Fondamenti dell Informatica a.a. 2017/18 Prova scritta 11 gennaio 2018

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1 Fondamenti dell Informatica a.a. 2017/18 Prova scritta 11 gennaio 2018 Esercizio 1 (Automi a stati finiti) {a, b}. Si considerino i seguenti automi a stati finiti sull alfabeto Per ognuno degli automi, se è non deterministico lo si renda deterministico, poi si dica se è minimo o, in caso contrario, lo si minimizzi. Per ognuno degli automi, si descriva (in modo preciso) il linguaggio riconosciuto. 1. Il primo automa è deterministico. Per la minimizzazione, si hanno inizialmente le classi {q 0, q 2 } e {q 1, q 3 }, e non è possibile discriminarle. L automa minimo è quindi il seguente: Il linguaggio riconosciuto è l insieme delle stringhe con un numero dispari di b. 2. Il secondo automa non è deterministico. Applichiamo la trasformazione che elimina il non determinismo: a q 0 q 3 q 1 q 1 q 1, q 2 q 1 q 2 q 3 q 3 q 3, q 4 q 4 b a b {q 0 } {q 3 } {q 1 } {q 3 } {q 3 } {q 3, q 4 } {q 1 } {q 1, q 2 } {q 1 } F 1 {q 3, q 4 } {q 3 } {q 3, q 4 } F 2 {q 1, q 2 } {q 1, q 2 } {q 1 } Per la minimizzazione, si hanno inizialmente le classi {q 0, q 1, q 3 } e {F 1, F 2 }. Possiamo discriminare F 1 da F 2 in quanto leggendo b da F 1 si resta in uno stato finale, mentre da F 2 no. Possiamo poi discriminare q 0, q 3 da q 1 in quanto leggendo a da q 0, q 3 si va in uno stato non finale, mentre da q 1 si va in F 2. Infine, possiamo discriminare q 0 da q 3 in quanto leggendo b da q 0 si va in q 1, mentre da q 3 si va in F 1. L automa è quindi minimo ed è il seguente: 1

2 Il linguaggio riconosciuto è l insieme delle stringhe che iniziano e terminano con due lettere diverse. 3. L ultimo automa è deterministico. Per la minimizzazione, si hanno inizialmente le classi {q 0, q 2, q 4 } e {q 1, q 3 } e non è possibile discriminarle. L automa minimo è quindi il seguente: Il linguaggio riconosciuto è l insieme delle stringhe di lunghezza pari. Esercizio 2 (Linguaggi context-free) Per ognuno dei seguenti linguaggi sull alfabeto {a, b, c}: 1. l insieme delle stringhe in cui il numero di b è maggiore del numero di a oppure minore del numero di c 2. l insieme delle stringhe in cui il numero di b è maggiore del numero di a e minore del numero di c si dica se è context-free, motivando la risposta (ossia: in caso di risposta positiva si dia un PDA che riconosce il linguaggio, o una grammatica che lo generi, in caso di risposta negativa lo si provi utilizzando il pumping lemma). 1. Il primo linguaggio è context-free. Un PDA che lo riconosce è il seguente, che non deterministicamente all inizio transisce in due stati, uno dei quali riconosce l insieme delle stringhe con più b che a, l altro l insieme delle stringhe con più c che b. Nel primo caso, ogni volta che si legge una a si aggiunge una A nella pila se in cima si trova A o Z, mentre se in cima alla pila si trova una B la si elimina. Simmetricamente ogni volta che si legge una b. In questo modo, alla fine della lettura della stringa, se questa ha più b che a si troverà nella pila almeno una B e si procederà allo svuotamento della pila. Analogamente nell altro caso. 2

3 2. Il secondo linguaggio non è context-free. Possiamo dimostrarlo utilizzando il pumping lemma. Infatti, preso n arbitrario, consideriamo la stringa a n b n+1 c n+2. Vi sono molti diversi casi di decomposizione di questa stringa come uvwxy. Tuttavia, dato che la lunghezza di vwx deve essere n, è facile capire che tale sottostringa non può contenere sia a che c, perché in tal caso dovrebbe contenere tutti i b. Quindi: se la stringa non contiene c, prendendo uv 3 wx 3 y si ottiene una stringa in cui il numero di a e/o di b è aumentato di almeno due, mentre il numero di c è rimasto uguale, quindi la stringa non appartiene al linguaggio. se la stringa non contiene a, prendendo uv 0 wx 0 y si ottiene una stringa il numero di b e/o di c è diminuito, mentre il numero di a è rimasto uguale, quindi la stringa non appartiene al linguaggio 1 Esercizio 3 (Macchine di Turing) Definire una macchina di Turing che riconosce le stringhe sull alfabeto {a, b, c} della forma a k b n c m dove il numero di b è uguale al numero di a (k = n) oppure al numero di c (n = m). È assolutamente necessario dare prima una descrizione a parole dell algoritmo, e solo successivamente la matrice di transizione, preferibilmente usando nomi significativi per gli stati. Diamo un algoritmo un po prolisso perché costruito in modo modulare per essere più comprensibile. all inizio eq ab la stringa vuota è accettata se si trova una a, si controlla se il numero di a è uguale al numero di b (eq ab) se si trova una b, si controlla se il numero di b è uguale al numero di c (eq bc) se si trova una c basta controllare che la stringa successiva sia del tipo c (only c) se si trova una a, la si cancella, si cerca la prima b (find b), la si sostituisce con B e si torna indietro (go eq ab); se non si trova la b il primo tentativo è fallito e si va a reset 1 In particolare, se è diminuito il numero di b questo non è maggiore del numero di a, se è diminuito solo il numero di c questo non è maggiore del numero di b. 3

4 se non si trova una a ma una B significa che le a sono finite e si controlla che non ci siano più b (only Bc) se si trova una c basta controllare che la stringa successiva sia del tipo c (only c) reset si ripristinano le b e si passa al secondo tentativo (eq bc) eq bc analogo al precedente La tabella nel formato del simulatore è la seguente: 0 * halt - accept ; stringa vuota ok 0 a a * eq_ab ; 0 b b * eq_bc 0 c c r only_c ; modulo che controlla a^n b^n c* n >=1 eq_ab a _ r find_b eq_ab B B r only_bc ; finite le a eq_ab c c r only_c only_bc B B r only_bc ; controlla B* c* only_bc c c r only_c only_bc * halt - accept only_bc b b l reset ; una b di troppo only_c c c r only_c ; controlla c* only_c * halt - accept find_b a a r find_b find_b b B l go_ eq_ ab find_b B B r find_b find_b c c l reset ; manca una b find_b l reset ; manca una b go_eq_ab B B l go_eq_ab go_eq_ab a a l go_eq_ab go_ eq_ ab r eq_ab ; fine modulo che controlla a^n b^n c* n >=1 ; modulo che ripristina le b e passa al secondo tentativo reset B b l reset reset a a l reset reset r eq_bc ; modulo che controlla a* b^n c^n eq_bc a _ r eq_bc eq_bc b _ r find_c eq_bc C C r onlyc ; finite le b eq_bc * halt - accept onlyc C C r onlyc onlyc * halt - accept find_c b b r find_c find_c c C l go_ eq_ bc find_c C C r find_c go_eq_bc C C l go_eq_bc go_eq_bc b b l go_eq_bc go_ eq_ bc r eq_bc 4

5 Esercizio 3 - Ricorsività di insiemi motivando la risposta. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false 1. Il problema di determinare se un programma termina in meno di 10 passi su qualche input è ricorsivamente enumerabile. 2. Il problema di determinare se un programma, per ogni input y, o non termina o restituisce y, ossia {x φ x (y) = z implica z = y}, è ricorsivo. 3. Il problema di determinare se un programma, per ogni input y, o non termina o restituisce y, ossia {x φ x (y) = z implica z = y}, è ricorsivamente enumerabile. 1. Vero. Infatti possiamo eseguire il programma per 10 passi successivamente su tutti gli input, e se esiste un input per il quale si ha terminazione questo sarà trovato. 2. Falso. Infatti questo insieme è chiaramente estensionale e non banale, quindi per il teorema di Rice non è ricorsivo. 3. Falso. Consideriamo infatti il problema complementare, ossia determinare se un programma, per qualche input y, restituisce un risultato diverso da y. Questo problema è ricorsivamente enumerabile in quanto basta eseguire il programma su tutti gli input con la tecnica a zig-zag e, se per qualche input y il programma termina con un risultato diverso da y, questo sarà trovato. Quindi, il problema di partenza non può essere ricorsivamente enumerabile, perché se lo fosse per il teorema di Post sarebbero entrambi ricorsivi. Esercizio 5 (Riduzioni) Si provi che A = {x φ x (y) = 0 per qualche y} è riducibile a K = {x φ x (x) termina}, ossia che il problema di determinare se un algoritmo x restituisce 0 su qualche input è riducibile al problema di determinare se un algoritmo termina sulla propria rappresentazione. Dobbiamo trasformare un input x per il problema A (un algoritmo) in un input x = g(x) per il problema K in modo tale che φ x restituisca 0 su qualche input se e solo se φ x (x ) termina. Questo si può ottenere costruendo l algoritmo x = g(x) nel modo seguente: input z se φ x terminazione restituisce 0 su qualche input ( ) restituisco 1, altrimenti ho non ( ) si noti che questa condizione può essere controllata con il metodo a zig-zag, quindi siamo in grado di ottenere risposta se questa è positiva. Allora: se φ x restituisce 0 su qualche input, φ x termina per ogni z, quindi in particolare φ x (x ) termina, altrimenti φ x non termina per ogni z, quindi in particolare φ x (x ) non termina. 5