10. LINGUAGGI REGOLARI

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1 10. LINGUAGGI REGOLARI

2 I linguaggi regolari: Sono i linguaggi generati da grammatiche di Chomsky di tipo 3. Vari elementi sintattici di base dei linguaggi di programmazione sono regolari (es. identificatori) Godono di varie interessanti proprietà algebriche Sono definibili con le espressioni regolari Sono riconoscibili con automi a stati finiti

3 10.1 AUTOMI A STATI FINITI DETERMINISTICI (ASF) E NON DETERMINISTICI (ASFND) Sono il tipo più semplice di macchina per riconoscere linguaggi. Dispositivi che leggono la stringa di input da un nastro unidirezionale e la elaborano usando una memoria limitata. Ad ogni passo: lettura di un carattere, spostamento della testina, aggiornamento dello stato della memoria.

4 AUTOMI A STATI FINITI DETERMINISTICI (ASF) nastro di input unidirezionale a 1 a 2 a n testina di lettura meccanismo di controllo schema di automa a stati finiti

5 Def. Automa a stati finiti (ASF): A=<Σ,K,δ,q 0,F> Σ = {σ 1,...,σ n } alfabeto di input K = {q 0,...,q n } insieme finito non vuoto di stati K F q 0 K insieme di stati finali stato iniziale δ : K Σ K funzione di transizione, funzione totale che determina lo stato successivo

6 Def. Funzione di transizione estesa alle stringhe: δ : K Σ* K δ(q,ε) = q δ(q,ax) = δ(δ(q,a),x), con x Σ* e a Σ Def. Linguaggio riconosciuto da un automa A: L(A) = { x Σ* δ(q0,x) F }

7 La funzione di transizione di un ASF può essere rappresentata mediante matrice (tabella) di transizione diagramma degli stati

8 Esempio. Dato il linguaggio {anb n 0} generato da S as b, l'automa che lo riconosce è l'automa <{a,b}, {q0,q1,q2}, δ, q0, {q1}> δ a b q0 q0 q1 q1 q2 q2 q2 q2 q2

9 Esempio. Automa che riconosce il linguaggio delle parole che contengono un numero pari di a o un numero pari di b Σ={a,b} K = {q0, q1, q2, q3} F = {q0, q1, q2} δ a b q0 q1 q2 q1 q0 q3 q2 q3 q0 q3 q2 q1

10 q 0 a a q 1 b b b b a q 2 q a 3

11 Esempio. Automa che riconosce gli identificatori. a,...,z q 0,...,9 0 q 2 a,...,z 0,...,9 0,...,9 q 1 a,...,z diagramma di stato dell'asf che riconosce gli identificatori

12 Gli automi consentono di rappresentare in generale sistemi di transizione in un insieme finito di stati: un ascensore un distributore di biglietti dell'autobus il sistema elettrico di un automobile un dispositivo elettronico digitale ecc. Esercizio. Realizzare l ASF che riconosce il linguaggio di stringhe sull alfabeto {a, b} in cui il penultimo carattere è una b.

13 AUTOMI A STATI FINITI NONDETERMINISTICI (ASFND) Def. Automa a stati finiti non deterministico: AN=<Σ,K,δ N,q 0,F> Σ = {σ 1,...,σ n } alfabeto di input K = {q 0,...,q m } insieme finito non vuoto di stati K F q 0 K insieme di stati finali stato iniziale δ N : K Σ P(K) funzione di transizione, funzione totale che determina l'insieme (eventualmente vuoto) degli stati successivi

14 Def. Funzione di transizione estesa alle stringhe: δ N : K Σ P(K) δ N (q,ε) = {q} δ N (q,ax) = δ N (p,x) p δn(q,a) con x Σ*, a Σ, q K Def. Linguaggio riconosciuto da un ASFND A N : L(A N ) = { x Σ* δ N (q 0,x) F }

15 Esempio. ASFND che riconosce le stringhe che terminano con bb o ba o baa. L automa ha gli stati {q0, q1, q2, q3}, lo stato finale è q0 e lo stato finale è q2. δ (q0, a) = q0 δ (q0, b) = q0 δ (q0, b) = q1 δ (q1, a) = q2 δ (q1, b) = q2 δ (q1, a) = q3 δ (q3, a) = q2

16 NOTA BENE. Attenzione a non confondere il nondeterminismo degli automi con altri concetti affini: il nondeterminismo dei fenomeni naturali oppure gli aspetti probabilistici che si presentano in sistemi stocastici o ancora il parallelismo di più processi di calcolo simultanei. Il non determinismo ci consente di rappresentare un calcolo anziché come una traiettoria in uno spazio di stati, come un albero di computazioni autonome.

17 Vediamo ora come si definisce il concetto di computazione eseguita da automi. Configurazione di ASF: coppia <q,x> con q K stato interno e x Σ* stringa da leggere in input Relazione di transizione di stato di un ASF: relazione binaria sulle configurazioni <q,x> <q',x'> x=ax' δ(q,a)=q' Configurazioni iniziale, finale e accettante di un ASF: <q,x> è: iniziale se q = q 0 finale se x = ε accettante se x = ε e q F

18 Configurazione di ASFND: coppia <Q,x> con K Q e x Σ* stringa da leggere in input Relazione di transizione di stato di un ASFND: relazione binaria sulle configurazioni <Q,x> <Q',x'> x=ax' δ N (q,a)=q' q Q Configurazioni iniziale, finale e accettante di un ASFND: <Q,x> e': iniziale se Q = {q 0 } finale se x = ε accettante se x = ε e Q F

19 Def. Computazione, per ASF e ASFND: una sequenza di configurazioni c0, c1,..., cn (n 0) tali che, se n > 0, per ogni i = 0,..., n-1 abbiamo ci ci+1. NOTA BENE. La chiusura riflessiva e transitiva * della relazione indica che esiste una computazione che porta da una configurazione ad un altra. Computazione accettante: Una computazione c0, c1,..., cn e' accettante se c0 e' una configurazione iniziale e cn e' una configurazione accettante. Esempio. L'ASF che riconosce le stringhe con un numero pari di a o di b accetta la stringa abbaabb tramite la computazione accettante <q0,abbaabb>,..., <q1,ε>.

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21 Se chiamiamo 'stati nondeterministici' insiemi di stati deterministici, il nondeterminismo degli automi ci consente di rappresentare una computazione in modo equivalente come: una traiettoria nello spazio di stati nondeterministici (insiemi di stati), un albero nello spazio degli stati deterministici.