In particolare, la forma esplicita dell equazione di una retta passante per l origine, diversa dall asse y, è:

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Fiora Bartolini
5 anni fa
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1 L RETT NEL PINO CRTESINO Ogni retta del piano cartesiano è identificata da un equazione, che si può presentare in diverse forme, tutte equivalenti tra loro. In particolare, l equazione di una retta si cerca sempre di rappresentarla in una delle due forme normali, dette rispettivamente forma esplicita e forma implicita. L equazione generale di una retta nel piano cartesiano, non parallela all asse, scritta in forma esplicita è: = m + q La retta di equazione dove m e q sono numeri reali ha il seguente grafico: In particolare, la forma esplicita dell equazione di una retta passante per l origine, diversa dall asse, è: - - La retta di equazione ha il seguente grafico: In particolare, la forma esplicita dell equazione di una retta parallela all asse, è: La rette di equazione e hanno il seguente grafico: = = L equazione generale di una retta nel piano cartesiano, parallela all asse, scritta in forma esplicita è: = = Le rette di equazione e hanno il seguente grafico:

2 Il significato dei coefficienti m e q Nell equazione della retta = m + q, il coefficiente m si chiama coefficiente angolare e il coefficiente q termine noto. Per esempio, nell equazione: = + Il coefficiente angolare è Il termine noto è Il termine noto q è l ordinata del punto d intersezione della retta di equazione = m + q con l asse. il termine (; ) noto è Il coefficiente angolare m dà invece informazioni sulla inclinazione della retta rispetto all asse : per questo motivo m viene anche chiamato pendenza della retta. Se m > La retta = m + q forma con l asse un angolo acuto m > percorrendo la retta da sinistra verso destra si sale Se m < La retta = m + q forma con l asse un angolo ottuso m < percorrendo la retta da sinistra verso destra si scende angolo acuto angolo ottuso Se m > al crescere di m le rette = m + q formano con l asse angoli acuti di ampiezza via via maggiore; in altre parole: al crescere di m si ottengono rette sempre più ripide Se m < al crescere di m le rette = m + q formano con l asse angoli ottusi di ampiezza via via maggiore; in altre parole: al crescere di m si ottengono rette sempre meno ripide m = m = - m = m = - m = / m = -/

3 L equazione generale di una retta nel piano cartesiano scritta in forma implicita è: a + b + c = dove a, b e c sono numeri reali con a e b non entrambi nulli. Osservazione: la forma implicita a + b + c = permette di rappresentare tutte le rette del piano, mentre la forma esplicita = m + q non permette di rappresentare tutte le rette del piano cartesiano, in quanto non comprende le rette parallele all asse. Se l equazione di una retta è assegnata nella forma a + b + c = si dice che l equazione è data in forma implicita; se invece l equazione di una retta è assegnata nella forma = m + q si dice che l equazione è data in forma esplicita. Per passare dalla forma implicita alla forma esplicita basta risolvere l equazione implicita rispetto a. L equazione + + = è l equazione di una retta, data i forma implicita. Risolviamo questa equazione rispetto a : bbiamo così ottenuto l equazione della retta in forma esplicita. Rette parallele Due rette non parallele all asse, di equazioni = m + q e = m + q, sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare. La condizione di parallelismo è quindi: m = m Rette perpendicolari Due rette non parallele agli assi, di equazioni = m + q e = m + q, sono perpendicolari se e solo se i loro coefficienti angolari hanno prodotto. La condizione di perpendicolarità è quindi: m m oppure m' m

4 Come determinare l equazione di una retta Sappiamo dalla geometria euclidea che una retta resta univocamente individuata quando se ne conoscono un punto e la direzione, oppure due punti. Trasferendoci nell ambito della geometria analitica, scaturiscono i seguenti problemi: a. determinare l equazione di una retta passante per due punti assegnati; b. determinare l equazione di una retta passante per un punto P(, ) e di coefficiente angolare m assegnato (il coefficiente angolare individua la direzione della retta). RETT PSSNTE PER DUE PUNTI Si dimostra che, per determinare l equazione di una retta passante per due punti (, ) e B( B, B ) assegnati, con B B, si può utilizzare la seguente formula: Si dimostra inoltre, che il coefficiente angolare m della retta passante per (, ) e B( B, B ), con B, è: B m, B Determina l equazione della retta passante per (, ) e B(, ). 5 B m B B 5 5 ( ) ossia RETT PSSNTE PER UN PUNTO E PRLLEL UN RETT DT Determiniamo l equazione della retta passante per P( ; ) e parallela alla retta r, di equazione. L equazione della retta r in forma esplicita è:, quindi il suo coefficiente angolare è m In base a quanto scritto prima, è possibile usare la seguente formula, per cui l equazione della retta passante per P( ; ) e parallela alla retta r sarà: 7 da cui B RETT PSSNTE PER UN PUNTO E PERPENDICOLRE UN RETT DT Determiniamo l equazione della retta passante per P( ; ) e perpendicolare alla retta r, di equazione. Il coefficiente angolare della retta r è ; pertanto una retta perpendicolare a r deve avere coefficiente angolare m '. La retta cercata è allora quella passante per P(;) e di coefficiente angolare m In base alla formula su scritta: da cui

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