GEOMETRIA ANALITICA 1 IL PIANO CARTESIANO

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1 GEOMETRI NLITIC 1 IL PINO CRTESINO Il piano cartesiano è costituito da due rette orientate e tra loro perpendicolari chiamate assi cartesiani, generalmente una orizzontale e l altra verticale, sulle quali viene definita una unità di misura. La retta orizzontale è detta asse x o asse delle ascisse, quella verticale asse y o asse delle ordinate. Ogni punto P sul piano cartesiano è individuato univocamente da una coppia di numeri detti coordinate del punto: il primo numero viene chiamato ascissa, il secondo ordinata, e si scrive P(x;y). La x indica la distanza del punto dall asse delle ordinate, la y la distanza dall asse delle ascisse. Il punto d incontro degli assi cartesiani viene chiamato origine O e ha coordinate O(0;0). ESEMPIO: (-; 3) y In figura sono rappresentati i punti (-; 3) e (4; -1). M pplicando il teorema di H y (4;-1) Pitagora al triangolo Ĥ è possibile determinare la x x lunghezza del segmento : (x x ) + (y y ) Nell esempio: ( 4) + (3 ( 1)) ( 6) + (4) , unità. È anche possibile determinare le coordinate del punto medio M del segmento attraverso la formula x + x y + y M ; Nell esempio: M ; ; ( 1;1 ). Il piano cartesiano permette di tradurre proprietà geometriche in relazioni algebriche. Come i punti vengono identificati da una coppia ordinata di numeri, ogni linea (retta o curva) viene identificata da un equazione nelle due incognite x e y che rappresentato l ascissa e l ordinata di un punto generico. d esempio, per due punti (x ; y ) e (x ; y ) passa una sola retta, la cui equazione è data dalla formula r y y : y y x x x x (Equazione della retta passante per i punti e ) cura della Prof.ssa Francesca Grandinetti

2 GEOMETRI NLITIC Se (-; 3) e (4; -1):. y 3 x ( ) ( ) y 3 x (y 3) (x + ) 3y + 9 x x + 3y 5 0 è l equazione della retta cercata.. Viceversa, ogni equazione del tipo x + y + C 0 rappresenta l equazione di una retta, che è possibile rappresentare sul piano cartesiano. Qualunque sia l equazione della curva, per stabilire se un punto appartiene alla curva controllo se le sue coordinate ne verificano l equazione, quindi se, sostituendo alla x e alla y dell equazione l ascissa e l ordinata del punto ottengo un identità. ESEMPIO: Stabilire se i punti P(; -1) e Q(1; ) appartengono alla curva di equazione y x 3 4x + 6. Per P sostituisco alla x il valore e alla y il valore 1 : 1 () 3 4 () è falso, quindi P non appartiene alla curva. Per Q sostituisco alla x il valore 1 e alla y il valore : (1) 3 4 (1) è vero, quindi Q appartiene alla curva. Esercizi Per ogni coppia di punti e determina: - lunghezza del segmento : (x x ) + (y y ) x + x y + y - le coordinate del punto medio M del segmento M ; - l equazione della retta passante per i due punti: r cura della Prof.ssa Francesca Grandinetti y y : y y x x x x

3 GEOMETRI NLITIC 3 1) (5;) ; (-1;-) ) (3;-3) ; (-3;3) 3) (;5) ; (-4;5) 4) (7;3) ; (-3;1) Esercizi: Stabilisci se il punto P appartiene alla curva di equazione a fianco indicata: 1) P (-3; -5) ; 3y x ) P(0; 4) ; y x 4 4 3) P(-1; 1) ; x + y x + y 5 0 4) P(0;0) ; x 6 4y + 3x 3 0 5) P(0;0) ; 3x + y x L RETT Nel piano cartesiano xoy ogni retta è rappresentata da un equazione del tipo x + y + C 0, con,, C R. L equazione fornisce la caratteristica di tutti i punti della retta. d esempio la retta di equazione x + y 5 0 è costituita da tutti i punti che hanno coordinate tali che x + y 5 : (1;4), (;3), (-1;6) saranno tutti punti della retta. Tutti i punti che si trovano sull asse x sono caratterizzati dall avere l ordinata y sempre uguale a 0, quindi la sua equazione è y 0. Seguendo lo stesso ragionamento per l asse y e per le rette parallele agli assi coordinati otteniamo: x 0 x y 0 RETT EQUZIONE asse x y 0 asse y x 0 parallela all asse x y k, con k R parallela all asse y x k, con k R y -3 cura della Prof.ssa Francesca Grandinetti

4 GEOMETRI NLITIC 4 L equazione x + y + C 0 si chiama forma implicita. Per disegnare il grafico di una retta non parallela agli assi bisogna prima di tutto scrivere l equazione nella forma esplicita y mx + q, utilizzando i due principi di equivalenza delle equazioni. d esempio: data l equazione 6x y 10 0 si applica il principio del trasporto y 6x + 10 si divide ambo i membri per 6 10 y x + semplifico le frazioni e ottengo la forma implicita dell equazione y 3x 5. questo punto si devono trovare due punti della retta dando alla variabile x due valori arbitrari, sostituirli nell equazione e trovare i corrispondenti valori di y. Le due coppie (x;y) così trovate sono due punti della retta. Nell esempio precedente: arrivati all equazione y 3x 5 trovo i punti della retta di ascissa x0 e x: x y 3x 5 0 y Il punto (0; 5) è un punto della retta y Il punto (; 1) è un punto della retta Segno i punti (0; 5) e (; 1) sul piano cartesiano e traccio la retta passante per i due punti: sarà il grafico della retta di equazione 6x y 10 0 Se nell equazione generica y mx + q sostituisco x 0 ottengo y q, quindi ogni retta passa per il punto (0;q): q viene definita quota ed è l ordinata del punto in cui la retta taglia l asse y. Tutte le rette passanti per l origine hanno q 0 e avranno, quindi, equazione y mx. Per capire il significato del coefficiente m, detto coefficiente angolare, confrontiamo il grafico delle rette, passanti per l origine, di equazioni y 3x, y x, y 4x, y x e y 1 x: cura della Prof.ssa Francesca Grandinetti

5 GEOMETRI NLITIC 5 m-3 m- m4 m m1/ ) α Osservando le rette con m positivo si nota come al crescere di m, aumenta l angolo α formata dalla retta e la direzione positiva dell asse x. Inoltre: se m > 0 α < 90 ; se m < 0 α > 90. Confrontando il grafico di due rette con lo stesso coefficiente angolare (in figura: yx 3 e yx + 1), osserviamo che, ) α ) α formando lo stesso angolo α, sono parallele. Esercizi Traccia il grafico delle seguenti rette: 1) 6x 18 0 ) 4y ) 3x + 3y 1 0 4) 5x y ) 3y 3x 0 6) 6x + y 5 0 7) 4x + y 0 8) 6x 0 9) 7y 0 cura della Prof.ssa Francesca Grandinetti

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