4 2) Abbina a ciascuna fra le seguenti equazioni la corrispondente retta fra quelle raffigurate: y y x x

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1 7. SRCIZI (risposte alle pagg. ) 9 DISGNAR RICONOSCR ) Disegna a) y = x + b) y = x c) y = x d) y = e) x = le seguenti rette: f) y = x + g) y = x h) y = x i) y = x j) y = x ) Abbina a ciascuna fra le seguenti equazioni la corrispondente retta fra quelle raffigurate: i) y = x ii) y = x + iii) x = iv) y = x v) y = x vi) y = vii) y = x + viii) y = x ix) y = x + x) y = x + I D F O R U L Distanza fra due punti: d = ( x x ) + ( y y ) d = x x stessa ordinata d = y y stessa ascissa Punto medio di un segmento: x+ x x = y = y + y Due rette sono PARALLL se e solo se hanno coefficienti angolari uguali; due rette sono PRPNDICOLARI se e solo se hanno coefficienti angolari antireciproci. Proprietà fondamentale Formula per l equazione della Formula per l equazione della retta del coeff. angolare: retta passante per due punti dati: passante per ( x y ) Δy y y y y xx e avente coefficiente angolare m : m = = = Δx x x y y x x y y = m( x x ) COFFICINT ANGOLAR PARALLLISO PRPNDICOLARITA ) Determina (formula m =Δy/ Δx) il coefficiente angolare della retta passante per ciascuna coppia di punti: i) A( ) B ( ) ii) C( ) D ( 7 ) iii) ( ) F ( ) iv) G( ) H( ) v) I( ) L( ) vi) ( 7 ) N( 7) ) Data la retta 7 vii) O( ) P ( ) viii) Q ( ) R ( ) y = x riconosci quali fra le seguenti rette sono ad essa I) parallele II) perpendicolari a) y = x + b) y = x c) y = x d) x+ y+ = e) x+ y+ = ) Stabilisci quale coeff. angolare hanno tutte le rette parallele alla retta che passa per la coppia di punti: a) A ;B b) C /8 / ; D / / ; F ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ) Stabilisci quale coefficiente angolare hanno tutte le rette perpendicolari alla retta che passa per ciascuna delle tre coppie di punti a) b) c) dell esercizio precedente RTTA PR DU PUNTI 7) Scrivi l equazione della retta AB con: a) A(); B( ) e) A(); B( ) b) A( ); B( ) c) A( ); B( ) f) A( ); B( ) g) d) 7 A ; B A ; B h) A;B ( ) ( )

2 RTTA PR UN PUNTO DATO CON DATO COFFICINT ANGOLAR 8) Scrivi l equazione della retta che passa per il punto P( ) ed è parallela alla retta a) y = x + b) y = x c) y = x d) y = 7 x e) y = x f) x y+ = g) x y A;B7 i) y = j) Asse y + + = h) AB con ( ) ( ) 9) Riprendi l esercizio precedente sostituendo perpendicolare a parallela P ed è parallela alla retta a) y =x b) y =x c) y = x d) x = e) Asse x 7 C ;D ;F ) Scrivi l equazione della retta che passa per il punto ( ) f) AB con A( ); B( ) g) CD con ( ) ( ) h) F con ( ) ( ) ) Riprendi l esercizio precedente sostituendo perpendicolare a parallela ) Scrivi le equazioni delle tre altezze ( = delle rette su cui giacciono le altezze) di ABC nei seguenti casi: a) A(); B(); C(7) b) A( ); B( ); C() c) A O(); B();C( ) SU FORA SPLICITA IPLICITA ) Porta le seguenti equazioni in forma esplicita: d) A ;B ;C( ) Sarà forse ovvio ma è davvero IPORTANTISSIO fare la figura con precisione e controllare se i risultati trovati sono in accordo con essa! a) x+ y = b) x y+ = c) x+ y = d) x+ y = e) xy = ) Porta le seguenti equazioni in forma implicita: a) y = x + 8 b) y = x + x 7 c) y = x d) y = e) y = x SU APPARTNNZA INTRSZION ) Per ciascuna delle rette indicate qui a fianco determina a) y = x i) il punto di ascissa (basterà sostituire al posto di x e ricavare y!) b) y = x+ ii) il punto di ordinata (basterà sostituire al posto di y e ricavare x!) iii) il punto comune con l asse y c) x y+ = iv) il punto comune con l asse x d) y = ) Trova le coordinate del punto a) r : y = x+ r': y = x in cui si tagliano x le rette a fianco indicate b) r:x y + = r':7x+ y = c) r: y = r': x+ y = 7) Trova le coordinate dei vertici del triangolo individuato dalle rette seguenti: a) r : y =x s:xy = t:xy + = b) r: x = s: y = t : y = x SULLA DISTANZA FRA DU PUNTI 8) Calcola le distanze fra le seguenti coppie di punti: a) A;B ( ) ( ) b) A( 8 ); B( 7 ) c) A ( ;B ) ( 7) d) A( ); B e) A ( ;B ) ( ) f) A;B ( ) ( ) g) A ; B 9) Determina il perimetro del triangolo di vertici a) A( ); B( 9); C() b) D( 7); (7); F( 9) ) Trova il perimetro di PQR con P( ); Q( ); R() (il risultato conterrà una radice) ) Il triangolo di vertici D( ); ( ); F( 7) è isoscele: dimostralo e calcola la sua base Nel seguito si parlerà a volte di parallelogrammi eventualmente particolari (rettangolo quadrato). Questo argomento è trattato alle pagine del volume: vai a dare un occhiata! ) Verifica che il quadrilatero di vertici A( ); B(); C(7 ); D( ) è un parallelogrammo utilizzando: a) i coefficienti angolari b) la formula per la distanza fra due punti ) Verifica che il triangolo di vertici A( ); B( ); C() è rettangolo a) coi coefficienti angolari b) utilizzando esclusivamente la formula per la distanza fra due punti. 7 ) Verifica che il quadrilatero di vertici A( ); B ; C ; D è un quadrato a) col metodo che ti pare b) utilizzando esclusivamente la formula per la distanza fra due punti

3 SUL PUNTO DIO DI UN SGNTO ) Calcola le coordinate del punto medio del segmento AB essendo a) A( ); B( 9) b) A( ); B( ) c) A( ); B( ) d) A ( ); B( ) e) A ( ); B ( ) g) A( a+ b ab ); B( a b b) h) A( ; ); B( ; ) f) A( k ); B( ) ) Calcola le coordinate dei punti medi I L N dei lati del quadrilatero ABCD essendo A( ); B( ); C(7); D(7). Il quadrilatero che ha per vertici i punti medi dei lati di un quadrilatero qualsiasi è sempre un parallelogrammo: verificalo in questo caso particolare constatando che i lati opposti di ILN sono a due a due paralleli come direzione e uguali come lunghezza. 7) è il punto medio di PQ essendo P;Q ( ) ( ). Che coordinate ha N punto medio di P? 8) Nell esercizio si è verificato che ABCD con A( ); B(); C(7 ); D( ) è un parallelogrammo; ma allora le sue diagonali dovrebbero tagliarsi scambievolmente per metà vale a dire i loro punti medi dovrebbero coincidere. Verificalo. 9) Se ( ) è il punto medio del segmento AB e A( ) quali sono le coordinate di B? ) Se ( ) è il punto medio del segmento AB e A ( ) quali sono le coordinate di B? ) Trova le coordinate del punto R simmetrico di T( ) rispetto a S( ) ) Trova il quarto vertice del parallelogrammo che ha tre vertici in A ; B( ); C( ) VARI ) dato il triangolo ABC con A( ); B( ); C( ). Scrivi le equazioni delle mediane relative ai lati AB e AC ( = delle rette su cui giacciono tali mediane) poi determina il loro punto di intersezione. ) Dopo aver dimostrato che ABCD con ( ) A ;B( );C();D( ) è un parallelogrammo congiungi il vertice A col punto medio del lato DC e il vertice C con il punto medio N nel lato AB e verifica che i due segmenti A e CN dividono la diagonale DB in tre parti uguali D = F = FB. ) Verifica algebricamente che i tre punti A( ); B(); C( ) sono allineati. ) Verifica utilizzando esclusivamente i coeff. angolari che il quadrilatero ABCD è un parallelogrammo. 8 a) A( ;B( ) );C();D( ) b) A( ); B( ); C( ); D( ) 7) Ripeti la verifica richiesta all es. precedente utilizzando invece la formula per la distanza fra due punti. 8) Verifica utilizzando esclusivamente i coefficienti angolari che il triangolo a) ABC b) DF è rettangolo. a) A( 8 ); B(8); C( ) b) D( ); ( ); F(8 /) 9) Ripeti la stessa verifica richiesta all esercizio precedente utilizzando invece la relazione pitagorica. ) Considera il triangolo di vertici A( 8 ); B(); C() e verifica (nei tre possibili casi) che la congiungente i punti medi di due lati è sempre parallela al lato rimanente e uguale alla sua metà ) Determina il baricentro ( = punto di incontro delle mediane) e l ortocentro (delle altezze): a) di OAB con O(); A(); B() b) di DF con D(); ( ); F( ) ) Disegna i punti A( 8); B() e determina l area del triangolo OAB assumendo OA come base. ) Determina l area del triangolo che ha per vertici a) ( ); ( ); ( ) b) ( 9 ); ( ); ( ) ) Quanto misurano area e perimetro del triangolo che la retta x y + = forma con gli assi cartesiani? ) Determina le coordinate del punto di incontro degli assi di due dei lati del triangolo che ha per vertici i punti ( 7 );( );(). Verifica che anche l asse del lato rimanente passa per quel punto. [L asse di un segmento è la perpendicolare a quel segmento condotta per il suo punto medio]. ) I vertici del triangolo ABC sono: A( 7 ); B( ); C( ). Scrivi le equazioni: dell altezza e della mediana relative al lato BC; dell asse di BC; della parallela a BC passante per A. Ora BC l altezza relativa a BC l asse di BC e la parallela a BC per A determinano un rettangolo: trovane l area e determina la misura delle sue diagonali constatando che sono uguali. 7) Gli assi dei tre lati di un triangolo passano sempre per uno stesso punto che ha ugual distanza dai tre vertici del triangolo: verificalo nel caso particolare del triangolo di vertici A( ); B(8 ); C(). Quanto vale in questo caso la distanza comune?

4 RISPOST ) i) l ii) e iii) a iv) g v) f vi) d vii) h viii) i ix) b x) c ) i) / ii) iii) iv) non esiste/ è infinito v) vi) vii) viii) / a) né né b) c) d) e) né né a) m = b) m = c) m = " non esistente"" non definito"" infinito"( retta verticale) a) m = b) m = c) m = 7) a) y = x+ b) y = x c) y = x d) y = x+ 8 8 e) y = x f) y =x 7 g) y = x h) x = 8) a) y = x b) y = x + c) y = x + d) y = x + e) y = x+ f) y = x 7 g) y = x+ h) y = x 7 i) y = j) x = 9) a) y = x+ b) y = x + c) y = x+ d) y = x + e) y = x f) 7 y = x+ g) y = x+ h) y = x+ i) x = j) y = ) a) y =x b) y =x c) y = x+ 7 7 d) x = e) y = f) y = x + g) y =9x 7 h) x = ) a) y = x+ b) y = x + 7 c) y = x d) y = e) x = f) y =x g) y = x+ 9 h) y = ) a) y = x ; y = x+ 8; y = x+ b) y = x + ; y = x ; y = x + c) y = x; y = x + ; y = d) y = x + ; y = x + ; y = x ) a) y = x + b) y = x + c) y = x+ d) y = x e) y = x ) a) x+ y 8= b) x+ y= x+ y+ = c) o x y+ = oxy = d) x+ y+ 7= x y 7= e) x+ y = ) a) i) ( ) 7 ii) iii) ( ) iv) 9 b) i) ii) iii) ( ) iv) c) i) ii) iii) iv) ( ) d) i) ( ) ii) non esiste iii) ( ) iv) non esiste ) a) ( ) b) c) 7 7) a) ; ; b) ( ); ( ); 8) a) b) 7 c) d) / e) f) g) / 9) a) b) ) + 97 ) In effetti è D = DF =. base = F = 77 ) a) Due lati opposti giacciono su rette di coeff. ang. / gli altri due su rette di coeff. ang. / b) Occorrerà controllare che i lati opposti siano a due a due uguali. Si trova AB = DC = ; AD = CB =.

5 ) b) Basta verificare che la somma dei quadrati di due lati uguaglia il quadrato del lato rimanente: si potrà così concludere che il triangolo è rettangolo in virtù dell inverso del Teorema di Pitagora (pag. ). ) b) Si deve verificare che i quattro lati sono uguali e pure le diagonali sono uguali! Si trova AB = BC = CD = DA = AC = BD = = 7 d) 8 e) 8 f) k+ g) a a ) a) ( 7 ) b) c) ( ) ) ( ); ( ); ( 7 ); ( ) ; due lati opposti di ILN misurano e gli altri due 7) N 8) In effetti sia AC che BD hanno per punto medio 9) B ( ) ) 9 D ) Il punto di intersezione delle mediane è G ) R( 8) ) h) ( ; ) 7 B ) ( ); F( ) Puoi scrivere l equazione della retta che passa per di questi punti ) e verificare che anche il punto le appartiene. ) a) mab = = mdc perciò AB DC; mad = = mbc perciò AD BC b) mab = = mdc perciò AB DC; mad = = mbc perciò AD BC (entrambe verticali) 7) a) AB = = DC; AD = = BC e un quadrilatero coi lati opposti a due a due uguali è un parallelogrammo. b) AB = = DC; AD = = BC 8) a) m AB = e mbc = perciò AB BC ( ABC = 9 ) b) md = e m DF = perciò D DF DF = 9 9) a) AB = BC = AC = quindi AB + BC = + = = AC da cui ABC = 9 9 b) D = DF = F = quindi D + DF = 9 + = = F da cui DF = 9 9 ) Ad esempio i punti medi di AB e BC hanno coordinate e e la loro congiungente ha coefficiente angolare come retta e misura come segmento. Ora AC ha coefficiente angolare come retta ancora e misura come segmento cioè. A te le altre verifiche. ) a) ortocentro : ; baricentro : ( 7 ortocentro : ; baricentro : ) b) ( ) ( ) ) S (OAB) = ) a) S = b) S = ) S = p = + ) ( / /8) 7 ) y =x 9; y =x ; y =x ; y = x + ; il rettangolo ha area uguale a e le sue diagonali misurano entrambe 7) Scrivi le equazioni degli assi dei tre lati trova il punto di intersezione di due qualsiasi di tali assi e verifica che questo punto appartiene pure all asse restante. La distanza comune vale.