Esercizio (tratto dal Problema 2.8 del Mazzoldi 2)

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1 1 Esercizio (tratto dal Problema.8 del Mazzoldi ) Una particella si muove lungo una circonferenza di raggio R 50 cm. Inizialmente parte dalla posizione A (θ 0) con velocità angolare nulla e si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione costante α s, fino a raggiungere il punto (θ 3π/). In seguito, la particella decelera (con decelerazione costante), fino a fermarsi in A. Calcolare: 1. il tempo impiegato per andare da A a ;. l accelerazione radiale in ; 3. l accelerazione tangenziale nel tratto A. A

2 SOLUZIONE: DATI INIZIALI Anzitutto convertiamo tutti i dati in unità del Sistema Internazionale, e gli angoli espressi in forma numerica. R 0.5 m α s θ A 0 ω A 0 θ 3 π 1. Scegliamo come istante t 0 iniziale quello in cui la particella parte dal punto A. Ricaviamo anzitutto la legge oraria nel tratto A. Dal testo sappiamo che il tratto A è un moto uniformemente accelerato; l angolo iniziale vale θ A 0; la velocità angolare iniziale in A vale ω A 0; l accelerazione vale α s ; Da queste indicazioni deduciamo che la legge oraria dev essere θ(t) θ }{{} A + ω A t + 1 }{{} α t 1 α t 0 t t (1) 0 0 Denotiamo con t l istante in cui il punto arriva in, ossia in corrispondenza dell angolo θ 3π/. Allora per definzione θ θ(t t ) 1 α t () e pertanto Sostituendo i valori t t θ α 3 π 1 s 3 3π π s (3) s.17 s (4). Dalla formula generale per l accelerazione in un moto circolare abbiamo ( ) dθ a R u r + dt }{{} a r accel. radiale (centripeta) R d θ }{{ dt u θ (5) } a θ accel. tangenziale

3 3 dove ω(t) dθ dt α t (6) t 0 t t α(t) d θ dt α (7) In particolare, all istante t t in cui giunge in, si ha dove la velocità angolare in vale a r (t ) R ω (8) ω ω(t ) αt [uso ora (3)] θ α α α θ (9) CHECK: controllo dimensionale: la velocità angolare ha dimensione di s 1. Controlliamo allora che il risultato ottenuto sia dimensionalmente giusto. Siccome gli angoli sono adimensionali e le accelerazioni angolari hanno dimensioni di s, [ ] α θ 1 [α] [ θ ] s 1 s 1 (10) La componente a r in t t vale dunque Sostituendo i valori abbiamo a r (t ) Rω (t ) Rω [uso (9)] R α θ (11) a r (t ) / 0.50 / m / 1 3π s / 3π m s 9.4 m s (1) 3. Calcoliamo ora l accelerazione nel tratto A. Dalla formula generale ( ) dθ a R u r + dt }{{} a r accel. radiale (centripeta) R d θ }{{ dt u θ (13) } a θ accel. tangenziale vediamo che l accelerazione tangenziale a θ (t) R α(t) (per qualsiasi moto circolare) (14)

4 4 è sostanzialmente data (a parte il raggio R) dall accelerazione angolare α(t). Quindi occorre trovare l accelerazione angolare nel tratto A. Sappiamo dal testo che si tratta di un moto circolare uniformemente decelerato. Denotiamo con α tale accelerazione (che sarà dunque negativa α < 0). Per determinarne il valore possiamo procedere in due modi: Primo modo: Troviamo anzitutto la legge oraria della particella nel tratto A. Sappiamo che: è un moto circolare uniformemente decelerato con accelerazione α, all istante t la particella si trova in, ossia alla posizione θ θ 3π/; all istante t (in cui si trova in ) la particella ha velocità angolare ω α θ Da queste indicazioni possiamo dedurre che la legge oraria e anche quella per la velocità θ(t) θ + ω (t t ) 1 α (t t ) t t t f (15) ω(t) dθ(t) dt ω α (t t ) t t t f (16) Indichiamo ora con t f l istante in cui la particella raggiunge nuovamente il punto A. Sappiamo dunque che all istante t f la particella avrà compiuto un intero giro, ossia la sua posizione vale θ π. Pertanto dalla legge oraria (15) π θ + ω (t f t ) 1 α (t f t ) (17) Sappiamo anche che in tale istante t f la particella si ferma. Pertanto vale che ω(t f ) 0 ω α (t f t ) 0 (18) da cui ricaviamo che t f t ω α (19) Sostituendo ora (19) in (17) otteniamo ω π θ + ω α 1 ( ω ) α α θ + ω α 1 ω α θ + 1 ω α (0)

5 5 da cui ricaviamo π θ 1 ω α ω α 1 π θ [usiamo (9)] 1 αθ π θ α θ π θ (1) Sostituendo i valori α 1 3π s π 3π 1 s 3π π 6 s () Secondo modo: Utilizziamo la formula generale (che vale per tutti i moti circolari uniformemente accelerati) θ ω fin ω in α (3) dove ω in è la velocità angolare ad un istante iniziale (arbitrario), ω fin è la velocità angolare ad un istante finale (arbitrario), θ θ fin θ in è l angolo spazzato dalla particella tra l istante iniziale e quello finale, e α l accelerazione angolare (costante) che caratterizza il moto uniformemente accelerato. N: Questa formula è, per il moto circolare uniformemente accelerato, l esatto analogo della formula x v fin v in (4) a per il moto rettilineo uniformemente accelerato. Semplicemente lo spazio è sostituito dagli angoli, le velocità sono sostituite da velocità angolari e l accelerazione dall accelerazione angolare. Si dimostra allo stesso modo. Applichiamo la formula generale (3) al nostro caso particolare, scegliendo : come istante iniziale l istante t in cui la particella si trova in (θ 3π/) e in cui la velocità angolare vale ω ; come istante finale l istante t f in cui la particella torna in A (θ π) e in cui la velocità angolare è nulla; l accelerazione angolare vale α

6 6 Quindi abbiamo da cui θ π 3π π (0 s 1 ) ω α ω α (5) α ω π [uso ora (9)] α θ π α 3π π 3 α (6) Sostituendo i valori α 3α 3 s 6 s (7) Avendo ora trovato l accelerazione angolare α, possiamo ora determinare l accelerazione tangenziale dalla (14) a θ R d θ dt Rα 0.5 m (6 s ) 3 m s (8) A A a r ~a ~a a r a a Figure 1: Il vettore accelerazione negli istanti precedenti and successivi a t (istante in cui la particella giunge in ). Si noti che la componente tangenziale a θ dell accelerazione cambia segno in maniera discontinua a t t, in quanto il moto circolare passa da uniformemente accelerato ( d θ α > 0, dt vedi Eq.(7)) a uniformemente decelerato ( d θ α < 0, vedi Eq.(8)). dt