Riduzioni che preservano l approssimazione e completezza nelle classi di approssimabilità.

Transcript

1 RISULTATI DI NON APPROSSIMABILITA Tecnica di base: gap. Riduzioni che preservano l approssimazione e completezza nelle classi di approssimabilità. Risultati negativi basati su prove verificabili in modo probabilistico (Probabilistically Checkable Proofs, PCP). 1

2 CLASSI DI APPROSSIMABILITA. NPO MIN TSP LOG-APX MIN SET COVER (?) APX MAX SAT (?) MAX CUT (?) MIN VERTEX COVER (?) MIN ΔTSP (?) PTAS MIN BIN PACKING 2

3 PTAS MIN PARTITION MIN TSP-EUCLIDEO MAX INDEPENDENT SET SU GRAFI PLANARI FPTAS MAX KNAPSACK PO MAX MATCHING 3

4 Per i problemi indicati con (?) il risultato di approssimabilità è migliorabile? Che possiamo dire in merito all approssimabilità di molti altri importanti problemi combinatori: MAX CLIQUE, MIN INDEPENDENT SET, MIN GRAPH COLORING? Servono tecniche più potenti per la dimostrazione di risultati di non approssiambilità: Riduzioni approximation preserving. Completezza nelle classi di approssimabilità. Applicazioni avanzate della tecnica del gap. Probabilistically Checkable Proofs. 4

5 RIDUCIBILITA TRA PROBLEMI DI OTTIMIZZAZIONE Dati due problemi in NPO P A e P B diciamo che esiste una riduzione approximation preserving da P A a P B (ovvero P A è AP-riducibile a P B, P A AP P B ) se esistono tre funzioni calcolabili in tempo polinomiale f, g, c tali che: f: I A I B trasforma un istanza x di P A in un istanza f(x) di P B g: I A x S B S A trasforma una soluzione y dell istanza f(x) di P B in una soluzione g(x, y) dell istanza x di P A c: R R trasforma una garanzia di qualità della soluzione y in una garanzia di qualità della soluzione g(x, y), cioè se E(f(x), y) ε allora E(x, g(x, y)) c(ε). 5

6 Dati due problemi in NPO P A e P B, se P A AP P B allora: P B APX P A APX P B PTAS P A PTAS (se c e invertibile) 6

7 Un problema PA NPO è NPO-completo (rispetto alla riducibilità AP) se ogni problema di ottimizzazione in NPO è AP-riducibile ad esso. Un problema PA APX è APX-completo (rispetto alla riducibilità AP) se ogni problema di ottimizzazione in APX è AP-riducibile ad esso. Chiaramente se dimostriamo che un problema è NPO-completo significa che esso non è approssimabile a meno che non sia P=NP. Analogamente un problema APX-completo non ammette uno PTAS a meno che non sia P=NP. 7

8 Consideriamo il seguente problema: MIN WEIGHTED SAT Data una formula Booleana w in forma normale congiuntiva con n variabili x 1,, x n ed i pesi p 1,, p n individuare una assegnazione di valori di verità τ che soddisfa w e che minimizza la funzione m(w, τ) = Σ i p i τ (x i ) dove τ(x) = 0 se x riceve valore falso e τ(x) = 1 se x riceve valore vero (se τ non soddisfa w allora m(w, τ) = 0). ESEMPIO Data la formula: (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) con i pesi p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 4, l assegnazione di valori di verità che dà il valore ottimo è x 1 =V, x 2 =F, x 3 =F 8

9 Il problema MIN WEIGHTED SAT è completo nella classe dei problemi di minimizzazione contenuti in NPO, rispetto ad AP-riduzioni. DIMOSTRAZIONE Basata sulla traccia del teorema di Cook. Modelliamo innanzitutto la soluzione di un problema di ottimizzazione in NPO con una macchina di Turing non deterministica con due nastri di output: uno (nastro 1) contenente una soluzione y ed uno (nastro 2) contente il corrispondente valore m(x, y), operante in tempo polinomiale. Siano s 0, s 1,, s r-1, s r i bit contenuti sul nastro di output 1 al termine del calcolo e siano c 0, c 1,, c m-1, c m i bit contenuti sul nastro di output 2. Chiaramente abbiamo m(x, y) = Σ i 2 i c m-i. 9

10 Applichiamo ora la stessa tecnica del teorema di Cook per mostrare che ogni problema di minimizzazione in NPO può essere ridotto (con riducibilità AP) al problema MIN WEIGHTED SAT. La formula Booleana w risultante avrà ora, oltre alle variabili previste dalla normale versione del teorema di Cook anche le variabili S(0, p( x )), S(1, p( x )),, S(p( x ), p( x )), e le variabili C(0, p( x )), C(1, p( x )),, C(p( x ), p( x )) che descrivono il contenuto dei due nastri di output al termine del calcolo (istante t=p( x )). 10

11 Abbiamo quindi che la AP-riduzione è costituita dalle seguenti funzioni: f: trasforma l istanza x del problema originario nella formula f(x) = w; i pesi delle variabili saranno tutti pari a 0 tranne quelli corrispondenti alle variabili di tipo C(i, p( x )) che saranno pari a 2 p( x )-i ; g: trasforma una soluzione dell istanza w del problema MIN WEIGHTED SAT (assegnazione di valori di verità) τ nella sequenza di bit s 0, s 1,, s r-1, s r corrispondenti ai valori di verità τ(s(0, p( x ))), τ(s(1, p( x ))),, τ(s(p( x ), p( x ))); c: è la funzione identità. QED 11

12 Una dimostrazione analoga può essere effettuata per dimostrare la completezza di MAX WEIGHTED SAT nella classe dei problemi di massimizazione in NPO, rispetto ad AP-riduzioni. Un ulteriore passo consente di mostrare che MAX WEIGHTED SAT e MIN WEIGHTED SAT sono riducibili l uno all altro e quindi entrambi sono NPO-completi rispetto ad AP-riduzioni. Utilizzando la AP-riducibilità, a partire dalla NPO completezza del problema MAX WEIGHTED SAT possiamo ora mostrare la NPO completezza di altri problemi di ottimizzazione. 12

13 Il problema MIN PROGRAMMAZIONE LINEARE 0-1 è NPOcompleto. DIMOSTRAZIONE La AP-riduzione è analoga alla riduzione utilizzata per mostrare la NPcompletezza di PROGRAMMAZIONE LINEARE 0-1 a partire dalla NP-completezza di SAT. 13

14 f: trasforma una formula Booleana in forma normale congiuntiva con variabili x 1,, x n in un sistema di disequazioni con variabili z 1,, z n (esattamente come nella riduzione tra problemi di decisione), inoltre, se p 1,, p n sono i pesi assegnati alle variabili Booleana la funzione obiettivo da minimizzare sarà Σ i p i z i; g: trasforma una soluzione con valori 0-1 del sistema di disequazioni in una assegnazione di valori di verità per la formula w (x i =V se z i =0, x i =F se z i =1); c: è la funzione identità. QED 14

15 ESEMPIO w = (x 1 x 2 x 3 ) (x 4 x 5 ) (x 2 x 3 x 4 x 5 ) con pesi p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 0, p 4 = 1, p 5 = 2 f(w) è il seguente programma lineare: min 2z 1 + 3z 2 + z 4 + 2z 5 con i vincoli: z 1 + (1 - z 2 ) + z 3 1 z 4 + (1 - z 5 ) 1 z 2 + z 3 + z 4 + z 5 1 La soluzione ottima è z 1 = 0, z 2 = 0, z 3 = 1, z 4 = 0, z 5 = 0 15

16 Enunciamo infine senza dimostrazione i seguenti risultati. Il problema MIN TSP è NPO-completo rispetto ad AP-riduzioni. MAX BOUNDED WEIGHTED SAT Data una formula Booleana w in forma normale congiuntiva con n variabili x 1,, x n, un valore W e pesi p 1,, p n che soddisfano W Σ i p i 2W, individuare una assegnazione di valori di verità τ che soddisfa w e che massimizza la funzione m(w, τ) = max (W, Σ i p i τ(x i )) se τ soddisfa w, W altrimenti dove τ(x) = 0 se x riceve valore vero e τ(x) = 1 se x riceve valore falso. Il problema MAX BOUNDED WEIGHTED SAT è APX-completo rispetto ad AP-riduzioni. 16

17 Per dimostrare altri risultati di non approssimabilità le tecniche viste finora (tecnica del gap e completezza nelle classi di approssimabilità) non sono sufficienti. Sono necessarie tecniche più sofisticate. Prove verificabili in modo probabilistico (Probabilistically Checkable Proofs, PCP) Sia dato un linguaggio L appartenente ad EXPTIME; consideriamo una dimostrazione D del fatto che x L, di lunghezza esponenziale in x. Un verificatore V, volendo controllare la correttezza della dimostrazione D ma non potendo aspettare tutto il tempo necessario a controllare tutti i passaggi decide di effettuare un controllo a campione. Genera quindi una sequenza di numeri casuali; quando genera il numero h verifica se l h-esima riga della dimostrazione D è corretta. 17

18 Supponiamo che si verifichi la seguente situazione. Se x L allora esiste una dimostrazione D del tutto convincente, tale che Prob [V accetta] = 1 dopo aver controllato solo alcuni (pochi) passaggi della dimostrazione. Se x L nessuna dimostrazione può indurre troppo spesso in errore il verificatore, cioè nessuna dimostrazione è tale che Prob [V accetta] > 1/4. 18

19 Definiamo PCP [r(n), b(n)] la classe dei linguaggi accettati facendo uso al più di O(r(n)) bit random e verificando al più O(b(n)) bit della dimostrazione, n = x. EXPTIME = PCP[p(n), p(n)] con p(n) polinomio. NP = PCP[log n, 1]. NOTA BENE. Si ricordi che se L è in NP per ogni x L esiste una dimostrazione D di lunghezza polinomiale che certifica che x L. Questo risultato significa che se L è in NP, per verificare una dimostrazione che x L è sufficiente verificare un numero costante b di bit ed è sufficiente generare b log n bit random per individuare la posizione dei bit da verificare all interno della dimostrazione D. 19

20 Sfruttando la caratterizzazione di NP in termini di Probabilistically Checkable Proofs, possiamo effettuare la seguente costruzione (che consiste in una applicazione avanzata della tecnica del gap): prendiamo un linguaggio NP-completo L data un istanza x di L costruiamo in tempo polinomiale una formula w di MAX SAT con la seguente proprieta : o se x appartiene ad L w e soddisfacibile (qualunque sia la sequenza di bit che si verifica x viene accettato) o se x non appartiene ad L almeno una frazione δ delle clausole non puo essere soddisfatta (conseguenza del fatto che almeno un quarto delle sequenze di bit che si verificano porta a rifiutare x) 20

21 Piu precisamente il numero di clausole che non possono essere verificate e 1/2 (b+1) La tecnica del gap ci permette quindi di dire che MAX SAT puo essere approssimato solo fino ad una certa soglia (quindi non e in PTAS) di calcolare la soglia di approssimabilita Utilizzando riduzioni che preservano l approssimabilita o varianti opportune della stessa tecnica basata sulla caratterizzazione di NP in termini di PCP possiamo derivare altri risultati di non approssimabilita. 21

22 Alcuni risultati di approssimabilita e soglie determinate utilizzando PCP: - MAX SAT : soglia: MAX CUT : soglia: MIN ΔTSP : 1.5 soglia: < 1/ MIN VC : 2 soglia: 7/6 22