Appunti di Matematica 2 - Il piano cartesiano - Il piano cartesiano. Sistema di riferimento cartesiano ortogonale
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- Valerio Sartori
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1 Il piano cartesiano Sistema di riferimento cartesiano ortogonale Fissare nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale significa fissare due rette perpendicolari orientate chiamate asse e asse : la loro intersezione viene indicata con O e chiamata origine del sistema di riferimento. In questo modo ad ogni punto P del piano possiamo associare una coppia ordinata (;) di numeri reali e viceversa ad ogni coppia ordinata (;) di numeri reali corrisponde un solo punto del piano (vedi figura). Il numero si chiama ascissa del punto P e il numero si chiama ordinata del punto P. e si dicono anche coordinate del punto P. Nota E importante sottolineare che ( ) esempio la coppia ( 4 ;3) rappresenta un punto diverso da quello associato alla coppia ( ;4) ; è una coppia ordinata cioè è importante l ordine: per 3. Osservazione I punti sull asse hanno ordinata 0; i punti sull asse hanno ascissa 0. Inoltre osserviamo che i punti che si trovano nel cosiddetto I quadrante (vedi figura) hanno ascissa e ordinata positive, quelli del II quadrante ascissa negativa e ordinata positiva ecc. 1
2 Distanza tra due punti Come possiamo calcolare la lunghezza del segmento che congiunge due punti assegnati? 3;1, 6;3. Come possiamo determinare? Consideriamo per esempio ( ) ( ) Consideriamo il triangolo in figura ed applichiamo il teorema di Pitagora: In generale se ( ( ; ) ; abbiamo che ( ) + ( )
3 Nota Le misure dei cateti del triangolo corrispondono al valore assoluto della differenza tra le ascisse e il valore assoluto della differenza tra le ordinate dei punti. Se per esempio avessi ( 1;4 ( ;) 4, i cateti del triangolo avrebbero lunghezza Caso particolare E chiaro che se i punti hanno la stessa ascissa o la stessa ordinata la distanza è data dal valore assoluto della differenza delle ascisse o delle ordinate. Per esempio in figura 3 e CD D. C 3
4 Punto medio di un segmento Per determinare le coordinate del punto medio di un segmento possiamo considerare le proiezioni di, e sull asse e poi sull asse e, sfruttando un teorema dimostrato sulle rette parallele, affermare che ' ' ' ', '' '' '' ' ' e quindi: + + Esempio Consideriamo per esempio ( ;1 ( 6;3) Il punto medio del segmento risulta essere 4;. 4
5 Esercizi 1) Dati i punti ( 1; ( 7;), C( 4;6) area. ) Dati i punti ( 4;), ( 6;3), C( ;), disegna il triangolo C e determinane perimetro e [ p 16; 1 ], disegna il triangolo C e verifica che + C C e che quindi (essendo verificato il teorema di Pitagora) si tratta di un triangolo rettangolo. Determina perimetro e area. [ p, ] 3) Dati i punti ( ;), ( 4;3), C( ;6), disegna il triangolo C e determinane perimetro e area. Detto il punto medio di C, determina la lunghezza della mediana. 4) Dati i punti ( ;3), ( 7;3), C( 3;), verifica che C ) Dati i punti O ( 0;0) ; ( 4;) ; ( 4;) ; C( 0;3) [ p ; 4; ], disegna il triangolo C e detto il punto medio di. Come risulta il triangolo C? [ triangolo rettangolo ], disegna il quadrilatero OC e verifica che si tratta di un parallelogramma. Determina le coordinate del punto di incontro delle sue diagonali. 6) Dati i punti ( 1; ) ; ( 4;) ; C( 1;6 ); D( ;) [ ; ], disegna il quadrilatero CD e verifica che si tratta di un rombo. Determina perimetro e area. Determina le coordinate del punto in cui si intersecano le sue diagonali. p 0; 4; 1; ] 7) Dati i punti ( 1; 1) ; ( 4;0) ; C( 3;3) ; D( 0;) [ ( ), disegna il quadrilatero CD e verifica che si tratta di un quadrato. Determina perimetro, area e le coordinate del punto di intersezione delle sue diagonali. 8) Dati i punti ( 1; ); ( 4;1 ); C( 4;6) ; D( 1; ) [ p 4 10 ; 10; ( ;1 ) ], disegna il quadrilatero CD e verifica che si tratta di un trapezio isoscele. Determina perimetro e area. [ p ; 1 ]
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