ax 2 +bx+c è anche il trinomio che compare al I membro nelle equazioni di

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1 PARABOLA La parabola si ottiene intersecando un cono con un piano come nella figura sotto. L equazione della parabola è f(x) = ax 2 +bx+c ax 2 +bx+c è anche il trinomio che compare al I membro nelle equazioni di II grado. Parabola 1

2 Grafico di una parabola La parabola f(x) = ax 2 +bx+c è una funzione reale di variabile reale. Se a > 0 la concavità della parabola è diretta verso l alto e il vertice è il punto con l ordinata più bassa; in questo caso la funzione f(x) = ax 2 +bx+c ha come codominio y b ( il dominio è x R ) 2a Parabola 2

3 Se a < 0 la concavità della parabola è diretta verso il basso e il vertice è il punto con l ordinata più alta; in questo caso la funzione f(x) = ax 2 +bx+c ha come codominio y b 2a ( il dominio è x R ) L ASSE della parabola è una retta passante per il vertice e perpendicolare all asse delle x. Il grafico della parabola è simmetrico rispetto all asse. Parabola 3

4 La parabola come LUOGO GEOMETRICO La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano che sono alla stessa distanza da una retta chiamata direttrice e da un punto F chiamato FUOCO. Per qualunque punto P della parabola vale la relazione PF = PB Parabola 4

5 FUOCO direttrice 1. Equazione della direttrice (quando la parabola è nella forma più semplice, con l asse parallelo all asse delle y): f(x) = 1+ 4a 2. Coordinate del fuoco: F( b 2a ; 1 4a ) Parabola 5

6 Esercizio Della parabola rappresentata nella figura sotto 1. scriverne l equazione; 2. calcolarne il vertice V e il fuoco F; 3. scriverne l equazione dell asse e della direttrice. Definizioni da sapere: 1. definizione di parabola come luogo geometrico; 2. asse; 3. vertice; 4. fuoco; 5. direttrice. Procedimento da sapere: ricavare l equazione della parabola dalla definizione di luogo geometrico. Parabola 6

7 1. Qual è tra le equazioni seguenti quella di una parabola? [A] x + y 8x + 11y = 0; [B] x 2 + y 2-11 = 0; [C] x 2 + y 2 8y - 7 = 0 [D] x 2 + y 8x - 5 = Qual è tra le equazioni seguenti quella di una parabola che ha il vertice sull asse delle ordinate? [A] y = x 2 + 7; [B] y = x 2 + 5x 2; [C] y = x 2 + 3x; [D] y = x 2 + 5x. 3. Qual è tra le equazioni seguenti quella di una parabola che passa per l'origine? [A] y = 3x 2 2 ; [B] y = x 2 + 3x; [C] y = x 2 6x 6; [D] y = x 2 + 5x Quale tra le seguenti parabole passa per il punto P [3; 25]? [A] y = 3x 2 2 ; [B] y = x 2 + 3x; [C] y = x 2 6x 6; [D] y = x 2 + 5x Quale tra le seguenti parabole ha il vertice nel punto P [2; ]? [A] y = 2x 2 1 ; [B] y = x 2 + 4x; [C] y = x 2 4x 3; [D] y = x 2 4x Determinare il vertice e le intersezioni con l'asse delle x della parabola y = x 2 8x Scrivere l equazione della parabola che passa per i punti A(0; 5), B(5; 45), C(2; 3). 8. Scrivere l equazione di una parabola che ha la concavità verso l alto e il vertice nel punto V(9;0). 9. Scrivere l equazione di una parabola che ha la concavità verso il basso e il vertice nel punto V(7;0). Parabola 7

8 10. Qual è tra le equazioni seguenti quella di una parabola che ha la concavità rivolta verso il basso? (spiega la risposta scelta) [A] y = x 2 + 4x +1; [B] y = 3x 2 +2x ; [C] y = x 2 5 [D] y = 4x + x Qual è tra le equazioni seguenti quella di una parabola passante per l origine? (spiega la risposta scelta) [A] y = x 2 +3x 2; [B] y = x 2 25; [C] y = x 2 + 3x; [D] y = 5x 2 + 5x Qual è tra le equazioni seguenti quella di una parabola che ha il vertice sull asse delle ascisse? (spiega la risposta scelta) [A] y = x 2 + 4x +1; [B] y = 2x 3x 2 ; [C] y = x 2 5 [D] y = x 2 4x Qual è tra le equazioni seguenti quella di una parabola che ha il vertice nel punto V(0; 7)? (spiega la risposta scelta) [A] y = 8x 2 + x; [B] y = x 2 + 7; [C] y = x 2 14x + 2; [D] y = x Qual è tra le equazioni seguenti quella di una parabola che passa per il punto A(5, 17)? (spiega la risposta scelta) [A] y = x 2 + 5x + 3; [B] y = 5x 2 +3x; [C] y = x 2 8; [D] y = 7x x Determinare il vertice e le intersezioni con l'asse delle x della parabola y = x 2 11x +2. Parabola 8

9 16. L equazione della parabola è del tipo f(x)=ax 2 + bx + c ; a. cosa rappresenta a? b. cosa succede se nell equazione manca c? c. cosa succede se nell equazione manca b? d. cosa succede se nell equazione manca a? e. cosa succede se nell equazione mancano contemporaneamente b e c? f. cosa succede se nell equazione mancano contemporaneamente a e c? g. cosa succede se nell equazione mancano contemporaneamente a e b? 17. cos è il vertice V in una parabola? 18. cosa succede se nell equazione a è negativo? 19. cosa succede se nell equazione a è positivo? 20. Relativamente alla parabola, cosa rappresentano le soluzioni dell equazione ax 2 + bx + c =0? 21. Relativamente alla parabola, cosa significa se le soluzioni dell equazione ax 2 + bx + c =0 non sono reali? 22. La parabola f(x)=ax 2 + bx + c può essere considerata una funzione reale di variabile reale? Se la risposta è SI, quali sono il dominio e il codominio della funzione? 23. Determinare l equazione della parabola che passa per i punti C(0; 2), A(4; - 4) e B(8; 0). 24. Scrivere l equazione della parabola i cui punti sono alla stessa distanza dalla retta f(x) = 4 e dal punto P(0; 4). (Eseguire un disegno). Parabola 9

10 25. Scrivere l equazione della parabola raffigurata sotto Parabola 10

11 26. Scrivere l equazione della parabola raffigurata sotto 27. Delle seguenti parabole a Calcola il vertice b Determina i punti di intersezione con l asse delle x c Determina i punti di intersezione con l asse delle y d Dire se hanno la concavità verso l alto o verso il basso e Tracciane il grafico usando il programma Geogebra o simile 1.1 f(x) = 3x 2 + 4x 1 ; 2.1 f(x) = 6x 2 + x 7; 3.1 f(x) = x 2 7 ; 4.1 f(x) = 4x x 2 4 ; 5.1 f(x) = 3x 2 + 4x 1; 6.1 f(x) =5 x 2 ; 7.1 f(x) = 4x 2 ; Parabola 11

12 8.1 f(x) = 5x 2 ; 9.1 f(x) = 9x 2 6x + 1 ; 10.1 f(x) = x Determinare il vertice e le coordinate degli eventuali punti di intersezione con l asse delle x della parabola y = x Scrivere l equazione della parabola i cui punti sono alla stessa distanza dalla retta f(x) = 4 e dal punto P(0; 4). (Eseguire un disegno). Parabola 12

13 ESERCIZI SVOLTI 30. Parabola 13

14 Parabola 14

15 y = 1 9 x x Parabola 15

16 31. Parabola 16

17 Parabola 17

18 y = 3 8 x2 3 4 x 45 8 Parabola 18

19 32. Quali e quanti sono i punti del piano cartesiano che appartengono ad una parabola? 33. Come si può capire se un punto del piano cartesiano appartiene ad una parabola? 34. Quante rette passano per un punto del piano cartesiano? 35. Quante rette passano per due punti del piano cartesiano? 36. Quante parabole passano per un punto del piano cartesiano? 37. Quante parabole passano tre punti del piano cartesiano? 38. Com è l equazione di una parabola che ha il vertice sull asse delle ordinate? Scrivine una. 39. Nell equazione di una parabola manca il termine noto C. Cosa significa? 40. Com è l equazione di una parabola che ha la concavità rivolta verso il basso? Spiega e scrivine una. 41. Scrivi l equazione di una parabola che ha il vertice sull asse delle ascisse. Spiega quello che scrivi. 42. Nell equazione di una parabola y = ax 2 + bx + c può essere a = 0? Spiega la risposta. 43. Cosa rappresenta il termine noto C nell equazione di una parabola? 44. Com è l equazione di una parabola che passa per l origine? Scrivine una. 45. Scrivi l equazione di una parabola che ha il vertice sull asse delle ordinate e spiega quello che scrivi. 46. Scrivi l equazione di una parabola che ha il vertice nell origine; spiega quello che scrivi. 47. Dire se il punto P(0;3) appartiene alla parabola f(x)=3x 2 7x Dire se il punto P(1;6) appartiene alla parabola f(x)=5x 2 +3x Dire se il punto P(2;4) appartiene alla parabola f(x)=2x 2 +x 8 Parabola 19

20 50. Scrivere l equazione dell asse, della direttrice, le coordinate del vertice, del fuoco e di almeno 4 punti della parabola di equazione f(x)=2x 2 +x Scrivere l equazione della parabola che passa per i punti A(3;0); B(0;5) e C(6;5). 52. Scrivere l equazione della parabola che passa per i punti A(0;0); B(5;6) e C(10;0). 53. Scrivere l equazione della parabola che passa per i punti A(2;0); B( 2;4) e C(6;4). 54. Scrivere l equazione della parabola che passa per i punti A(0;0); B(3; 4) e C(6;0). 55. Scrivere l equazione della parabola che passa per i punti A(0;4); B( 3;0) e C(3;0). 56. Determinare il vertice e le intersezioni con l'asse delle x della parabola f(x) = x Determinare il vertice e le intersezioni con l'asse delle x della parabola f(x)= x Determinare il vertice e le intersezioni con l'asse delle x della parabola f(x) = x 2 10x Parabola 20

21 59. Scrivi un equazione che descriva matematicamente la parabola che segue Parabola 21

22 60. Scrivi l equazione della parabola che segue 61. Dopo aver tracciato il grafico della parabola f(x) = x 2 5x: a. Calcolare i punti di intersezione tra la parabola e la retta di equazione y = 3x 2 ; b. Scrivere l equazione della retta tangente alla parabola nell origine degli assi; c. Scrivere le equazioni delle rette tangenti alla parabola che passano per il punto A(6;0). Parabola 22

23 Intersezione tra retta e parabola e rette tangenti alla parabola L equazione di una parabola è in generale: y = ax 2 + bx +c mentre quella di una retta è y = mx + q Per trovare i punti di intersezione tra una retta e una parabola si parte dalla considerazione che i punti di intersezione sono contemporaneamente punti della retta e della parabola (nella figura i punti di intersezione sono indicati con A e B; il problema si risolve scrivendo il sistema tra la parabola e la retta: { y = ax2 + bx + c y = mx + q le soluzioni di questo sistema, se esistono, saranno le coordinate dei due punti di intersezione A e B. Risolviamo il sistema col metodo del confronto, si ottiene ax 2 + bx + c = mx + q Parabola 23

24 Questa è un equazione di II grado le cui soluzioni x1 ed x2 sono le ascisse dei due punti di intersezione tra la parabola e la retta. Portiamo tutto al I membro ax 2 + bx + c mx q = 0 e riordiniamo i termini ax 2 + bx mx + c q = 0 poiché in un equazione di II grado deve esserci un solo termine contenente la x, raccogliamola a fattore comune ax 2 + (b m)x + c q = 0 In questa equazione il termine noto è formato da c q; per identificarlo meglio, possiamo scrivere tra parentesi, (c q) ax 2 + (b m)x + (c q) = 0 infine, risolviamo l equazione, applicando la formula risolutiva delle equazioni di II grado x 1,2 = b ± b2 4ac 2a nella nostra equazione b = (b m) e c = (c q), di conseguenza x 1,2 = (b m) ± (b m)2 4a(c q) 2a Poiché nel nostro caso le soluzioni dell equazione sono le ascisse xa e xb dei due punti di intersezione A e B è meglio scrivere x A,B = (b m) ± (b m)2 4a(c q) 2a In questa equazione il discriminante b 2 4ac è dato da b m) 2 4a(c q); quindi: Parabola 24

25 1. Le soluzioni x A ed x B, dell equazione di II grado che abbiamo risolto, sono le ascisse dei due punti di intersezione tra la parabola e la retta. 2. le soluzioni x A ed x B dipendono in modo fondamentale dal valore del discriminante b 2-4ac, infatti a. se b 2-4ac > 0, le soluzioni x A ed x B sono numeri reali diversi fra loro; b. se b 2-4ac = 0, le soluzioni x A ed x B sono numeri reali uguali fra loro; c. se b 2-4ac < 0, l equazione non ha soluzioni reali. Cerchiamo di capire che significato ha ciascuna di queste situazioni nel nostro caso, cioè per l equazione di II grado che permette di ricavare, se esistono, le ascisse dei punti di intersezione tra la retta e la parabola 1. se b 2-4ac > 0, le soluzioni x A ed x B sono numeri reali diversi fra loro, questo significa che tra retta e parabola esistono due punti di intersezione separati; Parabola 25

26 2. se b 2-4ac < 0, l equazione non ha soluzioni reali; questo significa che tra retta e parabola non esistono punti di intersezione (la retta è esterna alla parabola) Parabola 26

27 3. se b 2-4ac = 0, le soluzioni xa ed xb sono numeri reali uguali fra loro; questo significa che tra retta e parabola esiste un unico punto di intersezione considerato doppio che prende il nome di punto di tangenza tra retta e parabola; in questo caso si dice che la retta è tangente alla parabola. RETTA TANGENTE ALLA PARABOLA Il punto A = B è il PUNTO DI TANGENZA della retta con la parabola Parabola 27

28 Se il discriminante dell equazione di II grado che si ottiene risolvendo il sistema tra una retta e una parabola è zero, il trinomio al primo membro dell equazione è il quadrato di un binomio; la retta sarà tangente alla parabola. viene chiamata condizione di tangenza. L ascissa del punto di tangenza è data da: x A,B = (b m) ± 2a x A,B = (b m) ± 0 2a = (b m) ± 0 2a x A,B = (b m) 2a x A = x B = x T = (b m) 2a = (m b) 2a Per calcolare il valore della y si possono usare, indifferentemente, sia l equazione della retta sia quella della parabola; la più semplice da usare è quella della retta y = mx + q, con la sostituzione x = x T = (m b) 2a Quindi (m b) y T = m + q 2a Parabola 28

29 62. Determinare i punti di intersezione tra la retta di equazione y = 2x e la parabola di equazione y = x 2 + 3x 12. Prima di risolvere l esercizio riporta in un sistema di assi cartesiani la retta e la parabola. Svolgimento: Mettiamo a sistema l equazione della retta e quella della parabola { y = x2 + 3x 12 y = 2x x 2 + 3x 12 = 2x x 2 + 3x 12 2x = 0 x 2 + x 12 = 0 x A,B = 1± ( 12) 2 x A = 8 2 = 4 e x B = 6 2 = 3 Dall equazione della retta ricaviamo y A = 2( 4) = 8 e y B = 2(3) = 6 = 1± 49 2 = 1±7 2 riepilogando, le coordinate dei due punti di intersezione sono: A( 4; 8) B(3; 6) Controlla la figura che segue Parabola 29

30 Parabola 30

31 63. Determinare i punti di intersezione tra la retta di equazione y = x 5 e la parabola di equazione y = x 2-3x 1. Prima di risolvere l esercizio riporta in un sistema di assi cartesiani la retta e la parabola. Svolgimento: Mettiamo a sistema l equazione della retta e quella della parabola { y = x2 3x 1 y = x 5 x 2 3x 1 = x 5 x 2 3x 1 x + 5 = 0 x 2 4x + 4 = 0 (il trinomio al primo membro è un quadrato di un binomio!!) In questa equazione questo significa che tra la retta e la parabola c è un solo punto di intersezione quindi, la retta è tangente alla parabola nell unico punto di intersezione la cui ascissa è data da x A,B = 4± ( 4) x A = x A = 2 = 4± 0 2 = 4 2 Dall equazione della retta ricaviamo y A = y B = 2 5 = 3 riepilogando, le coordinate del punto di intersezione (punto di tangenza) sono: A(2; 3) Controlla la figura che segue Parabola 31

32 64. Cosa significa dire che una retta è tangente ad una parabola? 65. Descrivi il procedimento per determinare la retta tangente ad una parabola che passa per uno dei suoi punti; 66. Descrivi il procedimento per determinare la retta tangente ad una parabola che passa per un punto esterno alla parabola 67. Qual è la condizione di tangenza? 68. Spiega la condizione di tangenza Parabola 32

33 69. Esiste la tangente alla parabola che passa per il suo vertice? E se si qual è la sua equazione? 70. Determinare l equazione della retta che passa per il punto (0; 0), tangente alla parabola di equazione y = x 2 8x. 71. Determinare l equazione della retta che passa per il punto (2; 2), tangente alla parabola di equazione y = x 2 x. 72. Determinare l equazione delle rette che passano per il punto A(0;-6) e tangenti alla parabola y = x Determinare l equazione della retta tangente alla parabola y = -2x e passante nel suo punto A(1;1). 74. Determinare l equazione delle rette che passano per il punto A(0; 1) e tangenti alla parabola y = x Determinare l equazione della retta tangente alla parabola y = x 2-2x +2 e passante nel suo punto A(1;-1). 76. Determinare l equazione della retta tangente alla parabola y = -x 2 -x + 6 e passante nel suo punto A(2;0). 77. Determinare i punti di intersezione della parabola y = x con la retta di equazione y = 3x 1 (tracciare parabola e retta) 78. Determinare i punti di intersezione della parabola y = x 2 4 con la retta di equazione y = 2x - 5 (tracciare parabola e retta) 79. Determinare i punti di intersezione della parabola y = x 2 6x con la retta di equazione y = 2x - 7 (tracciare parabola e retta). 80. Determinare i punti di intersezione della parabola y = x 2 5 con la retta di equazione y = 3x - 7 (tracciare parabola e retta). 81. Determinare i punti di intersezione della parabola y = x 2 8x con la retta di equazione y = x - 8 (tracciare parabola e retta) Parabola 33

34 82. Determinare il punto P della parabola y = x 2 4x, rispetto al quale la retta tangente ha coefficiente angolare m = - 5. (disegnare parabola e retta) 83. Determinare la retta tangente alla parabola y = x 2 + 4x 5 che passa per il punto P(1; 0). (disegnare, anche in modo approssimato, parabola e retta). 84. Determinare il punto P della parabola y = x 2 3x 2, rispetto al quale la retta tangente ha coefficiente angolare m = 3. (disegnare anche in modo approssimato parabola e retta) 85. Determinare la retta tangente alla parabola y = x 2 6x che passa per il punto P(1; -5). (disegnare, anche in modo approssimato, parabola e retta) 86. Determinare il punto P della parabola y = x 2 + 2x, rispetto al quale la retta tangente ha coefficiente angolare m = 5. (disegnare anche in modo approssimato parabola e retta) 87. Esistono punti del piano cartesiano per i quali non è possibile tracciare la retta tangente ad una parabola? (spiega la risposta anche con un disegno). (2 punti) 88. Può esistere una retta tangente ad una parabola che abbia coefficiente angolare m = 0? (spiega la risposta). 89. Esistono punti di una parabola per i quali la retta tangente è parallela all asse delle ascisse? (spiega la risposta). 90. Cosa si intende per condizione di tangenza?. 91. Nei calcoli per determinare le rette tangenti ad una parabola che passano per un punto P, il da cui si ricava la condizione di tangenza risulta il quadrato di un binomio. Cosa significa? (spiega la risposta). 92. Quanti punti di intersezione ha una retta tangente ad una parabola con la parabola stessa? (spiega la risposta). Parabola 34

35 93. Esistono punti di una parabola per i quali non è possibile tracciare la retta tangente alla parabola stessa? (spiega la risposta). 94. Cosa si indica con? 95. Esiste la retta tangente alla parabola y = x 2 4 che passa per il punto C(2; 0)? 96. Una parabola ha il vertice nel punto V(2; 6); scrivi l equazione della retta tangente nel vertice V. (spiega la risposta). 97. Trovare le rette tangenti alla parabola Parabola 35

36 Parabola 36

37 Parabola 37

38 Parabola 38

39 Parabola 39

40 Parabola 40

41 98. Parabola 41

42 Parabola 42

43 99. Tracciare manualmente e con Geogebra (o simile) il grafico della parabola f(x) = 16 x 2, quindi: a. Tracciare e quindi scrivere l equazione della retta tangente alla parabola nel vertice; b. Tracciare e quindi scrivere le equazioni delle rette tangenti alla parabola che passano per il punto A(8;0). Parabola 43