1 Nozioni utili sul piano cartesiano

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Fabrizio Caputo
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1 Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Il piano cartesiano è un sistema di riferimento costituito da due rette perpendicolari (una orizzontale detta asse delle ascisse x e una verticale detta asse delle ordinate y che si intersecano in un punto O chiamato origine del sistema di riferimento. Tali rette sono orientate, ossia è stabilito un verso di percorrenza: quello dell asse delle ascisse va da sinistra verso destra, quello dell asse delle ordinate va dal basso verso l alto. Inoltre su ogni retta viene stabilita un unità di misura, essa è arbitraria, ma spesso si preferisce scegliere la stessa unità di misura su entrambi gli assi. Fissato un sistema di riferimento cartesiano, possiamo rappresentare in esso tutti i punti attraverso una coppia ordinata di numeri reali (x, y chiamata coordinate del punto. Il primo dei due numeri indica la coordinata x del punto, il secondo la coordinata y. Fra i punti del piano cartesiano e le coppie ordinate di numeri reali esiste quindi una corrispondenza biunivoca: ad ogni punto P del piano corrisponde un unica coppia ordinata di numeri reali (x, y; viceversa ad ogni coppia di numeri reali corrisponde un unico punto del piano cartesiano. Gli assi cartesiani dividono il piano cartesiano in quattro angoli ciascuno dei quali viene detto quadrante: la numerazione dei quadranti segue il senso antiorario per convenzione, partendo da quello in alto a destra. Dati due punti A (x A, y B e B (x B, y B, la loro distanza (o lunghezza del segmento AB è data da: AB = (x A x B + (y A y B, che può essere dimostrata facendo uso del teorema di Pitagora (vedere un qualunque testo di scuola superiore. Le coordinate del punto medio M del segmento AB sono: x M = x A + x B, y M = y A + y B Esempio. Siano P ( 3 4, 5 e Q (, 5 due punti del piano cartesiano. Allora la lunghezza del segmento che ha per estremi questi due punti è: (3 P Q = ( = Il punto medio M ha invece coordinate: x M = Equazione della retta = 5, y M = 5 5 = 5. In un sistema di riferimento cartesiano, una qualsiasi retta è un luogo geometrico (ossia l insieme di tutti e soli i punti del piano che godono di una certa proprietà rappresentato da un equazione del tipo ax + by + c = 0 a, b, c R, a 0 o b 0

2 Equazione della retta che la forma implicita dell equazione. Affinchè si abbia una retta quindi non possiamo avere a e b contemporaneamente nulli. Se a = 0 abbiamo un equazione del tipo by + c = 0 che possiamo scrivere come y = c b o, equivalentemente, y = k con k = c b R. Equazioni di questo tipo rappresentano rette che contengono tutti i punti con ordinata k, ossia rette parallele all asse x. Esempio. La retta y = 3 è l insieme di tutti i punti con ordinata uguale a 3. È quindi parallela all asse x. Se b = 0 abbiamo un equazione del tipo ax + c = 0 che possiamo scrivere come x = c a o, equivalentemente, x = h con h = c a R. Equazioni di questo tipo rappresentano rette che contengono tutti i punti con ascissa h, ossia rette parallele all asse y. Esempio 3. La retta x = è l insieme di tutti i punti con ascissa uguale a. È quindi parallela all asse y. È facile a questo punto scrivere le equazioni degli assi cartesiani: Equazione asse x: y = 0 Equazione asse y: x = 0 Si può ricavare l equazione della retta in forma esplicita (a, b, c 0: ax + by + c = 0 by = ax c y = a b x c b da cui, ponendo m = a b e q = c, si ottiene b y = mx + q. Il numero reale m è chiamato coefficiente angolare e misura la pendenza della retta, ossia l inclinazione della retta rispetto all asse x. Il numero reale q è chiamato termine noto e indica l ordinata del punto in cui la retta interseca l asse y. Una retta di coefficiente angolare m ha equazione della forma y = mx + q. Dato un punto assegnato P (x 0, y 0, per determinare l equazione della retta passante per P occorre ricavare il valore di q. Quindi imponiamo che P passi per y = mx + q, ossia sostituiamo le coordinate di P in tale equazione: y 0 = mx 0 + q = q = y 0 mx 0. Sostituendo questo valore di q nell equazione generica della retta si ottiene: y = mx + y 0 mx 0 y y 0 = m (x x 0. Ovviamente, tale equazione rappresenta tutte le rette passanti per P (tranne quella di equazione x = x 0, ossia il fascio proprio di rette di centro P. Se vogliamo determinare una retta particolare del fascio, bisogna fissare una direzione, ossia un valore del coefficiente angolare.

3 Equazione della retta 3 Il coefficiente angolare può essere fissato o attribuendogli direttamente un valore o stabilendo che la retta del fascio che stiamo cercando sia parallela o perpendicolare a una data retta. Condizione di parallelismo: date due rette r : y = mx + q e s : y = tx + z, r s m = t. Condizione di perpendicolarità: date due rette r : y = mx + q e s : y = tx + z, r s m = t. Esempio 4. Determinare l equazione della retta passante per P (, e parallela alla retta r : x + y 3 = 0. Scriviamo r in forma esplicita: y = x + 3 da cui ricaviamo m =. Sappiamo dunque che la retta passante per P ha coefficiente angolare uguale a m. Imponendo il passaggio per P abbiamo: y = (x + y = x che è la retta cercata. Esempio 5. Scrivere l equazione della retta perpendicolare alla retta r : y = 3x + 5 e passante per l origine. Il coefficiente angolare della retta perpendicolare a r è t = 3 e siccome la retta da noi cercata passa per il punto O (0, 0 la sua equazione sarà y = 3 x. Vogliamo ora determinare l equazione di una retta passante per due punti P (x p, y P e Q (x Q, y Q. Se x P = x Q = k allora la retta è parallela all asse y e avrà equazione x = k. Se y P = y Q = k allora la retta è parallela all asse x e avrà equazione y = k. Se i punti non sono allineati, allora si calcola il coefficiente angolare: m = y Q y P x Q x P, x P x Q e si impone il passaggio della retta con tale m per uno dei due punti P o Q. Esempio 6. Determinare l equazione della retta passante per P ( 3, e Q (0,. Calcolo il coefficiente angolare: m = = 3. Impongo il passaggio di P (indifferentemente Q per questa retta: y = 3 (x + 3 = y = 3 x +. 3

4 3 Esercizi 4 3 Esercizi. Calcolare la lunghezza dei segmenti individuati dai seguenti punti nel piano cartesiano: a P ( (, e Q 3, b P ( (, 3 4 e Q, c P ( 3, e Q (0, 6 d P ( 3, e Q ( 3, e P (3, 0 e Q (, 5. La retta passante per A (, 0 con pendenza 3 in quale punto interseca l asse y? Soluzione: la pendenza di una retta non è altro che il coefficiente angolare della retta. L equazione della retta passante per A con quella pendenza è dunque: y y A = m (x x A = y 0 = 3 x 3. Il termine noto ci dice dove la retta interseca l asse y: questo punto è proprio quello di coordinate ( 0, Determinare l asse del segmento di estremi P (0, 6 e Q (8, 0. Soluzione: per definizione, l asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio. Dobbiamo quindi calcolare il punto medio M del segmento P Q. Le sue coordinate sono: x M = = 4, y M = = 3, ossia M (4, 3. L asse quindi passa per M e ha come coefficiente angolare il reciproco cambiato di segno del coefficiente angolare m della retta per P e Q. Imponiamo il passaggio per M: m = 6 8 = 3 4 = m = 4 3. y 3 = 4 3 (x 4 = y = 4 3 x 7 3. Scrivendola in forma implicita si avrà: 4x 3y 7 = Un automobile viaggia su un rettilineo alla velocità massima di 7 km orari dietro a un camion, che improvvisamente frena. Il guidatore dell auto, un po distratto, impiega,5 secondi prima di agire a sua volta sul pedale del freno. Quanti metri ha percorso l automobile in quel breve intervallo di tempo? Soluzione: trasformo in metri al secondo: v = 7m = 0 m. Conosco il tempo 3,6s s in cui voglio calcolare lo spazio e applico la formula: s = v t = 0, 5 = 30m. 4

5 3 Esercizi 5 5. Un treno viaggia alla velocità costante di 40 km/h. In quanti millesimi di secondo percorre un metro? Soluzione: trasformiamo tutte le grandezze. 40 km corrispondono a metri. In un ora ci sono 3600 secondi. Quindi il treno percorre 40 metri in 3,6 secondi, ossia la velocità è: v = 40m 3, 6s = 66, 67 m s. Siccome ci interessa in quanto percorre m: t = m 66, 67 m s = 0, 05s da cui trasformando in millisecondi (cioè moltiplicando per 000 si ottiene t = 5ms. 6. Determinare l equazione della retta r parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante passante per il punto P di ordinata. Sia A il punto di intersezione tra r e l asse x. Calcolare la lunghezza del segmento AP. 7. Determinare l estremo A del segmento AB con B (3, 4 sapendo che il punto medio è M (,. 5

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