Algoritmi e Complessità

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1 Algoritmi e Complessità Università di Camerino Corso di Laurea in Informatica (tecnologie informatiche) III periodo didattico Docente: Emanuela Merelli emanuela.merelli@unicam.it a.a e.merelli 1

2 Lezione 3 Teoria della computabilità Argomento: La Macchina di Turing Obiettivo conoscitivo: L utilità di un modello formale di calcolo: MdT a.a e.merelli 2

3 La Matrice Funzionale rappresenta il comportamento della MdT s j MdT dove: le righe rappresentano gli stati interni q 0, q 1,, q m q i s k q r x t le colonne rappresentano i simboli di ingresso s 0, s 1,, s n. A(q i, s j ) rappresenta l azione che deve essere eseguita dalla macchina nel caso in cui si trovi nello stato q i e legga il simbolo s j. Un passo <s k q r x t > consiste nelle seguenti tre operazioni: 1. scrivere un altro simbolo s k ; 2. modificare lo stato in q r ; 3. spostarsi sul nastro a destra o a sinistra di una casella, a seconda che x t = DESTRA o x t = SINISTRA. In particolare s j può essere uguale a s k, e q i può essere uguale a q r cioè lo stato e il valore contenuti nella casella possono non essere modificati. Casella bianca, termine calacolo. a.a e.merelli 3

4 Introduzione al Modello formale Sia S = {s 0, s n } un alfabeto finito di simboli Q = {q 0, q m } un alfabeto finito rappresentante gli stati, M = {D, S} l insieme dei simboli rappresentante gli spostamenti a destra e sinistra, sia s 0 S il simbolo speciale che denota il bianco. La configurazione di una MdT ad ogni istante è definita specificando la stringa di simboli sul nastro, la posizione della testina e lo stato della macchina. Questa configurazione può venire rappresentata come una stringa infinita di simboli s 0 s 0 s i1 s i2 s i3 s ik-1 q r s ik s if s 0 s 0 di cui solo un numero finito è diverso da s 0. Il simbolo q r che compare nella stringa specifica lo stato di controllo della macchina e la posizione della testina (si conviene che il simbolo letto sia quello a destra di q r ) a.a e.merelli 4

5 MdT: stringa di simboli Se S* è l insieme di tutte le sequenze finite di simboli appartenenti ad S, allora una generica stringa s 0 s 0 s i1 s i2 s i3 s ik-1 q r s ik s if s 0 s 0 Potrà essere rappresentata schematicamente con ξqsη dove ξ,η S*, q Q e s S, s rappresenta il simbolo in lettura. Una stringa ξqsη sarà quindi una DI della MdT a.a e.merelli 5

6 MdT: comportamento In generale il comportamento di una MdT è descritto da una quintupla che descrive la trasformazione di una DI nella successiva. Ogni trasformazione corrisponde ad un passo della computazione Ogni quintupla è del tipo: q i s j s ij q ij x ij q i,q ij Q, s i,s ij S, x ij M. I primi due simpoli rappresentano una possibile situazione in cui la macchina si trova, Gli ultimi tre rappresentano l azione che la macchina deve intraprendere in corrispondenza di tale situazione: cioè la macchina sostituisce nella stringa il simbolo q i con il simbolo q ij, il simbolo s j con il simbolo s ij e sposta q ij di una posizione a destra o a sinistra secondo il valore contenuto in x ij. Esempio: q i s j s ij q ij D s 0 s 0 s 1 s 2 s 3 s j-1 q i s i s k s 0 s 0 s 0 s 0 s 1 s 2 s 3 s j-1 s ij q ij s k s 0 s 0 q i s j s ij q ij S s 0 s 0 s 1 s 2 s 3 s j-1 q i s i s k s 0 s 0 s 0 s 0 s 1 s 2 s 3 q ij s j-1 s ij s k s 0 s 0 a.a e.merelli 6

7 Computazione di una MdT 1. Un ingresso finito, cioè un nastro con un numero finito di simboli diversi dal bianco; 2. La posizione della testina di lettura e scrittura 3. Lo stato del nastro 1., 2. e 3. costituiscono la Descrizione Istantanea (DI) iniziale della Mdt Una descrizione Istantanea della MdT è Finale se nella matrice funzionale non esiste configurazione successiva DEF: Definiamo una Computazione della MdT una sequenza finita di descrizioni istantanee, di cui la prima iniziale e l ultima finale, ed ognuna ottenuta dalla precedente in un passo. a.a e.merelli 7

8 Modello matematico della MdT DEF. 1: Una MdT Z è una terna (Q, S, P) in cui: Q è un insieme finito (l insieme degli stati) S è un insieme finito (l insieme dei simboli, un elemento è detto bianco e indicato con s 0 ) P è un sottoinsieme di QxSxSxQx{S,D}, l insieme delle quintuple di Z, ed ha la proprietà che non ci sono due quintuple con i primi due elementi uguali. a.a e.merelli 8

9 Relazione - Introduciamo la relazione - fra DI (Descrizioni Istantanee) di una MdT, che vale quando la seconda DI rappresenta la configurazione ottenuta in un passo da quella rappresentata dalla prima DI DEF. 2: Sia Z=(Q,S,P) una MdT. La relazione - è definita come segue: ξqsη - ξs q η se qss q D P ξsqsη - ξq ss η se qss q S P a.a e.merelli 9

10 Computazione di MdT Z DEF. 3: Una computazione della MdT è una sequenza finita z 0,z 1,z 2, z m di DI di Z, tale che z m è una DI finale, cioè se z m = ξqsη, allora nessuna quintupla in P inizia con q s ; ed inoltre z j - z j+1 per 0 j m-1. Se facciamo partire Z da una configurazione iniziale z 0, allora o Z si fermerà, nel qual caso z 0 definisce univocamente la computazione della quale z 0 è primo elemento, o Z non si fermerà mai, nel qual caso Z non ha alcuna computazione di cui z 0 è primo elemento. a.a e.merelli 10

11 Algoritmo & MdT 1-5 requisiti 1. Il programma P deve essere di lunghezza finita 2. Ci deve essere un agente di calcolo C, capace di eseguire le istruzioni 3. L agente di calcolo C ha a disposizione una memoria dove immagazzina i risultati intermedi per poi utilizzarli nelle fasi successive del calcolo 4. Il calcolo avviene per passi discreti 5. Il calcolo non è probabilistico 1. L insieme di quintuple, o la matrice funzionale, della MdT costituisce un insieme finito di istruzioni. 2. La MdT è l agente di calcolo che esegue le istruzioni di cui al punto La MdT può utilizzare il nastro per memorizzare i risultati intermedi 4. La MdT opera in modo discreto 5. La MdT opera in modo deterministico, in quanto ad ogni condizione corrisponde una sola azione a.a e.merelli 11

12 6. Non deve esserci alcun limite finito alla lunghezza dei dati di ingresso 7. Non deve esserci alcun limite alla quantità di memoria disponibile 8. Deve esserci un limite finito al numero e alla complessità delle istruzioni eseguibili da C 9. Sono ammesse esecuzioni con un numero di passi illimitato Algoritmo & MdT 6-10 requisiti 6. Non esiste nessuna limitazione sulla lunghezza delle stringhe di ingresso, in quanto il nastro è illimitato 7. Il nastro della MdT costituisce una memoria di capacità non limitata 8. Le operazioni che la MdT può eseguire sono molto semplici, quindi di complessità finita 9. Non esiste nessun limite sul numero di istruzioni che vengono eseguite durante una computazione, in quanto non esiste alcun limite al numero di volte che una quintupla può essere usata 10. Poiché esistono DI iniziali che non 10. Sono ammesse esecuzioni danno origine ad alcuna con un numero di passi computazione. Ciò significa che la infinito (cioè esecuzioni che corrispondente sequenza di DI è non terminano mai) infinita. a.a e.merelli 12

13 Funzioni Calcolabili mediante MdT Ad ogni MdT Z può essere facilmente associata la funzione calcolata da Z, una volta che siano fissata una convenzione consistente sia per la codifica dei dati iniziali che del risultato finale. Esempio, data f: N n N una codifica degli argomenti potrebbe essere b b β 1 b β 2 b b β n b b Dove β i rappresenta la codifica binaria dell argomento i-mo. Il risultato finale f(x 1, x n ) potrebbe invece essere rappresentato dal numero binario che si trova alla destra della testina alla fine della computazione. a.a e.merelli 13

14 MdT generalizzate Possibili varianti della MdT: Variazione del numero degli stati Variazione del numero dei simboli dell alfabeto Aumento del numero di testine Aumento del numero dei nastri multidimensionali a.a e.merelli 14

15 Equivalenza di MdT La dimostrazione di equivalenza di una MdT modificata con quella di base si basa sul fatto che la MdT di base permette di esprimere qualsiasi operazione che può essere espressa in una MdT modificata. Concretamente ciascuna dimostrazione cercherà una MdT ordinaria che simuli effettivamente il comportamento della MdT di cui vogliamo mostrare l equivalenza a.a e.merelli 15

16 Macchina a stati diretti Esistono diversi formalismi per descrivere la MdT. Definiamo Macchina a Stati diretti Una MdT in cui in ciascuno stato lo spostamento della testina dipende esclusivamente dallo stato ed è indipendente dal modo in cui la MdT è arrivata in quello stato. s ij s i x ij q i q ij Diagramma di flusso dell automa a stati finiti che costituisce il controllo a.a e.merelli 16