Corso di Laurea in Matematica per l Informatica e la Comunicazione Scientifica

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Corso di Laurea in Matematica per l Informatica e la Comunicazione Scientifica"

Transcript

1 Corso di Laurea in Matematica per l Informatica e la Comunicazione Scientifica Soluzione del compito di Matematica Discreta 1 del 25 luglio Qual è il numero di applicazioni f : A = {1,..., 5} B = {1,..., 7} tali che f(a =? S(7, ; 2. 6 S(7, ;. 6 S(5, ; S(5,. Soluzione: Occorre innanzitutto scegliere la terna che deve fare da codominio, cioè scegliere oggetti tra i 7 a disposizione: ci sono ( 7 modi di fare questa scelta. Dopo ciò occorre contare quante sono le applicazioni suriettive da un insieme con 5 oggetti a un insieme con oggetti: questo numero è!s(5,. Concludendo, il numero complessivo di applicazioni richieste è il prodotto ( 7!S(5, = 210S(5, 2. Siano S un insieme di cardinalità v > 4 e B la famiglia di tutti i sottoinsiemi di S di cardinalità k, con < k < v. Segnare l affermazione non corretta: 1. una delle affermazioni che seguono è falsa; 2. (S, B è un (k 1-disegno di parametri (v, k, v k + 1;. (S, B è un (k 2-disegno di parametri (v, k, (v k+2(v k+1 2 ; 4. (S, B è un (k -disegno di parametri (v, k, (v k+(v k+2(v k+1. Soluzione: Fissati k 1 punti in S, per ottenere un blocco occorre aggiungere esattamente un punto che va scelto tra i rimanenti v (k 1 punti di S. Ci sono quindi precisamente v (k 1 blocchi distinti che contengono i fissati k 1 punti, cioè quello dato è un (k 1-disegno di parametri (v, k, v k +1. Ne consegue che è anche un (k 2-disegno di parametri (v, k, r k 2 e un (k -disegno di parametri (v, k, r k, con r k 2 = (v k + 2(v k e (v k + (v k + 2(v k + 1 r k =! Dunque la risposta non corretta è la quarta.. (Nella formulazione originaria questo esercizio conteneva un errore. Sia G = (V, S il grafo così definito: - V consiste delle parole di lunghezza 8 su un alfabeto di 5 lettere; - {v, v } S se v e v iniziano e finiscono allo stesso modo. Segnare l affermazione corretta: 1. χ V ( G = 5 6 ; 2. le componenti connesse di G non hanno cammini euleriani;. χ S( G < 5 6 ; 4. G ha 2 componenti connesse. Soluzione: Ogni coppia (a, b di lettere del dato alfabeto determina una componente connessa del grafo che è costituita da tutte le parole che iniziano

2 con a e terminano con b. Quindi il grafo ha tante componenti connesse quante sono le coppie ordinate (= parole di lunghezza 2 su un alfabeto di 5 lettere, cioè 5 2 componenti connesse. In una data componente connessa tutte le parole (i vertici hanno una parte data (la prima e l ultima lettera e una parte, quella centrale costituita dalle rimanenti sei lettere, assolutamente libera. Ne consegue che in ogni componente connessa vi sono 5 6 vertici tra loro tutti collegati da uno spigolo, cioè ogni componente connessa è un grafo completo con 5 6 vertici (un numero dispari. Dunque χ V (G = 5 6, χ S (G > e in ogni componente connessa ci sono cammini euleriani (ogni vertice ha per grado il numero (pari La risposta corretta è quindi la Cinque ragazzi hanno finito di leggere un libro ciascuno. In quanti modi possono scambiarsi i libri cosicché ciascuno legga un nuovo libro? ; 2. 44;. 101; Soluzione: È il classico problema della segretaria distratta dove lettere e buste sono sostituite da libri e ragazzi (o viceversa : applicando la relativa formula si ha: ( 5! 1 1 1! + 1 2! 1! + 1 4! 1 = 44 5! 5. Qual è il numero n d applicazioni N 4 = {1,..., 4} N 8 = {1,..., 8} se si pretende che siano iniettive ed almeno uno tra 6,7 e 8 non sia immagine di alcun elemento di N 4? 1. n = 820; 2. n = 742 ;. n = 801; 4. n 742, 801, 820. Soluzione: Si applica il principio di inclusione e esclusione. Siano A, B, C gli insiemi di applicazioni iniettive N 4 N 8 che non contengono nel codominio 6, 7, 8 rispettivamente. La cardinalità di ciascuno di questi insiemi è = 840, mentre la cardinalità di ciascuno degli insiemi A B, A C, B C è = 60 e la cardinalità di A B C è = 120. Pertanto, osservato che il numero delle applicazioni iniettive N 4 N 8 è = 1680, il numero richiesto è = 120; quindi la risposta da segnare è la quarta. 6. Si consideri f(x = x 2 + mx + 2 Z 11 [x]. Segnare l affermazione corretta: 1. i valori di m per cui f(x è irriducibile sono esattamente 5; 2. i valori di m per cui f(x è riducibile sono esattamente 5;. f(x è un polinomio riducibile m Z 11 ; 4. f(x è un polinomio irriducibile m Z 11. Soluzione: f(x è riducibile se e solo se ammette radici, cioè se e solo se = m 2 8 è un quadrato. Gli elementi di Z 11 che sono quadrati sono: 0 = 0 2, 1 = (±1 2, 4 = (±2 2, 9 = (± 2, 5 = (±4 2, = (±5 2. Inoltre per m = 0 (è un quadrato; 4 per m = ±1 (è un quadrato; m 2 7 per m = ±2 (non è un quadrato; 8 = 1 per m = ± (è un quadrato; 8 per m = ±4 (non è un quadrato; 6 per m = ±5 (non è un quadrato.

3 Dunque ci sono precisamente 5 valori di m per cui f(x è riducibile: risposta da segnare è la 2. la 7. (Nella formulazione originaria questo esercizio conteneva un errore. Sia G = (V, S il grafo così definito: - V consiste delle 64 caselle v i,j, i, j = 1,..., 8, della scacchiera classica; - la coppia di vertici {v i,j, v k,l } costituisce uno spigolo di G se k i = 1 e l j = 2, oppure k i = 2 e l j = 1 (è la mossa del cavallo: un passo avanti (o indietro e due di lato, oppure due passi avanti (o indietro ed uno di lato. Osservato che si può andare da v i,j a v i+1,j con il cammino v i,j v i+1,j+2 v i+,j+1 v i+1,j, mentre si può andare da v i,j a v i,j+1 con il cammino v i,j v i+2,j+1 v i+1,j+ v i,j+1, dire quale delle seguenti affermazioni è corretta: 1. G è un grafo connesso con χ S ( G = 8; { 0 se i j mod 2, 2. v i,j non è una colorazione per i vertici di G; 1 se i j mod 2,. esistono in G circuiti di lunghezza dispari; 4. esistono in G circuiti euleriani. Soluzione: L indicazione data ci dice che esiste un cammino da una casella ad una subito adiacente (a sinistra, a destra, in alto o in basso, cioè il grafo è connesso. Inoltre { 0 se i j mod 2 v i,j 1 se i j mod 2 è una colorazione perché vertici collegati da uno spigolo, per esempio v i,j e v i+1,j+2, hanno colore diverso: se v ij ha colore 0, cioè i j mod 2, v i+1,j+2 ha colore 1 perché i + 1 j + 2 mod 2 (in altre parole il cavallo si muove sempre da una casella bianca a una nera, o da una nera a una bianca. Pertanto è un grafo bipartito e quindi non possiede circuiti di lunghezza dispari. Inoltre, come grafo bipartito, il numero cromatico degli spigoli è pari al massimo dei gradi che è 8 (quando la casella non è posta nelle due righe o colonne più esterne. D altronde vi sono otto vertici di grado (v 1,2, v 1,7, v 2,1, v 2,8, v 7,1, v 7,8, v 8,2, v 8,7, per cui è escluso che ci siano cammini euleriani. La risposta da segnare è la Sia (V, B un 2-disegno di parametri (7,, 1 con punti v 1,..., v 7 e blocchi b 1,..., b b V. Per ogni blocco b i si consideri la parola w i di lunghezza 7 sull alfabeto {0, 1} che abbia gli 1 posizionati nei posti indicati dai punti del blocco b i (per esempio, b i = {v, v 4, v 7 } w i = Segnare l affermazione non corretta: 1. le parole w i formano un codice che non corregge alcun errore; 2. B = 7 e v i, v j V c è uno ed un solo v k V per cui {v i, v j, v k } B;. le parole w i formano un codice non lineare; 4. almeno una delle precedenti affermazioni è falsa.

4 Soluzione: r 2 = 1 dà r 1 =, quindi b = 7 dalla relazione che lega i parametri di un disegno. Poiché è un 2-disegno, ogni coppia di elementi (v i, v j V determina esattamente un altro v k in modo che {v i, v j, v k } è un blocco. Questo significa che le parole del codice contengono parole aventi precisamente tre 1 e che ogni coppia di 1 determina il terzo 1 (cioè non esistono due parole aventi due 1 negli stessi posti. Pertanto due parole possono al più avere un 1 nello stesso posto. Ne consegue che la somma di due parole è una parola con quattro oppure sei 1. In ogni caso la somma di due parole del codice non è più nel codice, cioè C non è lineare, e la minima distanza tra due parole è 4. Allora la relazione δ 2e + 1 ci dice che e 2, quindi C corregge un errore. La risposta da segnare è la Siano I l ideale di Z 2 [x] generato da x 6 + 1, J l ideale dell anello quoziente Z 2 [x]/i generato dalla classe laterale (x I e C il codice di lunghezza 6 definito da J. Segnare l affermazione corretta: 1. xyxyzw è una parola di C se, e solamente se, z = w = 1; 2. C ha cardinalità 16;. non esistono in C parole di peso pari; 4. se la parola ricevuta è allora la parola inviata è Soluzione: Poiché x = (x 2 + 1(x 4 + x2 + 1, la matrice di controllo del dato codice è [ ] Imponendo che la parola xyxyzw appartenga a C si ottiene 2x + z = 0 e 2y + w = 0 cioè z = 0 e w = 0 (siamo in caratteristica 2. C è un sottospazio dello spazio di dimensione 6 su Z 2. Poiché il rango della matrice di controllo che definisce C è 2, si ha che dim C = 4 = C = 2 4 = 16. C è il sottospazio delle parole x 1 x 2 x x 4 x 5 x 6 tali che x 1 + x + x 5 = x 2 + x 4 + x 6 = 0. Tali equazioni sono soddisfatte se, e solo se, ciascuna delle terne x 1, x, x 5 e x 2, x 4, x 6 contiene un numero pari di 1, cioè tutte le parole di C sono di peso pari. Si noti inoltre che C mentre C, per cui quest ultima non può essere stata inviata. La risposta da segnare è la Si devono preparare delle vernici utilizzando 4 colori. Per ottenere una vernice si procede così: vi sono 6 misurini di eguale capacità e ognuno viene riempito con uno dei colori; il tutto viene poi mescolato. Quante vernici di colore diverso si possono fare in questo modo? 1. S(6, 4; 2. ( 9 6 ;. ( 94 ; 4. 4! S(6, 4. Soluzione: Si tratta di combinazioni di n = 4 oggetti (i colori con ripetizioni, di lunghezza r = 6. Di queste combinazioni ce ne sono ( ( n+r 1 r = Si deve dipingere una palizzata di 10 pali disposti in fila utilizzando alcuni colori fra gli 8 a disposizione (fra cui c è il rosso. In quanti modi si può colorare la palizzata se si pretende che esattamente pali siano colorati in rosso? 1. 10! 8 7 ; 2. 10! 7 7 ;. 10! 7 7! 7! ; 4. 10! 8 7! 7! ;

5 Soluzione: Anzitutto bisogna decidere quali pali si vuole colorare di rosso: ci sono ( 10 modi per fare ciò. Ne rimangono 7 da dipingere con 7 colori. Vi sono 7 7 modi per completare l opera; quindi il numero totale è ( La risposta da segnare è la.

SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n

SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n SPAZI E SOTTOSPAZI 1 SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n Spazi di matrici. Spazi di polinomi. Generatori, dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione. Intersezione e somma di sottospazi,

Dettagli

MATEMATICA DEL DISCRETO (Informatica) Docenti BONZINI e TURRINI esercizi di preparazione alla prova di metà corso

MATEMATICA DEL DISCRETO (Informatica) Docenti BONZINI e TURRINI esercizi di preparazione alla prova di metà corso MATEMATICA DEL DISCRETO (Informatica) Docenti BONZINI e TURRINI esercizi di preparazione alla prova di metà corso NOTA - Negli esercizi che seguono verranno adottate le seguenti notazioni: il simbolo Z

Dettagli

Kangourou della Matematica 2009 finale nazionale italiana Mirabilandia, 11 maggio 2009

Kangourou della Matematica 2009 finale nazionale italiana Mirabilandia, 11 maggio 2009 Kangourou della Matematica 2009 finale nazionale italiana Mirabilandia, 11 maggio 2009 LIVELLO JUNIOR J1. (5 punti ) Un asta lunga 10 metri va spezzata in modo che sia possibile riporre (eventualmente

Dettagli

In molte applicazioni sorge il problema di sapere in quanti modi possibili si può presentare un certo fenomeno.

In molte applicazioni sorge il problema di sapere in quanti modi possibili si può presentare un certo fenomeno. Definizione Oggetto del calcolo combinatorio è quello di determinare il numero dei modi mediante i quali possono essere associati, secondo prefissate regole, gli elementi di uno stesso insieme o di più

Dettagli

Applicazioni lineari e diagonalizzazione. Esercizi svolti

Applicazioni lineari e diagonalizzazione. Esercizi svolti . Applicazioni lineari Esercizi svolti. Si consideri l applicazione f : K -> K definita da f(x,y) = x + y e si stabilisca se è lineare. Non è lineare. Possibile verifica: f(,) = 4; f(,4) = 6; quindi f(,4)

Dettagli

SISTEMI LINEARI. x 2y 2z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga sulla matrice del primo sistema: 1 1 1 3 1 2 R 2 R 2 3R 0 4 5.

SISTEMI LINEARI. x 2y 2z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga sulla matrice del primo sistema: 1 1 1 3 1 2 R 2 R 2 3R 0 4 5. SISTEMI LINEARI Esercizi Esercizio. Risolvere, se possibile, i seguenti sistemi: x y z = 0 x + y + z = 3x + y + z = 0 x y = 4x + z = 0, x y z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga

Dettagli

Quesito 1 Si calcoli. 3 2 2 4 3 3 = 3 2 4 3 = 2 ln3 = 8 81 2,3. 1 = 2 3 2 3 = 2 3 1+1 2 1 = = =ln81. Soluzione 1

Quesito 1 Si calcoli. 3 2 2 4 3 3 = 3 2 4 3 = 2 ln3 = 8 81 2,3. 1 = 2 3 2 3 = 2 3 1+1 2 1 = = =ln81. Soluzione 1 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessione Ordinaria 0 PIANO NAZIONALE INFORMATICA Questionario Quesito Si calcoli 3 3 è 0 0 Applicando De L Hospital si ha: -,3 3 3 4 3 3 = infatti: 0 = 3 4 3 3 = 3 4

Dettagli

Matematica Discreta e Algebra Lineare (per Informatica)

Matematica Discreta e Algebra Lineare (per Informatica) Matematica Discreta e Algebra Lineare (per Informatica) Docente: Alessandro Berarducci Anno accademico 2016-2017, versione 14 Marzo 2017 Tipiche domande d esame La seguente lista di domande non intende

Dettagli

0 Insiemi, funzioni, numeri

0 Insiemi, funzioni, numeri Giulio Cesare Barozzi, Giovanni Dore, Enrico Obrecht Elementi di analisi matematica - Volume 1 Zanichelli 0 Insiemi, funzioni, numeri Esercizi 0.1. Il linguaggio degli insiemi 0.1.1. Esercizio Poniamo

Dettagli

Appunti di matematica per le Scienze Sociali Parte 1

Appunti di matematica per le Scienze Sociali Parte 1 Appunti di matematica per le Scienze Sociali Parte 1 1 Equazioni 1.1 Definizioni preliminari 1.1.1 Monomi Si definisce monomio ogni prodotto indicato di fattori qualsiasi, cioè uguali o diseguali, numerici

Dettagli

SISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1

SISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1 MATRICI E SISTEMI SISTEMI LINEARI Sistemi lineari e forma matriciale (definizioni e risoluzione). Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari parametrici. Esercizio Risolvere il sistema omogeneo la cui

Dettagli

Kangourou Italia Gara del 28 marzo 2008 Categoria Student Per studenti di quarta o quinta della secondaria di secondo grado

Kangourou Italia Gara del 28 marzo 2008 Categoria Student Per studenti di quarta o quinta della secondaria di secondo grado Testi_08.qxp 9-0-008 :6 Pagina 8 Kangourou Italia Gara del 8 marzo 008 ategoria Per studenti di quarta o quinta della secondaria di secondo grado I quesiti dal N. al N. 0 valgono punti ciascuno. Nelle

Dettagli

0.1 Esercizi calcolo combinatorio

0.1 Esercizi calcolo combinatorio 0.1 Esercizi calcolo combinatorio Esercizio 1. Sia T l insieme dei primi 100 numeri naturali. Calcolare: 1. Il numero di sottoinsiemi A di T che contengono esattamente 8 pari.. Il numero di coppie (A,

Dettagli

Calcolo delle Probabilità Soluzioni 2. Calcolo combinatorio

Calcolo delle Probabilità Soluzioni 2. Calcolo combinatorio ISTITUZIONI DI STATISTICA A. A. 2007/2008 Marco Minozzo e Annamaria Guolo Laurea in Economia del Commercio Internazionale Laurea in Economia e Amministrazione delle Imprese Università degli Studi di Verona

Dettagli

Programma del Corso di Matematica Discreta (Elementi) lettere P-Z anno accademico 2004/2005

Programma del Corso di Matematica Discreta (Elementi) lettere P-Z anno accademico 2004/2005 Programma del Corso di Matematica Discreta (Elementi) lettere P-Z anno accademico 2004/2005 27 gennaio 2005 1. Logica 2. Insiemi e Funzioni 3. Numeri naturali 4. Numeri interi 5. Relazioni 6. Classi di

Dettagli

CONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione

CONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione CONICHE Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oy sia data la conica C di equazione 7 2 + 2 3y + 5y 2 + 32 3 = 0. Calcolare le equazioni di una rototraslazione che riduce

Dettagli

SPAZI VETTORIALI. Esercizi Esercizio 1. Sia V := R 3. Stabilire quale dei seguenti sottoinsiemi di V sono suoi sottospazi:

SPAZI VETTORIALI. Esercizi Esercizio 1. Sia V := R 3. Stabilire quale dei seguenti sottoinsiemi di V sono suoi sottospazi: SPAZI VETTORIALI Esercizi Esercizio. Sia V := R 3. Stabilire quale dei seguenti sottoinsiemi di V sono suoi sottospazi: V := { (a, a, a) V a R }, V 2 := { (a, b, a) V a, b R }, V 3 := { (a, 2a, a + b)

Dettagli

COMPLETAMENTO DI SPAZI METRICI

COMPLETAMENTO DI SPAZI METRICI COMPLETAMENTO DI SPAZI METRICI 1. Successioni di Cauchy e spazi metrici completi Definizione 1.1. Una successione x n n N a valori in uno spazio metrico X, d si dice di Cauchy se, per ogni ε > 0 esiste

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI Esercizi Esercizio Date le seguenti applicazioni lineari f : R 2 R 3 definita da fx y = x 2y x + y x + y; 2 g : R 3 R 2 definita da gx y z = x + y x y; 3 h : Rx] 2 R 2 definita da

Dettagli

Esercizi svolti. delle matrici

Esercizi svolti. delle matrici Esercizi svolti. astratti. Si dica se l insieme delle coppie reali (x, y) soddisfacenti alla relazione x + y è un sottospazio vettoriale di R La risposta è sì, perchè l unica coppia reale che soddisfa

Dettagli

4 0 = 4 2 = 4 4 = 4 6 = 0.

4 0 = 4 2 = 4 4 = 4 6 = 0. Elementi di Algebra e Logica 2008. Esercizi 4. Gruppi, anelli e campi. 1. Determinare la tabella additiva e la tabella moltiplicativa di Z 6. (a) Verificare dalla tabella moltiplicativa di Z 6 che esistono

Dettagli

Programma di Algebra 1

Programma di Algebra 1 Programma di Algebra 1 A. A. 2015/2016 Docenti: Alberto Canonaco e Gian Pietro Pirola Richiami su relazioni di equivalenza: definizione, classe di equivalenza di un elemento, insieme quoziente e proiezione

Dettagli

Sistemi di equazioni lineari

Sistemi di equazioni lineari Sistemi di equazioni lineari A. Bertapelle 25 ottobre 212 Cos è un sistema lineare? Definizione Un sistema di m equazioni lineari (o brevemente sistema lineare) nelle n incognite x 1,..., x n, a coefficienti

Dettagli

ELEMENTI di TEORIA degli INSIEMI

ELEMENTI di TEORIA degli INSIEMI ELEMENTI di TEORI degli INSIEMI & 1. Nozioni fondamentali. ssumeremo come primitivi il concetto di insieme e di elementi di un insieme. Nel seguito gli insiemi saranno indicati con lettere maiuscole (,,C,...)

Dettagli

Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio

Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio Andrea Scozzari a.a. 2014-2015 April 22, 2015 Andrea Scozzari (a.a. 2014-2015) Programmazione Lineare Intera: Piani di Taglio April 22, 2015 1 / 23 Programmazione

Dettagli

NOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n

NOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2- MM 9 NOVEMBRE 2 Combinazioni lineari e generatori Sia K un campo e V uno spazio vettoriale su K Siano v,, v n vettori in V Definizione Un vettore v V si dice combinazione lineare

Dettagli

Kangourou Italia Gara del 17 marzo 2005 Categoria Student Per studenti di quarta o quinta superiore. I quesiti dal N. 1 al N. 10 valgono 3 punti

Kangourou Italia Gara del 17 marzo 2005 Categoria Student Per studenti di quarta o quinta superiore. I quesiti dal N. 1 al N. 10 valgono 3 punti _05_D.qp 21/02/2005 16.15 Pagina 28 Kangourou Italia Gara del 17 marzo 2005 Categoria Per studenti di quarta o quinta superiore I quesiti dal N. 1 al N. 10 valgono 3 punti 1. Per quale dei seguenti valori

Dettagli

Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori

Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori Claudia Fassino a.a. Queste dispense, relative a una parte del corso di Matematica Computazionale (Laurea in Informatica), rappresentano solo un aiuto per lo

Dettagli

Studio di funzione. Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2

Studio di funzione. Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2 Studio di funzione Copyright c 2009 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2 Studio di funzione

Dettagli

Catene di Markov. 8 ottobre 2009

Catene di Markov. 8 ottobre 2009 Catene di Markov 8 ottobre 2009 Definizione 1. Si dice catena di Markov (finita) un sistema dotato di un numero finito n di stati {1, 2,..., n} che soddisfi la seguente ipotesi: la probabilità che il sistema

Dettagli

Università degli studi di Verona Corso di laurea in Informatica Prova scritta di Algebra 3 settembre 2002

Università degli studi di Verona Corso di laurea in Informatica Prova scritta di Algebra 3 settembre 2002 Prova scritta di Algebra settembre 2002 1) Si consideri il sottoinsieme del gruppo Q \{0} dei numeri razionali non nulli rispetto alla moltiplicazione: { m X = n } m 0, n Si dimostri che X è un sottosemigruppo;

Dettagli

LEZIONE 12. v = α 1 v α n v n =

LEZIONE 12. v = α 1 v α n v n = LEZIONE 12 12.1. Combinazioni lineari. Definizione 12.1.1. Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e v 1,..., v n V vettori fissati. Un vettore v V si dice combinazione lineare di v 1,..., v n se esistono

Dettagli

REGISTRO DELLE LEZIONI

REGISTRO DELLE LEZIONI UNIVERSITA DEGLI STUDI DI GENOVA FACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI REGISTRO DELLE LEZIONI del Corso UFFICIALE di GEOMETRIA B tenute dal prof. Domenico AREZZO nell anno accademico 2006/2007

Dettagli

M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI

M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI Assumiamo come primitivo il concetto di insieme e quello di appartenenza di un elemento a un insieme. La notazione x A indica

Dettagli

ALGEBRA E GEOMETRIA Esercizi Corso di Laurea in Chimica - anno acc. 2015/2016 docente: Elena Polastri,

ALGEBRA E GEOMETRIA Esercizi Corso di Laurea in Chimica - anno acc. 2015/2016 docente: Elena Polastri, ALGEBRA E GEOMETRIA Esercizi Corso di Laurea in Chimica - anno acc. 05/06 docente: Elena Polastri, plslne@unife.it Esercizi 3: SPAZI VETTORIALI e MATRICI Combinazioni lineari di vettori.. Scrivere il vettore

Dettagli

Equazioni Polinomiali II Parabola

Equazioni Polinomiali II Parabola Equazioni Polinomiali II Parabola - 0 Equazioni Polinomiali del secondo grado (Polinomi II) Forma Canonica e considerazioni La forma canonica dell equazione polinomiale di grado secondo è la seguente:

Dettagli

ALGEBRA 1 Secondo esonero 15 Giugno 2011 soluzioni

ALGEBRA 1 Secondo esonero 15 Giugno 2011 soluzioni ALGEBRA 1 Secondo esonero 15 Giugno 2011 soluzioni (1) Verificare che l anello quoziente Z 5 [x]/(x 3 2) possiede divisori dello zero, e determinare tutti i suoi ideali non banali. Soluzione: Il polinomio

Dettagli

Soluzioni 28 a Gara Città di Padova (6 Aprile 2013)

Soluzioni 28 a Gara Città di Padova (6 Aprile 2013) Soluzioni 28 a Gara Città di Padova (6 Aprile 2013) 1.- Sia K il valore comune delle somme degli elementi della prima riga, di quelli della seconda e di quelli della colonna. Sia X il numero messo nella

Dettagli

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d SPAZI VETTORIALI 1. Esercizi Esercizio 1. Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi: V 1 = {(x, y, z) R 3 /x = y = z} V = {(x, y, z) R 3 /x = 4} V 3 = {(x, y, z) R 3 /z = x } V 4 = {(x,

Dettagli

Linguaggi e Grammatiche Liberi da Contesto

Linguaggi e Grammatiche Liberi da Contesto N.Fanizzi-V.Carofiglio Dipartimento di Informatica Università degli Studi di Bari 22 aprile 2016 1 Linguaggi Liberi da Contesto 2 Grammatiche e Linguaggi Liberi da Contesto G = (X, V, S, P) è una grammatica

Dettagli

Corso di Laurea in Matematica - A.A. 2003/2004 Geometria Analitica I Esonero - 21 novembre 2003 (Proff. Marco Manetti e Riccardo Salvati Manni)

Corso di Laurea in Matematica - A.A. 2003/2004 Geometria Analitica I Esonero - 21 novembre 2003 (Proff. Marco Manetti e Riccardo Salvati Manni) I Esonero - 21 novembre 2003 Esercizio 1. Per ogni n>0 sia B n M n (R) la matrice simmetrica di coefficienti b ij = i + j 2, i,j =1,...,n. Determinare rango e segnatura di B 1,B 2 e B 3. Soluzione. Si

Dettagli

Laboratorio di Giochi Matematici

Laboratorio di Giochi Matematici UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO DIPARTIMENTO DI MATEMATICA ʺF. ENRIQUESʺ Progetto Lauree Scientifiche Laboratorio di Giochi Matematici (responsabile Prof. Stefania De Stefano) Incontro presso il Liceo

Dettagli

Matematica e scacchi. Patrizia Previtali. Livello d'età:

Matematica e scacchi. Patrizia Previtali. Livello d'età: Matematica e scacchi Patrizia Previtali Livello d'età: Classi seconda e terza superiore Competenze in esercizio e nuclei tematici: utilizzare strumenti di rappresentazione per la modellizzazione e la risoluzione

Dettagli

C.L. Informatica, M-Z Bari, 12 Gennaio 2016 Traccia: 1

C.L. Informatica, M-Z Bari, 12 Gennaio 2016 Traccia: 1 Bari, 2 Gennaio 206 Traccia: Esercizio. Scrivere la definizione di funzione suriettiva. Dimostrare che la composizione di due funzioni suriettive è una funzione suriettiva. Esercizio 2. () Stabilire se

Dettagli

Disequazioni in una incognita. La rappresentazione delle soluzioni

Disequazioni in una incognita. La rappresentazione delle soluzioni Disequazioni in una incognita Una disequazione in una incognita è una disuguaglianza tra due espressioni contenenti una variabile (detta incognita) verificata solo per particolari valori attribuirti alla

Dettagli

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che.

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che. Esercitazioni di Analisi Matematica Prof.ssa Chiara Broggi Materiale disponibile su www.istitutodefilippi.it/claro Lezione 2: Funzioni reali e loro proprietà Definizione: Siano e due sottoinsiemi non vuoti

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO 2016 - QUESTIONARIO QUESITO 1

LICEO SCIENTIFICO 2016 - QUESTIONARIO QUESITO 1 www.matefilia.it LICEO SCIENTIFICO 2016 - QUESTIONARIO QUESITO 1 È noto che e x2 dx = π. Stabilire se il nmero reale, tale che e x2 dx = 1, è positivo o negativo. Determinare inoltre i valori dei segenti

Dettagli

Soluzione esercizi Gara Matematica 2009

Soluzione esercizi Gara Matematica 2009 Soluzione esercizi Gara Matematica 009 ( a cura di Stefano Amato, Emanuele Leoncini e Alessandro Martinelli) Esercizio 1 In una scacchiera di 100 100 quadretti, Carlo colora un quadretto di rosso, poi

Dettagli

ESAME DI MATEMATICA I parte Vicenza, 05/06/2017. x log 2 x?

ESAME DI MATEMATICA I parte Vicenza, 05/06/2017. x log 2 x? A. Peretti Svolgimento dei temi d esame di Matematica A.A. 6/7 ESAME DI MATEMATICA I parte Vicenza, 5/6/7 log? Domanda. Per quali valori di è definita l espressione L espressione è definita se l argomento

Dettagli

Parte V: Rilassamento Lagrangiano

Parte V: Rilassamento Lagrangiano Parte V: Rilassamento Lagrangiano Tecnica Lagrangiana Consideriamo il seguente problema di Programmazione Lineare Intera: P 1 min c T x L I Ax > b Cx > d x > 0, intera in cui A = matrice m x n C = matrice

Dettagli

Luca Costabile Esercizi di Logica Matematica Dispensa Calcolo Proposizionale 1

Luca Costabile Esercizi di Logica Matematica Dispensa Calcolo Proposizionale 1 Luca Costabile Esercizi di Logica Matematica Dispensa Calcolo Proposizionale 1 Esercizio 1.12 Per dimostrare che per ogni funzione esiste una formula in cui compaiono le variabili tale che la corrispondente

Dettagli

UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA

UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA Corso di PS-Probabilità P.Baldi Tutorato 9, 19 maggio 11 Corso di Laurea in Matematica Esercizio 1 a) Volendo modellizzare l evoluzione della disoccupazione in un certo ambito

Dettagli

Per le risposte utilizza gli spazi predisposti. Quando richiesto, il procedimento va esposto brevemente, ma in maniera comprensibile.

Per le risposte utilizza gli spazi predisposti. Quando richiesto, il procedimento va esposto brevemente, ma in maniera comprensibile. COGNOME............................... NOME..................................... Punti ottenuti Esame di geometria Scrivi cognome e nome negli spazi predisposti in ciascuno dei tre fogli. Per ogni domanda

Dettagli

Chiusura lineare. N.B. A può essere indifferentemente un insieme, finito o no, o un sistema. Es.1. Es.2

Chiusura lineare. N.B. A può essere indifferentemente un insieme, finito o no, o un sistema. Es.1. Es.2 Chiusura lineare Def. Sia A V (K) con A. Si dice copertura lineare (o chiusura lineare) di A, e si indica con L(A), l insieme dei vettori di V che risultano combinazioni lineari di un numero finito di

Dettagli

Prontuario degli argomenti di Algebra

Prontuario degli argomenti di Algebra Prontuario degli argomenti di Algebra NUMERI RELATIVI Un numero relativo è un numero preceduto da un segno + o - indicante la posizione rispetto ad un punto di riferimento a cui si associa il valore 0.

Dettagli

Precorso di Matematica. Parte I : Fondamenti di Matematica

Precorso di Matematica. Parte I : Fondamenti di Matematica Facoltà di Ingegneria Precorso di Matematica Parte I : Fondamenti di Matematica 1. Teoria degli insiemi e cenni di logica Il concetto di insieme costituisce l elemento fondante di gran parte delle esposizioni

Dettagli

Appunti del Corso Analisi 1

Appunti del Corso Analisi 1 Appunti del Corso Analisi 1 Anno Accademico 2011-2012 Roberto Monti Versione del 5 Ottobre 2011 1 Contents Chapter 1. Cardinalità 5 1. Insiemi e funzioni. Introduzione informale 5 2. Cardinalità 7 3.

Dettagli

Intersezione e somma di sottospazi vettoriali

Intersezione e somma di sottospazi vettoriali Capitolo 6 Intersezione e somma di sottospazi vettoriali 6.1 Introduzione Ricordiamo le definizioni di intersezione e somma di due sottospazi vettoriali. Anche in questo caso rimandiamo al testo di geometria

Dettagli

Note per il corso di Geometria e algebra lineare 2009-10 Corso di laurea in Ing. Elettronica e delle Telecomunicazioni

Note per il corso di Geometria e algebra lineare 2009-10 Corso di laurea in Ing. Elettronica e delle Telecomunicazioni Note per il corso di Geometria e algebra lineare 009-0 Corso di laurea in Ing. Elettronica e delle Telecomunicazioni Spazi di n-uple e matrici. I prodotti cartesiani RR R e RRR R 3, costituiti dalle coppie

Dettagli

Kangourou Italia Gara del 17 marzo 2016 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della scuola secondaria di secondo grado

Kangourou Italia Gara del 17 marzo 2016 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della scuola secondaria di secondo grado Kangourou Italia Gara del 17 marzo 2016 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della scuola secondaria di secondo grado I quesiti dal N. 1 al N. 10 valgono 3 punti ciascuno 1. La somma degli

Dettagli

SUI SISTEMI DI DISEQUAZIONI IN DUE INCOGNITE

SUI SISTEMI DI DISEQUAZIONI IN DUE INCOGNITE SUI SISTEMI DI DISEQUAZIONI IN DUE INCOGNITE.Sistema di disequazioni in due incognite di primo grado Una disequazione di primo grado in due incognite: a b c nel piano cartesiano, rappresenta uno dei due

Dettagli

Gara Matematica. Dipartimento di Matematica Ulisse Dini. Viale Morgagni 67/a Firenze. Soluzioni edizione 2011

Gara Matematica. Dipartimento di Matematica Ulisse Dini. Viale Morgagni 67/a Firenze. Soluzioni edizione 2011 Gara Matematica Dipartimento di Matematica Ulisse Dini Viale Morgagni 67/a - 50134 Firenze Soluzioni edizione 011 Esercizio 1. Determinare tutti gli interi positivi non nulli n che sono uguali alla somma

Dettagli

METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA. Lezione n 4 2016

METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA. Lezione n 4 2016 METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA Lezione n 4 2016 GLI INSIEMI NUMERICI N Numeri naturali Z : Numeri interi Q : Numeri razionali R : Numeri reali Q A meno di isomorfismi!!! R 5 π

Dettagli

QUESITO 1. Quante sono tutte le funzioni iniettive da un insieme A di n elementi in un insieme B di m elementi?

QUESITO 1. Quante sono tutte le funzioni iniettive da un insieme A di n elementi in un insieme B di m elementi? www.matefilia.it Quesiti QUESITO Quante sono tutte le funzioni iniettive da un insieme A di n elementi in un insieme B di m elementi? Ad ogni elemento di A deve corrispondere uno ed un solo elemento di

Dettagli

Funzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y

Funzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y Funzioni. Dati due insiemi A e B (non necessariamente distinti) si chiama funzione da A a B una qualunque corrispondenza (formula, regola) che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.

Dettagli

Concetti fondamentali

Concetti fondamentali Concetti fondamentali elemento insieme sequenza tutto si riconduce a questi insieme: esempi {,3,5,7,9} insieme dei numeri dispari positivi minori di dieci {Antonio, Beatrice, Carlo, Daria} insieme dei

Dettagli

LEZIONE 2. ( ) a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, ove a j, b R sono fissati.

LEZIONE 2. ( ) a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, ove a j, b R sono fissati. LEZIONE 2 2 Sistemi di equazioni lineari Definizione 2 Un equazione lineare nelle n incognite x, x 2,, x n a coefficienti reali, è un equazione della forma (2 a x + a 2 x 2 + + a n x n = b, ove a j, b

Dettagli

4 Autovettori e autovalori

4 Autovettori e autovalori 4 Autovettori e autovalori 41 Cambiamenti di base Sia V uno spazio vettoriale tale che dim V n Si è visto in sezione 12 che uno spazio vettoriale ammette basi distinte, ma tutte con la medesima cardinalità

Dettagli

ALGORITMI DI OTTIMIZZAZIONE M Esercizi Parte I

ALGORITMI DI OTTIMIZZAZIONE M Esercizi Parte I ALGORITMI DI OTTIMIZZAZIONE M Esercizi Parte I Esercizio 1 Dati n oggetti ed un contenitore, ad ogni oggetto j (j = 1,, n) sono associati un peso p j ed un costo c j (con p j e c j interi positivi). Si

Dettagli

ESERCIZI PROPOSTI. Capitolo 5 MCD(15,5) = 15 5 =3. un unico sottogruppo di ordine d, cioè x 20/d = C d. , x 20/10 = x 2 = C 10. , x 20/4 = x 5 = C 4

ESERCIZI PROPOSTI. Capitolo 5 MCD(15,5) = 15 5 =3. un unico sottogruppo di ordine d, cioè x 20/d = C d. , x 20/10 = x 2 = C 10. , x 20/4 = x 5 = C 4 ESERCIZI PROPOSTI Capitolo 5 511 Determinare il periodo dell elemento x 320 del gruppo ciclico C 15 = x x 15 =1 Indicare tutti i generatori del sottogruppo x 320 Soluzione Dividiamo 320 per 15 Si ha 320

Dettagli

Università degli Studi Di Salerno FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE E FISICHE NATURALI. Corso di Analisi Matematica A.A. 2009 / 2010.

Università degli Studi Di Salerno FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE E FISICHE NATURALI. Corso di Analisi Matematica A.A. 2009 / 2010. Università degli Studi Di Salerno FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE E FISICHE NATURALI Corso di Analisi Matematica A.A. 009 / 00 Le Funzioni Fabio Memoli indice Il Concetto di Funzione Funzioni Reali Di Variabile

Dettagli

FATTORIZZAZIONE DI UN POLINOMIO

FATTORIZZAZIONE DI UN POLINOMIO FATTORIZZAZIONE DI UN POLINOMIO Così come avviene con i numeri ( 0 = 5), la fattorizzazione di un polinomio è la scomposizione di un polinomio in un prodotto di due o più polinomi. Esempio: = + + Un polinomio

Dettagli

Definizione 1. Una matrice n m a coefficienti in K é una tabella del tipo. ... K m, detto vettore riga i-esimo, ed a im

Definizione 1. Una matrice n m a coefficienti in K é una tabella del tipo. ... K m, detto vettore riga i-esimo, ed a im APPUNTI ed ESERCIZI su matrici, rango e metodo di eliminazione di Gauss Corso di Laurea in Chimica, Facoltà di Scienze MM.FF.NN., UNICAL (Dott.ssa Galati C.) Rende, 23 Aprile 2010 Matrici, rango e metodo

Dettagli

CAPITOLO V. DATABASE: Il modello relazionale

CAPITOLO V. DATABASE: Il modello relazionale CAPITOLO V DATABASE: Il modello relazionale Il modello relazionale offre una rappresentazione matematica dei dati basata sul concetto di relazione normalizzata. I principi del modello relazionale furono

Dettagli

ARROTONDANDO FIGURE CON TRIANGOLI EQUILATERI

ARROTONDANDO FIGURE CON TRIANGOLI EQUILATERI ARROTONDANDO Cosa succede ad accostare figure identiche una all altra? Le figure ottenute che proprietà presentano? Posso trovare un qualche tipo di legge generale? Per rispondere a questa ed altre domande

Dettagli

Risoluzione di problemi ingegneristici con Excel

Risoluzione di problemi ingegneristici con Excel Risoluzione di problemi ingegneristici con Excel Problemi Ingegneristici Calcolare per via numerica le radici di un equazione Trovare l equazione che lega un set di dati ottenuti empiricamente (fitting

Dettagli

IGiochidiArchimede-SoluzioniBiennio 23 novembre 2005

IGiochidiArchimede-SoluzioniBiennio 23 novembre 2005 PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATIA U.M.I. UNIONE MATEMATIA ITALIANA SUOLA NORMALE SUPERIORE IGiochidiArchimede-SoluzioniBiennio 3 novembre 00 1 Griglia delle risposte corrette Risoluzione dei problemi Problema

Dettagli

Esercizi di Matematica per la prova di ammissione alla Scuola Galileiana /16

Esercizi di Matematica per la prova di ammissione alla Scuola Galileiana /16 Esercizi di Matematica per la prova di ammissione alla Scuola Galileiana - 015/16 Esercizio 1 Per quali valori n Z \ {0} l espressione è un numero intero positivo? (n + 5)(n + 6) 6n Soluzione. Il problema

Dettagli

Sottospazi vettoriali. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni.

Sottospazi vettoriali. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni. Politecnico di Torino. Sottospazi vettoriali. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni. Argomenti: Sottospazi. Generatori. Confrontando sottospazi: intersezione.

Dettagli

Appunti del corso di Informatica 1 (IN110 Fondamenti) 7 Grafi e alberi: introduzione

Appunti del corso di Informatica 1 (IN110 Fondamenti) 7 Grafi e alberi: introduzione Università di Roma Tre Dipartimento di Matematica e Fisica Corso di Laurea in Matematica Appunti del corso di Informatica (IN0 Fondamenti) Grafi e alberi: introduzione Marco Liverani (liverani@mat.uniroma.it)

Dettagli

Introduzione ai grafi. Introduzione ai grafi p. 1/2

Introduzione ai grafi. Introduzione ai grafi p. 1/2 Introduzione ai grafi Introduzione ai grafi p. 1/2 Grafi Un grafo G é costituito da una coppia di insiemi (V,A) dove V é detto insieme dei nodi e A é detto insieme di archi ed é un sottinsieme di tutte

Dettagli

Applicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5

Applicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5 pplicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5 PPLIZIONI LINERI 01. Dire quali delle seguenti applicazioni tra IR-spazi vettoriali sono lineari a. f :IR 2 IR 3 f(x y =(x y πy b. f :IR 3 IR 3 f(x

Dettagli

Appunti sui Codici di Reed Muller. Giovanni Barbarino

Appunti sui Codici di Reed Muller. Giovanni Barbarino Appunti sui Codici di Reed Muller Giovanni Barbarino Capitolo 1 Codici di Reed-Muller I codici di Reed-Muller sono codici lineari su F q legati alle valutazioni dei polinomi sullo spazio affine. Per semplicità

Dettagli

Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mag-10 61

Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mag-10 61 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mag-10 61 (15.9) Teorema. Consideriamo il piano affine. Se A A 2 (K) è un punto e r una retta che non passa per A, allora esiste unica la retta per A che non interseca

Dettagli

Quando possiamo dire che un numero a è sottomultiplo del numero b? Al posto dei puntini inserisci è divisibile per oppure è divisore di

Quando possiamo dire che un numero a è sottomultiplo del numero b? Al posto dei puntini inserisci è divisibile per oppure è divisore di ESERCIZI Quando possiamo dire che un numero a è divisibile per un numero b? Quando possiamo dire che un numero a è sottomultiplo del numero b? Quando un numero si dice primo? Al posto dei puntini inserisci

Dettagli

COMBINATORIA E PROBABILITA

COMBINATORIA E PROBABILITA Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO COMBINATORIA E PROBABILITA CALCOLO COMBINATORIO Il Calcolo Combinatorio è lo studio dei

Dettagli

dipendenti. Cosa possiamo dire sulla dimensione di V?

dipendenti. Cosa possiamo dire sulla dimensione di V? Esercizi Esercizi. In uno spazio vettoriale V ci sono tre vettori v, v 2, v linearmente indipendenti. Cosa possiamo dire sulla dimensione di V? 2. In uno spazio vettoriale V ci sono tre vettori v, v 2,

Dettagli

ESERCIZI VARI su SPAZI VETTORIALI. Si giustifichi la risposta ad ogni esercizio ( o parte di esercizio ) posto in forma di domanda.

ESERCIZI VARI su SPAZI VETTORIALI. Si giustifichi la risposta ad ogni esercizio ( o parte di esercizio ) posto in forma di domanda. ESERCIZI VARI su SPAZI VETTORIALI Si giustifichi la risposta ad ogni esercizio ( o parte di esercizio ) posto in forma di domanda. Esercizio. Dimostrare che i vettori in R sono linearmente indipendenti

Dettagli

FUNZIONI E LORO PROPRIETÀ. V CLASSICO a. s. 2015-2016 prof. ssadelfino M. G.

FUNZIONI E LORO PROPRIETÀ. V CLASSICO a. s. 2015-2016 prof. ssadelfino M. G. FUNZIONI E LORO PROPRIETÀ 1 V CLASSICO a. s. 2015-2016 prof. ssadelfino M. G. A1 DEFINIZIONE DI FUNZIONE 2 Diapositiva 2 A1 Autore; 08/09/2015 DEFINIZIONE DI FUNZIONE X Y E una funzione! g a b c d e f.1.2.3.4

Dettagli

ESERCIZI SULLE MATRICI

ESERCIZI SULLE MATRICI ESERCIZI SULLE MATRICI Consideriamo il sistema lineare a, x + a, x + + a,n x n = b a, x + a, x + + a,n x n = b a m, x + a m, x + + a m,n x n = b m di m equazioni in n incognite che ha a, a,n A = a m, a

Dettagli

Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite

Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite 3 Sistemi lineari 3 Generalità Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite ovvero, in forma matriciale, a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x

Dettagli

Logica figurale. 1 Quanti quadrati contengono la stella? A. 1 B. 2 C. 5 D. 6 E. 9. 2 Quanti triangoli sono rappresentati nella figura?

Logica figurale. 1 Quanti quadrati contengono la stella? A. 1 B. 2 C. 5 D. 6 E. 9. 2 Quanti triangoli sono rappresentati nella figura? Logica figurale 1 Quanti quadrati contengono la stella? A. 1 B. 2 C. 5 D. 6 E. 9 2 Quanti triangoli sono rappresentati nella figura? A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 E. 12 3 Quanti sono i quadrati presenti nella seguente

Dettagli

MATEMATICA PROPEDEUTICA PER LO STUDIO DELLE FUNZIONI GSCATULLO

MATEMATICA PROPEDEUTICA PER LO STUDIO DELLE FUNZIONI GSCATULLO MATEMATICA PROPEDEUTICA PER LO STUDIO DELLE FUNZIONI GSCATULLO 1 Propedeutica alle Funzioni Premessa Questo documento vuole essere una preparazione per lo studio delle funzioni, comprendendo tutte quelle

Dettagli

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Avvertenze In quanto segue tutti i vettori hanno il medesimo punto d origine O l origine dello spazio cartesiano. Possiamo

Dettagli

Esame di geometria e algebra

Esame di geometria e algebra Laurea Ing. 26 febbraio 2007 Traccia I COG 1 In R 3 sono assegnati i vettori: u 1 = (2, h, 0), u 2 = (1, 0, h), u 3 = (h, 1, 2). Stabilire se esistono valori reali del parametro h per cui S = {u 1, u 2,

Dettagli

Informatica Grafica. Un introduzione

Informatica Grafica. Un introduzione Informatica Grafica Un introduzione Rappresentare la Geometria Operabile da metodi di calcolo automatici Grafica Vettoriale Partiamo dalla rappresentazione di un punto... Spazi Vettoriale SPAZI VETTORIALI

Dettagli

quadrilatero generico parallelogramma rombo rettangolo quadrato

quadrilatero generico parallelogramma rombo rettangolo quadrato Pavimentare 1. Quali forme di quadrilateri puoi costruire? Schizza tutte le forme possibili e scrivi il loro nome. 2. Cosa rappresentano i piccoli punti rossi sui lati del quadrilatero? 3. a) Costruisci

Dettagli

Giochi matematici 2001/2002 Gara del 24 gennaio 2002

Giochi matematici 2001/2002 Gara del 24 gennaio 2002 Giochi matematici 2001/2002 Gara del 24 gennaio 2002 Tempo concesso: 3 ore Il concorrente non è tenuto a rispondere ad ogni quesito, né, per i quesiti che prevedono più risposte, a fornirle tutte. Le risposte

Dettagli

1.4 Geometria analitica

1.4 Geometria analitica 1.4 Geometria analitica IL PIANO CARTESIANO Per definire un riferimento cartesiano nel piano euclideo prendiamo: Un punto detto origine i Due rette orientate passanti per. ii Due punti e per definire le

Dettagli

Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti) SOLUZIONE

Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti) SOLUZIONE Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti) Prova scritta 16 luglio 2014 SOLUZIONE ESERCIZIO 1. Dato il sistema con: si determinino gli autovalori della forma minima. Per determinare la forma minima

Dettagli