Certificati dei problemi in NP

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1 Certificati dei problemi in NP La stringa y viene in genere denominata un certificato Un Certificato è una informazione ausiliaria che può essere utilizzata per verificare in tempo polinomiale nella dimensione dell input la correttezza della risposta per una data istanza. Esempio COMMESSO VIAGGIATORE: esiste un ciclo Hamiltoniano di lunghezza < di k? Il certificato è una sequenza di nodi del grafo, la verifica polinomiale riguarda il seguire la sequenza di nodi verificando che sia un circuito hamiltoniano di lunghezza < k. Altri esempi di certificati - SAT : assegnamento di verità alle variabili della formula - RICOPRIMENTO DI NODI: Un albero ricoprente - INSIEME INDIPENDENTE: Se un dato insieme di nodi ha la giusta dimensione k e nessun collegamento tra di loro

2 Limitazioni esponenziali Una Macchina di Turing M è detta esponenzialmente limitata se esiste un polinomio P tale che per ogni input x non esistono configurazioni C di M lunghe più di P(2 x ). Cioè la macchina si ferma in al più un numero esponenziale di passi. Si definisce con EXP la classe dei linguaggi che sono decisi in tempo esponenziale da una macchina di Turing. Si dimostra la seguente inclusione: P NP EXP Si dimostra anche l inclusione P EXP pertanto questo ci porta a dire che potrebbero esistere vari tipi di inclusione tra P, NP ed EXP, inclusioni a tutt oggi ancora non dimostrate.

3 Problemi complementari Possiamo chiederci cosa accade quando i dati di input di un problema di decisione sono tali che la risposta è NO. Definizione In un problema decisionale P D le cui soluzioni x in F devono soddisfare una data proprietà P, i.e., x =F se e solo se P(x)=VERO, si deve rispondere alla seguente domanda x t.c. P(x) = VERO? nel problema complementare co-pd si deve rispondere alla domanda negata, ovvero se è falsa l affermazione precedente x t.c. P(x)= VERO? x P(x)= FALSO? Esempio Il problema complementare del ciclo hamiltoniano di lunghezza< K: Dato il grafo G, è vero che non esistono cicli hamiltoniani di lunghezza< K?

4 Classe Co-NP Appartengono alla classe co-np tutti i problemi di decisione per i quali esiste un certificato polinomiale in corrispondenza di ogni loro istanza NO Esempio Il certificato di ammissibilità per il problema complementare del ciclo hamiltoniano è la lista di tutti i possibili cicli hamiltoniani Per un grafo completo tale lista è n! se N è il numero dei nodi del grafo Siccome l enumerazione di tutte le possibili permutazioni non è un problema polinomiale il certificato non è verificabile in tempo polinomiale (a tutt oggi). Se ne conclude che il problema dei cicli hamiltoniani è presumibilmente co-np

5 Classe Co-NP Dato un problema decisionale PD fornire un certificato polinomiale per il corrispondente problema co-pd è in generale più difficile che fornire un certificato polinomiale per PD. Tuttavia esistono problemi in cui è facile dimostrare la correttezza del problema sia di PD sia del problema co-pd Questa situazione è tipica per i problemi PD P in tal caso infatti è possibile determinare una soluzione per il problema decisionale PD o negarne l esistenza (certificato vuoto). Esempio: PD : Esiste un percorso tra Firenze e Pisa minore di 100 Km? co-pd Tutti i percorsi tra Firenze e Pisa sono NON minori di 100Km? Per rispondere calcoliamo in tempo polinomiale la distanza minima d tra Firenze e Pisa, se d< 100 la risposta a PD è SI e a co-pd è NO, altrimenti se d > 100 la risposta a PD è NO e a co-pd è SI Si può determinare la correttezza della risposta a co-pd in tempo polinomiale in questo caso co-p D NP

6 Classe Co-NP Possiamo concludere come tutti i problemi complementari di P sono ancora in P Mentre non tutti i problemi in co-np sembrano essere in NP Teorema Teorema P = co-p P NP co-np Congettura Congettura NP co-np P = NP co-np NP P co-np

7 Riduzioni polinomiali Una funzione f: T* T* è detta computabile in tempo polinomiale se esiste una macchina di Turing limitata polinomialmente che la computi. Siano L 1 e L 2 T* due linguaggi. Una funzione τ : T* T* è detta una riduzione polinomiale di L 1 a L 2 se per ciascun x T* segue che x L 1 se e solo se τ(x) L 2 Algoritmo per A Si x τ τ(x) Algoritmo per B Istanza di A Istanza di B No Pertanto se B e un problema noto ed è possibile ricondurre il problema A al problema B con una trasformazione polinomiale P ovvero A P B si possono trovare le soluzioni per il problema A. In altre parole l esistenza di una riduzione polinomiale da A a B ci dice che B è almeno difficile quanto A. Pertanto: - Se B è risolvibile polinomialmente lo è anche A - Se A richiede un tempo esponenziale (non polinomiale) anche B richiederà un tempo esponenziale.

8 Esempio di riduzione Riduzione del problema CICLI HAMILTONIANI a SODDISFACIBILITA Dato un Grafo G =(N,V) con N= {1,2,...n}. l obiettivo è quello di definire una trasformazione τ che produca una formula booleana in CNF, τ (G), tale che G ha un ciclo Hamiltoniano se e solo se τ (G) è soddisfacibile. La formula τ (G) contiene n 2 variabili x ij con 1 i,,j n. Ciascuna x ij viene interpretata nel seguente modo il nodo i di G è il j-esimo nodo del ciclo Hamiltoniano di G ESEMPIO: A B E F G D A C nodi di G J-esimo nodo del ciclo B C D Nodi del ciclo Rappresentato come E F G Nodi del grafo A B C D E F G Evidentemente sulla matrice è possibile rappresentare ogni possibile ciclo del grafo. L obiettivo della riduzione è quello di costruire un sistema di vincoli costituito da clausole che caratterizzino un ciclo hamiltoniano.

9 Esempio di riduzione cont. a partire da una matrice di n 2 elementi rappresentata da x 11 x x 1n si introducono i due seguenti vincoli: x 21 x x 2n.... x 1n. x nn (x 1j x 2j,... x nj ) (x ij x ik ) ovvero x ij x ik per i,j,k=1,...,n e j k - Il primo vincolo ci dice che almeno un nodo deve far parte del ciclo (almeno un letterale deve essere soddisfatto); - il secondo ci dice che due elementi della medesima riga non sono a 1 ovvero il medesimo nodo i non può apparire due volte nel ciclo. Questi due vincoli garantiscono che esattamente un nodo appare come i-esimo nel ciclo Hamiltoniano. Tuttavia occorre precisare che il nodo i deve apparire esattamente una volta nel ciclo. Questo si ottiene con le seguenti clausole, trasposte rispetto alle precedenti: ( x i1 x i2,..., x in ) e (x ij x kj ) ovvero x ij x kj per i,j,k=1,...,n e i k -Un nodo i deve essere associato ad un nodo j del ciclo; - Sul medesimo nodo j del ciclo non possono esserci due nodi diversi

10 Esempio di riduzione cont. Quello che abbiamo ricavato è una biiezione ovvero una permutazione dei nodi di G. Ma non abbiamo vincolato questa permutazione ad essere un ciclo di G. Questo può essere ottenuto con il seguente vincolo, dipendente da G (le clausole precedenti erano indipendenti dagli archi di G): x ij! x k,j+1 per j = 1,...n e per ciascuna coppia (i,k) tale che (i,k) non è un arco di G. Quello che in altre parole il vincolo significa è che se non c e un arco tra i e k i due nodi non possono apparire consecutivamente nel ciclo ovvero come nodo j-esimo e nodo j+1-esimo del ciclo. Si osservi che la somma j+1 è fatta modulo n cioè n+1 = 1. La costruzione richiede O(n 3 ) clausole e quindi O(n 3 ) letterali. E possibile costruire un Macchina di Turing polinomiale che computi la funzione τ.

11 Esempio di riduzione cont. Si deve ora dimostrare che G ha un ciclo Hamiltoniano se solo se τ(g) è soddisfacibile. Supponiamo che ci sia un assegnamento t che renda soddisfacibile τ(g). Per come è costruita la trasformazione questo significa che in ogni clausola ci deve essere almeno un letterale positivo e quindi per ciascun i esattamente un t(x ij ) è vero e per ciascun j esattamente un t(x ij ) è vero. [abbiamo costruito una biiezione] Per comodità si introduce la funzione (.) che si applica sia sulle righe che sulle colonne e produce l indice per cui t(x ij ) = vero. Denotiamo con (i) l unico j per cui t(x i, (i) ) è vero Siccome si devono soddisfare anche le clausole x ij! x k,j+1 ciò significa che se i = (j) e k= (j+1) allora (i,k) è un arco di G per cui (1), (2),..., (n) è un ciclo Hamiltoniano di G. t(x 7, (7) ) t(x (4),4 ) Supposto che G abbia un ciclo Hamiltoniano, (1), (2),..., (n) è facile verificare che l assegnamento t in cui t(x ij ) è vero se e solo se j = (i), soddisfa tutte le clausole di τ(g). Es: (1)= 2, (2)= 5, (3)= 6, (4)= 7, (5 )= 4, (6)= 1, (7)= 3 (B) (E) (F) (G) (D) (A) (C)