METODO DEI MINIMI QUADRATI

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1 Vogliamo determinare una funzione lineare che meglio approssima i nostri dati sperimentali e poter decidere sulla bontà di questa approssimazione. Sia f(x) = mx + q, la coppia di dati (x i, y i ) appartiene al grafico di f(x) se e solo se vale la relazione y i = mx i + q; quindi l errore δ i = mx i + q - y i misura la distanza che c è tra il dato sperimentale (x i, y i ) ed il dato teorico (x i, f(x i )).

2 Abbiamo quindi n errori δ 1, δ 2,., δ n Prendiamo come misura di quanto f(x) approssima i dati la media aritmetica degli errori elevati al quadrato: n f(m,q)= Σ (mx i + q - y i ) 2 / n i=1 Vogliamo determinare m e q in modo tale da rendere minima f(m,q)

3 Abbiamo già visto che la media aritmetica è l unico punto di minimo della funzione n f(x) = Σ (x-x i ) 2 i=1 Possiamo quindi dire che, fissato m, abbiamo che q* = y* -mx* è senz altro il valore di q che rende minima la media degli errori al quadrato. Sostituiamo q* nella media degli errori al quadrato

4 n Σ (mx i - mx*+y* - y i ) 2 / n i=1 Dobbiamo ora determinare m in modo da rendere minima la precedente funzione Se sviluppiamo il quadrato, troviamo una funzione quadratica nell incognita m f(m)= {[ Σ(x i -x*) 2 ] m 2 -[2 Σ(x i -x*)(y i -y*)] m + [ Σ(y i - y*) 2 ]}/n Il punto di minimo si ha per m*= Σ(x i -x*)(y i -y*)/ Σ(x i -x*) 2 = Cov x,y / Var x

5 Possiamo anche scrivere: m*= Σ(x i - x*)(y i - y*)/ Σ(x i -x*) 2 = = [Σ(x i y i )/n- x* y*]/[σ(x i ) 2 /n- (x * ) 2 ]= = [(x y)* - x* y*]/[(x 2 )* - (x * ) 2 ] Abbiamo quindi trovato la funzione lineare che meglio approssima i dati; rimane da stabilire la bontà dell approssimazione

6 Possiamo calcolare f(m*), il valore minimo assunto: vale a dire l ordinata del vertice della parabola- grafico della funzione da minimizzare: f(m*)=σ(y i -y*) 2 /n - [Σ(x i y i )/n - x* y*] 2 /[Σ(x i ) 2 /n- (x * ) 2 ]= Σ(y i ) 2 /n- (y * ) 2 - [Σ(x i y i )/n- x* y*] 2 /[Σ(x i ) 2 /n- (x * ) 2 ] f(m*, q*) 0 ed è f(m*, q*)=0 se e solo se le coppie dei dati stanno tutte sulla retta, per cui più f(m*, q*) è vicino a 0 e più l approssimazione è buona

7 Poiché f(m*,q*) misura la media degli errori (assoluti) al quadrato nelle ordinate, un indice migliore della bontà dell adattamento della legge lineare ai dati è f(m*,q*)/var y Si ottiene 1 - {[(x y)* - x* y*] 2 /[((x 2 )* - (x * ) 2 ) ((y 2 )* - (y * ) 2 )]} Poiché si ha f(m*,q*)/var y 0, ne segue che {[(x y)* - x* y*] 2 /[((x 2 )* - (x * ) 2 ) ((y 2 )* - (y * ) 2 )]} 1 più è vicino a 1 migliore è l approssimazione

8 La radice quadrata di {[(x y)* - x* y*] 2 /[((x 2 )* - (x * ) 2 ) ((y 2 )* - (y * ) 2 )]} è (x y)* - x* y* / sqr([((x 2 )* - (x * ) 2 ) ((y 2 )* - (y * ) 2 )] più vicina è a 1, migliore è l approssimazione. Togliendo il valore assoluto al numeratore, otteniamo il coefficiente di correlazione o coefficiente di Pearson (CP) CP= [(x y)* - x* y*]/ (DS x DS y ) [-1, 1]

9 Applichiamo dunque il metodo dei minimi quadrati per determinare la retta di regressione che più si avvicina ai dati sperimentali: Saccarosio in gr/l : s Lunghezza radice in mm: l Abbiamo visto che il coefficiente angolare della retta di regressione è dato da m = [(l s)* - l* s*]/[(s 2 )* - (s * ) 2 ] = Cov s,l / Var s, mentre il termine noto q = l* -ms* Per determinare tutti gli indici necessari costruiamo un opportuna tabella:

10 s l s 2 l 2 s l s*=20 l*=60 (s 2 )*=500 (l 2 )*=3846 (s l)*=

11 Possiamo procedere al calcolo di m e di q: m = ( (20) (60))/(500-(20) 2 ) = q = 60 - (1.4786) (20) = Vediamo se la retta approssima bene i dati sperimentali, calcolando il coefficiente di correlazione, detto anche di Pearson (CP):

12 CP =(s l)* - s* l* / sqr([((s 2 )* - (s * ) 2 ) ((l 2 )* - (l * ) 2 )] =( (20) (60)) / sqr [(500-(20) 2 ) ( (60) 2 )] = 0.94 Dunque, essendo CP vicino ad 1, l approssimazione è buona.

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14 Dall analisi grafica si osserva una certa differenza tra i dati del campione per i valori più grandi di s e quelli previsti in base al modello di regressione lineare. La crescita sembra aumentare con l aumentare del contenuto di saccarosio non linearmente, ma piuttosto con una relazione che potrebbe essere, ragionevolmente, di radice quadrata. Possiamo determinare la retta di regressione per i dati trasformati in modo da prendere ancora y=l, mentre x= s, vale a dire l(s) = m s +q. Sostituiamo quindi nella tabella precedente le opportune colonne dei dati trasformati s e s l

15 s l s l 2 s l s*=20 l*=60 ( s)*=4.31 (l 2 )*=3846 ( s l)*=276.56

16 Nella tabella precedente i dati sono stati calcolati arrotondando alla seconda cifra decimale. Calcoliamo coefficiente angolare m ed intercetta q per questa nuova retta di regressione m = [( s l)* - s* l*]/[s * - (( s) * ) 2 ] = q = = 8.75 Calcoliamo CP CP = [( s l)*- ( s) * l* ]/sqr[(s * - (( s) * ) 2 ) ((l 2 )* - (l * ) 2 )] = 17.96/ = 0.96 Quindi questa curva approssima meglio i dati.