Macchina di Turing ... !!... !!! a b b! b a! Nastro di Input. testina. s t q i. s r. Unità di Controllo q j S / D / F

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1 Macchina di Turing Nastro di Input...!!! a b b! b a! testina!!... s r s t q i Unità di Controllo q j Q S / D / F P

2 Definizione Formale Una macchina di Turing deterministica è una sestupla <!, ", Q, q 0, Z, # >! - Alfabeto esterno o dei simboli di nastro " - Simbolo speciale che indica cella vuota " %! $ Q - Un insieme finito e non vuoto di stati q 0 - stato iniziale! q 0 % Q!Z - Insieme di stati finali (halting states) # - Funzione (parziale) di transizione definita come: Nastro di Input! # : (Q - Z) x (! & {" }) ' Q x (! & {" }) x {S, D, F}! avendo indicato con S uno spostamento a Sinistra della Testina, con D uno! spostamento a Destra e con F nessuno spostamento...!!! a b b! b a! s r Unità di Controllo s t testina q j Q q i S / D / F!!... P

3 Configurazione di una MT Una configurazione di una MT rappresenta la più piccola porzione di nastro contenente tutti i simboli non! includente la cella cui è posizionata la testina ad eccezione di qualche simbolo! che si trova immerso in una stringa. q i! a b b! b a abbreviata con! a q i b b! b a formalmente una configurazione è una stringa x q y in cui: x " # (#$!)*${%}, q " Q, y " (#$!)*#${!} la condizione x = % equivale a dire che alla sinistra di q non vi è alcun simbolo ovvero compaiono solo simboli!, mentre se y =!, sulla cella dove è puntata la testina ed alla destra della testina compaiono simboli!.

4 Configurazioni notevoli Configurazione iniziale E caratterizzata dalla stringa x q y con!!!! x =!, q = q 0, y " # + $ { % } Configurazione finale E caratterizzata dalla stringa x q y con!! x " # (#$ %)*${!}, q " Z, y " (#$ %)*#${%} Per come è definita la matrice di transizione &, una macchina che si trovi in una configurazione finale non può effettuare ulteriori passi di computazione.

5 Ciclo di macchina o transizione E il meccanismo di base per il passaggio da una configurazione i-esima ad una configurazione i+1-esima. Ad ogni ciclo viene cambiato il simbolo contenuto nella cella esaminata con un altro simbolo (eventualmente lo stesso), il simbolo di stato (eventualmente lo stesso) e lo spostamento della testina a Sinistra (S) Destra (D) oppure nessun movimento (F). C i! C i+1 Più formalmente: 1. C i = x q a y e se "(q,a) = (q, a, D) allora C i+1 = x a q y 2. C i = x q a e se "(q,a) = (q, a, D) allora C i+1 = x a q # 3. C i = x a q b y e se "(q,b) = (q, b, S) allora C i+1 = x q a b y 4. C = q b y i e se "(q,b) = (q, b, S) allora C = q # b y i+1 5. C i = x q a y e se "(q,a) = (q,a, F) allora C i+1 = x q a y

6 Computazione Una successione di transizioni stabilisce una computazione o calcolo C 0! C 1...! C n Vedremo nel prosieguo come una computazione può essere infinita o arrestarsi in una configurazione finale.

7 Esempio 1 Funzione di transizione Calcolo del successore di un numero naturale! q 0 q 1 Si somma 1 all ultima cifra, se questa è = 9 si mette 0 e si riporta 1. Ex 1: 0 D 1 q # 1 D 2 q # 2 D 3 q # q # 1 q # 1 4 q 0 8 # q 0 " 3 D 4 q # # 1 4 q 1 8 # 1 4 q # 9 4 D 5 q # 5 D 6 q # Ex 2: q # 3 q # 3 8 q 0 9 # q 0 " # 3 8 q 1 9 # 3 q # 3 q # D 7 q # 7 D 8 q # 8 D 9 q # 9 D 0 S " S q 1 1 q #

8 Esempio 2 Contatore di una sequenza di caratteri. Viene impiegato un cursore q per scorrere la stringa verso destra 0 fino a trovare un carattere ", si passa quindi allo stato q 1 che cancella un carattere e ci riporta tramite un cursore q verso sinistra 2 dove viene attivato un contatore che conteggia il carattere tolto. Es: q a a a # a q a a # a a q a # a a a q " # a a q 1 a # a q 2 a " # q 2 a a # q 2 " a a # q 0 1 a a # 1 q 0 a a # 1 a q 0 a # 1 a a q 0 " # 1 a q 1 a # 1 q 2 a " # q 2 1 a # q 0 2 a # 2 q 0 a # 2 a q 0 " # 2 q 1 a # 2 q 2 " # q 2 2 " # q 0 3 # 3 q 0 " # q 1 3 # q # 3 Funzione di transizione! q 0 q 1 q q D q # 1 q 0 1 D q # 2 q 0 2 D q ## 3 q 0 3 D q ## 4 q 0 4 D q # 5 q 0 5 D q # qq q ### 6 q 0 6 D qq # 7 q 0 7 D q q # 8 q 0 8 D q # q ## # 9q 0 9 D q # 0 S " S q 1 q # 1 q 0 a D "Sq 2 S

9 Esempio 3 Somma di due numeri, separati dal carattere *, dati come sequenza di caratteri 1. Mette " al posto di e passa allo stato q 2 2. Va destra fino a trovare " 3. Mette e passa a q 1 x 4. Va a sinistra fino ritrovare ", passa a q 0 e reitera dal punto 1... Alla fine tutti i caratteri sono alla destra di * la macchina cancella * e si ferma. Funzione di transizione! q 0 q 1 q 2 " D Dq 0 q 1 "Dq 2 S D * " q # S D q 0 * # " q 2 * # " q 2 * # " q 2 * # " q 2 * # " * q 2 # " * q 2 # " * q 2 " # " * q 1 # " * q 1 # " * q 1 # " q 1 * # " q 1 * # " q 1 * # " q 1 * # q 1 " * # q 0 * #* q 1 " * # q 0 * # q #

10 Esempio 3 cont.!/! D */! F q # simbolo letto / simbolo scritto/ spostamento q 0 */* D I/I S Funzione di transizione I/! D q 2!/ I F q 1! q 0 q 1 q 2 " D Dq 0 q 1!/! D I/I D */* S "Dq 2 S D * " q # S D

11 Esempio 4 Costruire una Macchina di Turing capace di ricopiare una stringa di input presa dall alfabeto {a,b} Esempio di computazione L input è della forma! w! l output è della forma! w! w! b/b/d a/a/d b/b/d a/a/d!/!/d a/x/d!/a/s!/!/d X/X/D Y/Y/D q #!/!/F!/!/S b/y/d!/!/d!/b/s a/a/s b/b/s!/!/s X/a/S Y/b/S a/a/d b/b/d a/a/d b/b/d

12 Esempio 5 Costruire una Macchina di Turing che riconosca il linguaggio L={a n b n c n : n! 0} Suggerimento: Costruire una macchina che opera in n stadi. Per ogni stadio La testina si muove verso destra per individuare il primo carattere a che viene rimpiazzato con un carattere *. La testina si muove quindi verso destra per trovare un carattere b che appena trovato viene ad essere sostituito ancora da un carattere *, quindi si va alla ricerca di un carattere c che verrà sostituito sempre da un carattere *. Una volta esaurito il ciclo la testina torna verso sinistra e si prosegue con un ulteriore ciclo. La macchina deve controllare se ci sono caratteri in più: Il procedimento termina quando la macchina è alla ricerca di un a e trova la fine stringa.