y, determinare: il tempo t max necessario a raggiungere l apice della traiettoria, la quota massima y max, il tempo t f necessario a percorrere l intera traiettoria e la velocità v f con cui l oggetto tocca terra. y Dati v 0 = 98 j m/s y y 0 = 100 m max g = -9.8 j m/s 2 y 0 O v 0 g v f Richieste t max y max t f v f A.A. 2014/15 Fisica 1 10

11 Se y = y max t = t max e v max = 0. Infatti ogni volta che la velocità si annulla si ha una inversione nella direzione del moto. Utilizzando le formule appena ricavate si ha: v = v 0 + a (t t 0 ) e posto t 0 = 0, si ottiene (equazione scalare) t = v v 0 a Ricordando che v max = 0 otteniamo t max = v max v 0 a quindi per y max si ha t max = v 0 a = v 0 g =10 s y max = y 0 + v 0 (t max t 0 ) a ( t t max 0) 2 y max = y 0 + v 0 t max 1 2 gt max 2 = 590 m A.A. 2014/15 Fisica 1 11

12 Abbiamo t f quando y f = 0 0 = t f t 2 f t f1 = 0.96 s,t f2 = s t f1 corrisponde all istante ipotetico in cui l oggetto sarebbe dovuto partire se il moto avesse avuto inizio da y 0 = 0. Vediamo ora la velocità di impatto al suolo v f = v 0 gt f = = ms 1 Il modulo di v f risulta negativo perché il vettore velocità è rivolto verso il basso. Soluzione alternativa v 2 = v a( y y 0 ),y max v max = 0 ( ) = 0 v 0 2 2g y max 100 y max = = = 590 m A.A. 2014/15 Fisica 1 12

13 Vediamo ora v f v f2 = v 02 2g( y f y 0 ),y f = 0 2 ( v f ) 1/ 2 = ( ) 1/ 2 = ms 1 Procedendo in questo modo perdiamo l informazione sul verso della velocità finale. Scelta alternativa del sistema di riferimento Prendiamo ora y 0 = 0 e y f = -100 m Per il calcolo di t max non cambia nulla, invece per y max abbiamo y max = = 490 m Vediamo adesso t f y f = y 0 + v 0 t f 1 2 gt 2 f 100 = t f t 2 f t f1 = 0.96 s,t f2 = s A.A. 2014/15 Fisica 1 13

14 Infine per v f otteniamo ( ) ( ) v f2 = v 02 2g y f y 0 v f 2 = v f = ms 1 Nota sui tempi t caduta = t f2 t max =10.96 s = t max t f1 = t salita Si osserva che il tempo necessario per andare da y = 0 a y max è lo stesso necessario per andare da y max a y = 0 le due parti del moto sono quindi simmetriche. A.A. 2014/15 Fisica 1 14