Dispense del corso di Linguaggi di programmazione e laboratorio Linguaggi formali(versione non definitiva con diversi refusi) Francesco Sisini

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1 Dispense del corso di Linguaggi di programmazione e laboratorio Linguaggi formali(versione non definitiva con diversi refusi) Francesco Sisini 04 Giugno 2014

2 Indice 0.1 Automi Automa di Turing Automa lineare limitato Automa a pila Automi a stati finiti e linguaggi regolari Convenzioni tipografiche Nel testo saranno utilizzate le convenzioni tipografiche di seguito elencate grassetto usato per evidenziare i nuovi termini man mano che verranno introdotti nel testo. inclinato usato per evidenziare le espressioni sulle quali si vuol porre lattenzione. monospaced usato per indicare linput/output del sistema (ci che digitato con la tastiera e che visualizzato sullo schermo dal sistema), i nomi ed il contenuto dei file, gli indirizzi di pagine web e quelli di posta elettronica. 0.1 Automi Automa di Turing Gerarchia Chomsky Grammatica Linguaggio Automa 0 Illimitata Ric. enum. Turing Ric. Decider 1 Dipendente dal contesto Dipendente dal contest Automa lineare 2 Libera dal contesto Libera dal contesto Automa a pila ND 3 Regolare Regolare A stati finiti Turing nel 1936 pubblica l articolo On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem in cui presenta un modello di calcolo che, in linea di principio, può essere eseguito da una macchina. Con calcolo si intende la 1

3 deduzione di formule nel contesto di una logica formale. Questo modello noto come macchina di Turing (MdT) è specificato da tre insiemi finiti Σ, Q e R, nel modo seguente: Σ è un alfabeto, il carattere non appartiene all alfabeto ma lo usiamo ( / Σ); Q è l insieme degli stati della macchina; R è l insieme delle istruzioni. Le istruzioni sono delle quituple < q, s, q, s, ρ >. q, q Q, s, s Σ e ρ {, 0, +}. Una MdT processa un input che è rappresentato da una stringa α costruita sull alfabeto Σ e modifica la sringa stessa producendo l output. La macchina compie due tipi di azioni: una consiste nello spostare la testina di lettura e scrittura sui diversi caratteri della stringa, l altra consiste nello scrivere sulla stringa stessa. Per cancellare un carattere della stringa è sufficiente sovrascrivere il simbolo. Le quituple < q, s, q, s, ρ > sono dette le istruzioni della macchina, in altri termini il programma. Una macchina differisce da un altra per le istruzioni con cui é programmata. Configurazione: se α Σ é la stringa di simboli rappresentante il nastro, posto che α = βγ e che la tastina sia sul primo elemento di γ allora si indica con αqβ la configurazione c della macchina. Transizione: una transizione è il passaggio da una configurazione c i ad una configurazione c j. Configurazione di arresto: questa è una configurazione, cioè una coppia < q, s > per cui non è prevista alcuna istruzione. Computazione o calcolo: è un insieme di transizioni che può essere infinita o finita e in questo caso termina con una configurazione di arresto. Una computazione di lunghezza n può essere indicata come segue: c 0 c 1... c n Una MdT puó essere utilizzata in due diversi modi: come trasduttore o come riconoscitore. Il suo utilizzo come trasduttore ci permette d definire le funzioni Turing calcolabili. Macchina di turing deterministica: una macchina di turing deterministica (MdTD) è una macchina (Σ, Q, R) per cui si ha che per ogni coppia < q, s > esiste al più una istruzione < q, s, q, s, ρ >. Designamo lo stato q 0 a rappresentare lo stato iniziale. Ogni configurazione iniziale sarà quindi della forma q 0 α con α Σ. 2

4 Data una MdTD per ogni configurazione iniziale esiste un unica computazione. Vediamo ora la relazione tra una funzione e una MdTD. Sia f : Σ Σ. Diciamo che una MdTD calcola f se per ciascun α Σ si ha che la computazione inizia nella configurazione q 0 α e termina nella configurazione finale qβ e sia f (α) = β Una funzione si dice T-calcolabile se esiste una macchina di Touring che la calcola. Esempio, MdT per la funzione successore: la MdT: Σ = {1} Q = {q 0, q 1 } R = {< q 0, 1, q 0, 1, + >, < q 0,, q 1, 1, 0 >} calcola il successore m del numero n, dove m è un numero naturale espresso da un sequenza di 1. Verifica 14 scrivere una MdT per la funzione doppio sui naturali. MdT con stati di accettazione Per definire una MdTA servono sette elemeti, quindi si dice che è una settupla. Gli elementi che servono sono: L insieme Q degli stati della macchina, l alfabeto Σ di input del nastro l alfabeto Γ del nastro (input e output) con Γ e Σ Γ, uno stato iniziale q 0, uno stato di accetazione q acc, uno stato di rifiuto q ri f. Una MdTA M viene definita con la settupla < Q, Σ, Γ,, q 0, q a cc, q r i f >. Entrambi gli tati q a cc e q r i f sono stati di arresto e quindi qualsiasi configurazione che comprenda uno di questi due stati non prevede transizioni verso altre configurazioni. Accettazione di una stringa: una MdTA M accetta una stringa w se esiste una sequenza c 1,..., c n di configurazioni tali che c 1 è la configurazione iniziale, ciascun c i ammetta una transizione a c i+1 e c n è una configurazione di accettazione. L insieme L(M) delle stringhe accettato da M è il linguaggio di M 3

5 Alfabeto e linguaggio In matematica, logica, informatica e linguistica, per linguaggio formale si intende un insieme di stringhe di lunghezza finita costruite sopra un alfabeto finito, cioè sopra un insieme finito di oggetti che vengono chiamati caratteri, simboli o lettere (da wikipedia). Un alfabeto Σ é un insieme finito di simboli per esempio Σ = {a, b, c, d} (1) L insieme di tutte le stringhe di linghezza finita é definito su A con un processo induttivo. Definiamo: Σ 0 = {ɛ} la stringa vuota non contenuta in Σ Σ 1 = Σ Σ 2 = {σ σ = a σ con a Σ e σ Σ 1 } Σ 3 = {σ σ = a σ con a Σ e σ Σ 2 }... Σ n+1 = {σ σ = a σ con a Σ e σ Σ n } Abbiamo definito l insieme Σ 0 costituito dalla sola stringa vuota, l insieme Σ 1 delle stringhe di lunghezza al massimo 1 fino ad Σ n delle stringhe di lunghezza al massimo n. Definizione Σ è l insieme Σ = n Σ n (2) Σ é detto l insieme delle stringhe (o parole) di lunghezza arbitraria ma finita. Definizione Definiamo inoltre l insieme Σ + = Σ ɛ Vediamo di seguito alcuni alfabeti e stringhe di esempio: Σ é l alfabeto latino e σ 1 = Didattica, σ 2 = In f ormatica Σ = 0, 1 e σ = n. Definizione Se w è una stringa con w = x 1 x 2...x n, essa ha lunghezza w = Grammatica non limitata Definiamo una grammatica G una quadrlupa V T, V N, S, P dove V T e V S sono insiemi disgiunti finiti e non vuoti e inoltre: 1. V T é detto alfabeto terminale 2. V N é detto alfabeto non terminale 3. S é il simbolo iniziale o assioma e S V N 4. P é un insieme finito di produzioni, cioé di coppie v, w con v (V T V N ) + e contiene almeno un simbolo non terminale e w (V T V N ) 4

6 Una grammatica genera un linguaggio Esempio La quadrupla: {{(, )}, {S}, S, {S (), S (S), S SS}} é la grammatica per le parentesi bilanciate. Esempio Grammatica per le stringhe palindrome su Σ = {a, b} Sia V N = {S}, V T = {a, b} e P = {S asa bsb a b ɛ} Definizione Sia G una grammatica e siano y e z due stringhe formate da siboli in (V T V N ). Scriviamo: y z e diciamo che z deriva direttamente da y sse esistono α e β stringhe con simboli in (V T V N ), y puó essere scritta come αlβ, z puó essere scritta come αrβ ed eiste in Sia G la produzione l r Definizione Sia G una grammatica e siano y e z due stringhe formate da siboli in (V T V N ). Scriviamo: y z e diciamo che z deriva da y sse y = z oppure esiste una sequenza di stringhe w 1..., w n tali che w 1 = y e w n = x e per ogni < i n si ha che w i deriva direttamente da w i 1. Definizione Una grammatica illimitata è una grammatica le cui regole di produzione non sono soggette a nessun vincolo. Lemma Per ogni linguaggio L accettato da una MdT esiste una grammatica illimitata che lo genera. Il lemma ci dice che non è possibile inventare un linguaggio che sia accettato da una MdT e non esista una grammatica di tipo-0 che lo genera. Definizione Una grammatica illimitata genera linguaggi ricorsivamente numerabili, cioè linguaggi per cui esiste una funzione di enumerazione f di cui L è il codominio Automa lineare limitato Un LBA (linear bounded automata) è una MdTND in cui la lunghezza del nastro è una funzione lineare dell input. Può quindi essere definiti analogamente ad una MdTND come una settupla < Q, Σ, Γ,, q 0, q a cc, q r i f > in cui la testina deve muoversi entro un numero di celle che sia multiplo della lunghezza dell input. Per ogni LBA questo multiplo è data. 5

7 Nota Per un input di lunghezza k, scegliendo opportunamente l alfabeto, la lunghezza del nastro può sempre essere ridotta a k. Grammatica contestuale I linguaggi accettati da un LBA sono i linguaggi contestuali o dipendenti dal contesto (contest sensitive language CSL). Definizione Una grammatica G si dice contestuale se ciascuna produzione ha una delle seguenti forme: 1. yaz ywz con A V N, y, z (V T V N ) e w (V T V N ) + Le stringhe y e z sono il contesto in cui A viene riscritta in w. 2. S ɛ, a condizione che S non compaia nella parte destra di alcuna produzione. Nota Questa grammatica non permette di creare stringhe la cui lunghezza sia minore della lunghezza produzione stessa. Problema della fermata Per i CSL il problema della fermata ha soluzione. Infatti, data una parola w, la macchina o si ferma dopo α( w ) iterazioni o non si ferma. Questo ci permette, dopo α( w ) iterazioni di stabilire se la parola sarà accettata o meno Automa a pila Un automa a pila o push down automata (PDA) è un automa che oltre a disporre del nastro da cui leggere l input dispone di una pila o stack. Transizioni Una transizione è definita in base alla terna {q, σ, γ} dove q é lo stato dell automa, σ è il simbolo letto sull input e γ è il simbolo presente sulla cima della pila. Scelta transizione Legge il proprio stato interno Legge il simbolo corrente sull input. Legge il simbolo corrente sulla pila. Transizione Inserisce un simbolo nella pila o elimina un simbolo dalla pila oppure lascia inalterata la pila. Cambia il suo stato interno 6

8 avanza la testina di lettura sul simbolo successivo Definizione Un automa a pila è una sestupla < Q, Σ, Γ, δ, q 0, F > Q è l insieme degli stati Σ è l alfabeto di input Γ è l alfabeto della pila δ : Q (Γ ɛ) (Γ ɛ) P(Q (Γ ɛ)) è la funzione di transizione q 0 Q è lo stato iniziale. F Q è l insieme degli stati finali. Esempio Consideriamo le seguenti transizioni: {q 1, a, b} {q 2, c} Il PDA é nello stato q 1, sull input é presente a e in cima alla pila c é b. Transizione cambia lo stato in q 2, legge l input a (quindi avanza la testina), elimina b dalla pila (quindi fa il pop) e inserisce c nella pila, quindi fa il push. {q 1, ɛ, b} {q 2, c} Il PDA é nello stato q 1, sull input é presente qualcosa e in cima alla pila c é b. Transizione cambia lo stato in q 2, non legge l input (quindi non avanza la testina), elimina b dalla pila (quindi fa il pop) e inserisce c nella pila, quindi fa il push. {q 1, a, ɛ} {q 2, c} Il PDA é nello stato q 1, sull input é presente a e in cima alla pila c é qualcosa oppure no. Transizione cambia lo stato in q 2, legge l input a (quindi avanza la testina), inserisce c nella pila, quindi fa il push. Esempio automa: si vuole costruire un automa a pila A che accetti una stringa del linguagio a n b n per qualsiasi n 0. (Fig vedi appunti a lezione) Grammatica non contestuale I linguaggi accettati dagli automi a pila sono i linguaggi non contestuali. Definizione: Una grammatica G si dice non-contestuale se tutte le sue produzioni sono del tipo L r dove L è un singolo simbolo non terminale e r (V T V N ) ; Una proprietà importante delle grammatiche non-contestuali é che generano stringhe che possono essere derivate da un albero τ che ha le seguenti proprietà: 1. La radice dell albero è l assioma iniziale S 7

9 2. Ogni nodo che non sia anche una foglia é etichettato con un simbolo non terminale. 3. Ogni nodo foglia é etichettato con un simbolo terminale o con la stringa vuota. 4. Se un nodo é etichettato con con il simbolo non terminale A e ha k figli α 1...α k allora esiste una produzione della forma A α 1...α k. 5. Se S w e w è una stringa in forma enunciativa terminale allora w è rappresentata dalle foglie dell albero associato alla derivazione. Esercizio 14: si tracci l albero di derivazione (o albero sintattico) delle stringhe binarie 0101, 0011 della grammatica G = {{0, 1}, {A, B, S}, S, {S 0B 1A, A 0 0S 1AA, B 1 1S 0BB}}. La teoria dei linguaggi formali offre una metodologia utile a specificare la sintassi dei linguagi di programmazione e a costruire degli analizzatori che permettono di controllare la sintassi di un programma. Per esempio dato l alfabeto V T = L D dove L = {a,..., z, A,..., Z, } e D = {0, 1,..., 9} e l espressione regolare l + d definiscono il linguaggio degli identificatori (nomi delle variabili e delle funzioni) per i linguaggi come il C e il Pascal. Un altro esempio é dato dalle seguenti regole di produzione: S if C then S else S if C then S a b C p q dove S e C sono non-terminali, a e b sono espressioni e p e q sono espressioni booleane. Sostituzioni Dato un albero di derivazione τ relativo ad una data grammatica non contestuale G se si sotituisce un sottoalbero τ con un sottoalbero τ si ottiene ancora un albero di una stringa generabile da G. Osservazione (spiegazione pumping lemma): sia z = uvwxy una stringa di L generata da G. Sia A un simbolo non terminale che compare più volte nella produzione di z. E possibile usare il principio di sostituzione per sostituire diverse produzioni di A ottenendo così la stringa uv 2 wx 2 y. Pumping lemma per linguaggi non-contestuali Se L è un linguaggio non contestuale e z L, eiste una costante p con z p tale che z puó essere riscritta come z = uvwxy con: vwx p. v e x non sono entrambe stringhe vuote. Per i 0 si ha che le stringhe uv i wx i y appartengono a L. 8

10 0.1.4 Automi a stati finiti e linguaggi regolari Un automa é composto da un insieme di stati e da un insieme di regole di transizione. Gli stati possono essere di accettazione o di non accettazione, le regole determinano la transizione dell automa da uno stato all altro in base a ciò che riceve in input. L elaborazione dell automa comincia nello stato iniziale e consiste nel legere l input e transitare di stato secondo le regole date. Se al termine della lettura l automa si trova in uno stato di accettazione allora si dice che l automa ha accettato l input altrimenti che l ha rifiutato. Un automa a stati finiti puó essere definito come una quintupla Q, Σ, δ, q 0, F dove: 1. Q è un insieme finito di stati 2. Σ è un alfabeto non vuoto 3. δ : Q Σ Q 4. q 0 Q 5. F Q é l insieme degli stati di accettazione Consideriamo il seguente esempio, sia M = {q 1, q 2, q 3, {0, 1}, δ, q 1, {q 2 }. La funzione di transizione δ è definita dalla matrice 0 1 q 1 q 1 q 2 q 2 q 3 q 2 q 3 q 2 q 2 Scopo: questo automa accetta le stringhe composte di simboli 1 o terminate da un numero pari di simboli 0 oppure terminanti con un 1. Presentando in input all automa la stringa 1101 l automa si pone nello stato finale q 2, siccome questo è uno degli stati di accetazione (l unico) allora la stringa 1101 è stata accettata. Se X è l insieme delle stringe accettate dall automa M, allora diciamo che X è il linguaggio dell automa e scriviamo L(M) = X. Nel caso specifico questo automa accetta tutte le stringhe che terminano con 1 o con un numero pari di 0. Considerazione: (spiegazione del punmping lemma) Consideriamo la grammatica Q, Σ, δ, q 0, F. Sia Q = n e sia z Σ con z = m > n. Per il principio della piccionaia si ha che esiste uno stato q j che viene attraversato piú di una volta. Non importa se q j F o se q j / F. Posta z = z 1, z 2,..., z m poniamo u = z 1,..., z j e x = z j+1,..., z m. Abbiamo z = ux. u è il minimo prefisso che porta l automa in q j. A sua volta possiamo riscrivere x = vw con v il minimo prefisso che riporta l automa in q j e w la stringa che porta l automa nello stato s Z. 9

11 Possiamo allora scrivere z = uvw ma se z è accettata allora lo sarà anche qualsiasi stringa z = uv i w in quanto la substringa v ha come unico effetto di portare l automa dallo stato q j allo stato q j. Espressioni regolari e linguaggi regolari Si è visto la definizione di linguaggio su un insieme di stringhe e come una grammatica possa generare un linguaggio. Ci chiediamo ora quali sono le condizioni che un linguaggio deve soddisfare per essere generabile da una grammatica. Anzitutto definiamo gli operatori regolari come segue: Unione: L 1 L2 = {w w L 1 oppure w L 2 } Concatenazione: L 1 L 2 = {w 1 w 2 w 1 L 1 e w 2 L 2 } Complementazione: L 1 = {w Σ w / L 1 } Stella: L = n L n dove: L 0 = {ɛ} : L n+1 = L n L per n 0 Definiti gli operatori regolari, possiamo definire un linguaggio regolare in maniera induttiva come segue: 1. Il linguaggio vuoto è regolare. 2. il linguaggio formato dalla sola stringa vuota {ɛ} è regolare. 3. Se L 1 e L 2 sono linguaggi regolari allora L = L 1 L2, L = L 1 L e L = (L 1 ), sono regolari. I linguaggi sono insiemi di stringhe, va da se che le operazioni sui linguaggi sono associate ad operazioni sulle stringhe. Le quattro operazioni definite prima sono quindi definite anche sulle stringhe e vengono usate per definire le espressioni regolari, vediamo alcuni esempi di espressioni regolari: 1. (a + b) l insieme delle stringhe sull alfabeto {a, b}. 2. (a b ) sempre l insieme delle stringhe sull alfabeto {a, b}. 3. (aa + bb) l insieme delle stringhe sull alfabeto {a, b} formate da coppie di a e da coppie di b. 4. aa (b + aaa) c 10

12 Esercizio 12: per ognuno dei quattro esempi di espresioni regolari si chiarisca quale classe di stringhe viene genrata. Una espressione regolare R genera un linguaggio regolare S(R). Dato un linguaggio regolare, esiste una grammatica che lo genera. Le grammatiche che generano i linguaggi regolari sono dette grammatiche regolari. Una grammatica G = V T, V N, S, P è detta essere lineare destra se ciascuna produzione è del tipo: A bc oppure A b dove A e C appartengono a V N e b V T {ɛ}. Una grammatica è detta lineare sinistra se ciascuna produzione è del tipo: A Cb oppure A b Per esempio la grammatica G = {0, 1}, {}, S, {S ɛ 0 S0 1 S1} è una grammatica lineare sinistra. Pumping lemma per linguaggi regolari Se L è un linguaggio regolare e s L, allora esiste una costante p con s p tale che s puó essere riscritta come s = uvy con uv p e v > 0 e per tutti gli i 0 si ha che uv i w L. 11