Esercizi svolti di Cinematica. 1. Un punto materiale è lanciato verso il basso da O con velocità iniziale v ( 0) y O

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1 Esercizi svolti di Cinematica 1. Un punto materiale è lanciato verso il basso da O con velocità iniziale v ( 0) lungo un piano inclinato liscio. Determinare: a. la velocità v con cui il punto raggiunge il punto più basso della rampa Q; b. il tempo totale che esso impiega a raggiungere Q. v ( 0) = 5 ms -1 ; h = OH = 1 m ; = 30 O H Q Il punto materiale procede lungo il piano inclinato sotto l azione della forza peso e della reazione vincolare. La II equazione della dinamica è: r r r P + R = ma Proiettando l equazione nel sistema di riferimento O, si ha per la componente : mg sen = ma (moto uniformemente accelerato) e quindi: a = g sen v = (g sen ) t + v ( 0) 1 l = ( g sen) t + v( 0) t. Mettendo le ultime due equazioni a sistema si ricavano t e v : v = v( 0) + gl sen = v( 0) + g h = v v( 0) t = = 0.35 s g sen 6.7 ms -1

2 . Un punto materiale è lanciato in O con velocità iniziale v ( 0) lungo un piano inclinato liscio di lunghezza l. Determinare: a. la velocità v con cui il punto raggiunge il punto più alto della rampa Q; b. il tempo totale che esso impiega a raggiungere Q. v ( 0) = 0 ms -1 ; l = 10 m ; = 30 O Q Il punto materiale procede lungo il piano inclinato sotto l azione della forza peso e della reazione vincolare. La II equazione della dinamica è: r r r P + R = ma Proiettando l equazione nel sistema di riferimento O, si ha per la componente : -mg sen = ma (moto uniformemente accelerato) e quindi: a = -g sen v = -(g sen ) t + v ( 0) 1 l = ( g sen) t + v( 0) t. Mettendo le ultime due equazioni a sistema si ricavano t e v: ( g sen) = v = v( 0) v( 0) v t = g sen = 0.5 s l 17.4 ms -1

3 3. Un calciatore, a distanza d dalla porta, tira frontalmente verso un punto della porta posto ad altezza h. Determinare la velocità iniziale v o del pallone. B = 45, d = 15 m ; h =. m A h Le equazioni del moto della sfera sono: t 1 t g t Eliminando t tra le due equazioni e ricordando che vo vo sen si ottiene l equazione della traiettoria: g = tg vo Imponendo che la palla passi per il punto (d, h) si ha: g h = tg d d vo da cui si ricava v o : v o = d g = 13 m s -1 ( d tg h)

4 4. Un calciatore, a distanza d dalla porta, tira frontalmente eseguendo un pallonetto per scavalcare il portiere. La palla, scagliata con velocità iniziale v o, andrebbe a toccare terra esattamente sulla linea. Sapendo che il portiere si trova inizialmente in B, e che in quella situazione può afferrare il pallone fino ad un altezza h, quanto deve arretrare verso la porta per parare il tiro? (si indichi con tale valore) A B h d = 0 m ; AB = 15 m ; h =.7 m ; = 60 Le equazioni del moto della sfera sono: t 1 t g t Eliminando t tra le due equazioni e ricordando che vo vo sen si ottiene l equazione della traiettoria: g = tg vo Imponendo che la palla passi per il punto (d, 0) si ha: g 0 = tg d d vo da cui si ricava v o : d g v o = = 15 m s -1 d tg I valori di per cui = h sono dati dall equazione: g h = tg vo Risolvendo l equazione di II grado si trovano le soluzioni: 18 m = 1.7 m Delle due, la seconda non è consistente con i dati del problema. Il portiere in definitiva deve arretrare del tratto: = ΑΒ = 3 m

5 5. Un auto passa in O alla velocità v 1 (0). Nello stesso istante, parte in O una seconda auto con accelerazione a. Quest ultima, dopo un tempo t mantiene costante la sua velocità. Determinare dopo quanto tempo raggiunge la prima auto. v 1 (0) = 10 ms -1 ; a = 1.5 ms - ; t = 10 s Nota. Se necessario, si indichino come segue le grandezze: Spazio percorso dalla seconda auto con moto accelerato v Velocità massima della seconda auto Posizione in cui le auto si incontrano t Istante dell incontro Il valore di si ricava dall equazione: 1 = a t = 75 m La velocità v è data da: v = a t = 15 ms -1 Dopo l istante t valgono le due equazioni per le leggi orarie delle due auto: = v1( 0) t = + v ( t t ) Risolvendo il sistema si ha: t = 15 s = 150 m (m) t (s)

6 6. Due auto partono nello stesso istante con accelerazioni a 1 e a rispettivamente. La prima auto, dopo un tempo t 1, procede a velocità costante. In che posizione sarà raggiunta dalla seconda auto? a 1 = 0.6 ms - ; a = 0.5 ms - ; t 1 = 18 s Nota. Se necessario, si indichino come segue le grandezze: 1 Spazio percorso dalla prima auto con moto accelerato v 1 Velocità massima della prima auto v Velocità massima della seconda auto Posizione in cui le auto si incontrano t Istante dell incontro Il valore di 1 si ricava dall equazione: 1 1 = a1 t1 = 97m Dopo l istante t 1 valgono le due equazioni per le leggi orarie delle due auto: = 1 + v1 ( t t1 ) 1 = a t Risolvendo il sistema si ha: 1 ( v t ) v1 ± v a t = a La seconda soluzione (segno -) è inaccettabile (vedi grafico). Quindi t = 31 s, da cui 1 = a t = 40 m (m) t (s)

7 7. Un oscillatore armonico si muove secondo la legge oraria ( t) A cos ( ω t) =. Determinare il periodo del moto T, ed il valore v m della massima velocità assunta dal punto materiale nel suo moto. ω = 0.1 s -1 ; m = 1 Kg ; A = 1 cm T = π = 63 s ω La velocità è data dalla legge v( t) = A ω sen ( ω t) Il massimo valore assunto dalla funzione seno è 1; quindi v m = A ω = 10-3 ms -1