PROBLEMA 15. ATTENZIONE: nelle figure gli angoli e i segmenti non sono in scala con i valori assegnati, ma ciò non pregiudica la soluzione.

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1 PROBLEMA 15 E dato il stema di piani inclinati della figura qui sotto dove α = 35,0, β = 40,0, AB =,00 m e BC = 1,50 m. Un corpo di massa m =,00 kg è posto in A e tra il corpo e il pia, lungo tutto il tratto ABC, c è attrito (coefficiente di attrito statico 0,500; coefficiente di attrito dinamico = 0,300). tabilire (a) se il corpo scivola lungo il pia inclinato; (b) se il corpo riesce a salire lungo il tratto C e in caso affermativo a che altezza arriva; (c) in che punto il corpo ferma definitivamente. ATTENZIONE: nelle figure gli angoli e i segmenti n so in scala con i valori assegnati, ma ciò n pregiudica la soluzione. 1

2 OLUZIONE Poiché il problema è abbastanza complesso ed è bene fare u schema della soluzione: Il corpo ha un peso sufficiente a vincere la forza di attrito statico con il pia? - - Il corpo n muove. Fine problema tudio del moto nel tratto AB e calcolo della velocità in B tudio del moto nel tratto BC. Il corpo arriva in C? etermi la velocità in C e studio del moto nel tratto C. etermi l altezza a cui arriva etermi il punto in cui ferma In il peso è sufficiente a vincere la forza di attrito statico con il pia? etermi il punto in cui ferma Il corpo ferma Il corpo scende lungo il tratto C. Calcolo della velocità in C etermi la velocità in B e studio il moto nel tratto BA. etermi l altezza a cui arriva. Riprendo dal punto 3 fi a quando n riesce a determinare il punto in cui il corpo ferma. Non è necessario ripetere i punti 1 e 7 in quanto sappiamo che so soddisfatte le condizioni di scivolamento tudio del moto nel tratto CB. Il corpo arriva in B? Risolviamo quindi punto per punto.

3 1) Vediamo se la massa ha un peso sufficiente per vincere la forza di attrito statico con il pia inclinato; affinché ciò avvenga deve essere P fa, da cui segue, essendo P = mg senα e f = µ mg cos α, A, mg senα µ mg cos α e quindi la condizione tgα µ. Essendo tg35,0 0,7 il corpo inizia a scivolare lungo il tratto AB. 3) Applicando il secondo principio della dinamica ha F = P fa da cui segue: ma = mg senα µ mg cos α a = senα µ cos α g = 3, 1 m/s. Lungo il tratto AB il moto è uniformemente accelerato e scegliendo un stema di riferimento la cui l origine coincida con A e il verso a da A verso B, han le seguenti equazioni del moto 1 s = at s = 1, 61t da cui. = at v = 3, 1t Posto s uguale alla lunghezza del tratto AB, dalla prima equazione ricava = 1, 61t e quindi il tempo per arrivare in B: t = 1,1 s. Quando la massa arriva in B, dalla seconda equazione, ricava che la sua velocità è: vb = 3,1t = 3,1 1,1 = 3,60 m/s. 4) ul tratto orizzontale BC il moto è decelerato per effetto dell attrito e applicando il secondo principio della dinamica ha che F = fa da cui segue: ma = µ mg a = µ g =, 94 m/s. cegliendo un stema di riferimento la cui l origine coincida con B e il verso a da B verso C, han le seguenti equazioni del moto 1 s = vbt + at x = 3, 60t 1, 47t da cui. = vb + at v = 3, 60,94t Quando il corpo arriva nel punto C, s = 1,50 m, quindi la prima equazione diventa: 1,5 = 3, 60t 1, 47t, ovvero (*) risolvendo 1, 47t 3, 60t + 1,5 = 0 3,60 ± 3,60 4 1,47 1,5 t = = 1, 47 t 1 = 0, 534s t = 1,91s 3

4 i osservi che la seconda soluzione n è accettabile perché quando il corpo arriva in C, cioè dopo 0,534 s, il moto cambia e quindi le equazioni utilizzate perdo di gnificato. Per t = 0,534 s ha: vc = 3, 60,94 0,534 =, 03 m/s.[ 1 ] Poiché in C il corpo ha ancora una velocità, inizierà a salire su per il secondo pia inclinato. 6) Applicando il secondo principio della dinamica al tratto C, ha che F = P fa da cui segue: ma = mg senβ µ mg cosβ a = senβ + µ cosβ g = 8,55 m/s. Lungo il tratto C il moto è quindi uniformemente decelerato e scegliendo un stema di riferimento la cui l origine coincida con C e il verso a da C verso, han le seguenti equazioni del moto 1 1 s = vct + at x =, 03t 8,55t da cui. = vc + at =,03 8,55t,03 Il corpo ferma quando v = 0, quindi dopo un intervallo di tempo t = = 0, 37 s, ed ha 8,55 percorso 0,41 m. L oggetto arriva quindi ad un altezza h = s senβ = 0, 41 sen40 = 0,155 m. 7) A questo punto il corpo potrebbe fermar se la componente parallela del peso n superasse la forza di attrito statico, ma ripetendo il ragionamento del punto 1) ed essendo tg40, 0 = 0,839 > µ = 0, 500, deduce che esso scende. 9) Applicando il secondo principio della dinamica al tratto C, ha che F = P f da cui segue: A ma = mg senβ µ mg cosβ a = senβ µ cosβ g = 4, 05 m/s. Lungo il tratto C il moto è quindi uniformemente accelerato e scegliendo un stema di riferimento la cui l origine coincida con e il verso a da verso C, han le seguenti equazioni del moto 1 1 s = at s = 4, 05t da cui. = at = 4, 05t [ 1 ] L equazione (*) è una equazione di secondo grado in t e quindi o ammette due soluzioni reali e distinte, o due soluzioni reali e coincidenti o nessuna soluzione. Nel primo caso la massa arriva in C con velocità maggiore di zero ed inizia a salire lungo il pia inclinato, nel secondo caso arriva in C e ferma, nel terzo caso NON arriva in C e quindi ferma prima. In quest ultimo caso bisogna risolvere l equazione 0 = v + at per determinare l istante in cui la massa 1 ferma e sostituendo il valore di t nell equazione s = vbt + at ha la distanza da B in cui la massa ferma. B 4

5 Posto s uguale alla lunghezza del tratto C, ovvero s = 0, 41 m (vedi punto 6), dalla prima equazione ricava il tempo che il corpo impiega, per arrivare in C, un tempo t = 0,345 s. In C, dalla seconda equazione, esso ha una velocità vc = 4,05t = 4,05 0,345 = 1,40 m/s. Il corpo prosegue quindi il suo moto verso B. 10) Per stabilire se arriva in B applichiamo il secondo principio della dinamica nel tratto CB, ma quello che ottiene anche intuitivamente è che l accelerazione è la stessa di quando la massa sta attraversando il tratto BC in senso opposto, cioè a = µ g =, 94 m/s. Per determinare se il corpo arriva in B dobbiamo utilizzare le equazioni del moto: 1 s = vct + at s = 1, 40t 1, 47t da cui = vc + at v = 1, 40,94t Quando arriva al punto B, s = 1,50 m, quindi la prima equazione diventa: ovvero 1, 47t 1, 40t + 1,5 = 0 risolvendo 1,40 ± 1, , 47 1,5 1,06 ± 6,86 t = = che è imposbile. 1,47,94 Ciò gnifica che il corpo NON arriva in B (vedi ta 1). 1,5 = 1, 40t 1, 47t, 11) Per determinare il punto X in cui ferma la massa nell equazione v = vc + at poniamo v = 0. 1, 40 i ottiene t = = 0, 476 s. ostituendo nella prima equazione del stema otteniamo,94 s = 1, 46 0, 476 1,47 0, 476 = 0,333 m. Ovvero il corpo ferma a 0,333 m da C. 5