non solo otteniamo il valore cercato per la validità della (1.4), ma anche che tale valore non dipende da

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1 NOTE INTEGRATIVE PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 ANNO ACCADEMICO 2012/13 NOTE SULLA CONTINUITÀ UNIFORME D.BARTOLUCCI, D.GUIDO Sia f(x) = x 3, x [ 1, 1]. Si ha 1. La continuità uniforme x 3 y 3 = x 2 + xy + y 2 x y 3 x y, {x, y} [ 1, 1]. (1.1) Sia ora x 0 [ 1, 1] fissato e applichiamo la definizione di continuità. Si ha ε > 0 δ ε,x0 > 0 : f(x) f(x 0 ) < ε x [ 1, 1] : x x 0 < δ ε,x0. (1.2) Per ottenere una stima su δ ε,x0 usiamo la (1.1) x 3 x x x 0 < ε, e dunque risolvendo 3 x x 0 < ε otteniamo x x 0 < ε 3. Se ne deduce che definendo δ ε,x0 δ ε := ε 3, non solo otteniamo il valore cercato per la validità della (1.2), ma anche che tale valore non dipende da x 0. In particolare, abbiamo dimostrato che ε > 0 δ ε > 0 : f(x) f(y) < ε {x, y} [ 1, 1] : x y < δ ε. A ben vedere, questa proprietà è qualcosa di più rispetto alla continuità. Stabilisce che la continuità della f è uniforme rispetto a x 0, nel senso che comunque scelto un intervallo I A di lunghezza d < δ ε e comunque scelti due punti in I, allora la differenza (in modulo) tra i due valori assunti da f nei due punti scelti sarà minore di ε. Si può anche dire che se una funzione f : A R ha questa proprietà, allora per controllare la differenza (in modulo) tra i due valori assunti da f in due punti {x, y} A, sarà sufficiente controllare solo la distanza x y tra i punti, e non la dislocazione dei punti stessi in A. Sia f(x) = e x, x ( 4, 2]. Si ha, usando il Teorema di Lagrange, e x e y = e ξ x y e 2 x y, {x, y} ( 4, 2], (1.3) per qualche ξ (min{x, y}, max{x, y}) ( 4, 2]. Sia ora x 0 ( 4, 2] fissato e applichiamo la definizione di continuità. Si ha ε > 0 δ ε,x0 > 0 : f(x) f(x 0 ) < ε x ( 4, 2] : x x 0 < δ ε,x0. (1.4) Per ottenere una stima su δ ε,x0 usiamo la (1.3) e x e x0 e 2 x x 0 < ε, e dunque risolvendo e 2 x x 0 < ε otteniamo x x 0 < e 2 ε. Se ne deduce che definendo δ ε,x0 δ ε := e 2 ε, non solo otteniamo il valore cercato per la validità della (1.4), ma anche che tale valore non dipende da x 0. In particolare, abbiamo dimostrato che ε > 0 δ ε > 0 : f(x) f(y) < ε {x, y} ( 4, 2] : x y < δ ε. 1

2 2 D.BARTOLUCCI, D.GUIDO Sia f(x) = x, x [0, + ). Si ha la seguente disuguaglianza (vedere gli Esercizi per una dimostrazione) x y x y, {x, y} [0, + ). (1.5) Sia ora x 0 [0, + ) fissato e applichiamo la definizione di continuità. Si ha ε > 0 δ ε,x0 > 0 : f(x) f(x 0 ) < ε x [0, + ) : x x 0 < δ ε,x0. (1.6) Per ottenere una stima su δ ε,x0 usiamo la (1.5) x x 0 x x 0 < ε, e dunque risolvendo x x 0 < ε otteniamo x x 0 < ε 2. Se ne deduce che definendo δ ε,x0 δ ε := ε 2, non solo otteniamo il valore cercato per la validità della (1.6), ma anche che tale valore non dipende da x 0. In particolare, abbiamo dimostrato che ε > 0 δ ε > 0 : f(x) f(y) < ε {x, y} [0, + ) : x y < δ ε. Osservazione In tutti gli esempi di cui sopra, detto A l insieme di definizione considerato, abbiamo dimostrato in particolare che si ha f(x) f(y) ω( x y ), {x, y} A per una funzione ω = ω(t) che risulta essere sempre definita in (0, + ), non negativa, non decrescente e infinitesima per t 0 + (ovvero ω(t) = 3t, ω(t) = e 2 t, ω(t) = t 2 rispettivamente). Definizione[CONTINUITÀ UNIFORME] Una funzione f : A R si dice uniformemente continua in A (o su A) se ε > 0 δ ε > 0 : f(x) f(y) < ε {x, y} A : x y < δ ε. Tutte le funzioni degli esempi precedenti sono uniformemente continue negli insiemi di definizione considerati. Lemma 1.1 (MODULO DI CONTINUITÀ). Sia f : A R. Se esiste una funzione ω : (0, + ) [0, + ) tale che: (i) ω è non decrescente; (ii) ω(t) 0 +, t 0 + ; (iii) f(x) f(y) ω( x y ), {x, y} A, x y; allora f è uniformemente continua in A. Per definizione, ogni funzione ω con queste proprietà è un modulo di continuità per f in A. Per ipotesi, si ha ε > 0 δ ε > 0 : 0 ω(t) < ε 0 < t < δ ε. Se ne deduce che si avrà f(x) f(y) < ε {x, y} A : x y < δ ε. Osservazione La (i) non si usa nella dimostrazione e in linea di principio si può omettere nella definizione di modulo di continuità. D altra parte se ω deve stimare bene dall alto l oscillazione della funzione tra due punti avendo come argomento la distanza tra i punti (vedere la (iii)), allora è ragionevole che abbia una

3 3 proprietà di monotonia. Per esempio è quello che succede (dimostrare per esercizio) nel caso del modulo di continuità ottimale, definito da ω (0) f,a (t) := sup f(x) f(y). {x,y} A, x y t Il termine ottimale si riferisce al fatto che se t (0, + ) è fissato, allora al variare di tutte le coppie di punti tali che x y t si ha che ω (0) f,a (t) è il più piccolo numero che risulta essere maggiore o uguale della differenza f(x) f(y). In generale è molto difficile calcolare il modulo di continuità ottimale e ci si limita a delle stime come nei casi visti sopra. [FUNZIONI LIPSCHITZIANE] Ogni funzione f : A R, Lipschitziana (K-Lipschitziana) ovvero che verifica f(x) f(y) K x y {x, y} A, per qualche K 0 è uniformemente continua su A in quanto ammette il modulo di continuità ω(t) = Kt. Sono K-Lipschitziane tutte le funzioni f C 1 (E) con E compatto dato che verificano la definizione con K = max f. E [FUNZIONI HÖLDERIANE] Ogni funzione f : A R, Hölderiana (α-hölderiana) ovvero che verifica f(x) f(y) C x y α {x, y} A, per qualche C 0 e α (0, 1) è uniformemente continua in quanto ammette il modulo di continuità ω(t) = Ct α. Sono α-hölderiane tutte le funzioni f(x) = x α, x [0, + ) con α (0, 1) (vedere gli Esercizi). Sia f(x) = x 2, x A = [1, + ). Dimostriamo che non è uniformemente continua facendo vedere che ε 0 > 0 : δ > 0 {x δ, y δ } [1, + ) : x δ y δ < δ, f(x δ ) f(y δ ) ε 0. Infatti, dati ε 0 > 0, δ > 0, x 1 e posto y = x + δ 2 si ha, x 2 y 2 = (x + y)(x y) = (x + y) δ 2 > x δ 2, e risolvendo x δ 2 ε 0 risulterà x 2 y 2 ε 0 non appena { } 2ε0 x δ max δ, 1 e y δ = x δ + δ 2. Si può verificare (essenzialmente) nello stesso modo (vedere gli Esercizi) che risultano non uniformemente continue le funzioni f(x) = x 3, x A = (, 1], f(x) = e x, x A = [1, + ), f(x) = 1, x A = (0, 1]. x

4 4 D.BARTOLUCCI, D.GUIDO Il Teorema di Heine-Cantor fornisce delle condizioni sufficienti per la uniforme continuità. Theorem 1.2 (HEINE-CANTOR). Sia f : E R continua. Se E è compatto, allora f è uniformemente continua su E. Se per assurdo f non fosse uniformemente continua, allora si avrebbe ε 0 > 0 : δ > 0 {x δ, y δ } E : x δ y δ < δ, f(x δ ) f(y δ ) ε 0. Dato che δ > 0 è arbitrario, sia δ n 0 + una qualunque successione infinitesima e monotona decrescente. Allora, in particolare si avrebbe ε 0 > 0 : n N {x n, y n } E : x n y n < δ n, f(x n ) f(y n ) ε 0. Dato che E è compatto, esiste una sottosuccessione {x nk } {x n } convergente x nk x, ad un elemento x E. Dato che x n y n < δ n, si ha y nk x y nk x nk + x nk x 0, k +. Usando la continuità della funzione f (e della funzione modulo), si avrebbe ε 0 f(x nk ) f(y nk ) f(x) f(x) = 0, k +, che è chiaramente impossibile. Gli esempi di cui sopra mostrano che se E non è compatto il risultato non vale. Altre condizioni sufficienti si possono determinare introducendo ipotesi opportune. Theorem 1.3. Sia f : [1, + ) R continua. Se a R, b R tali che allora f è uniformemente continua su [1, + ). lim f(x) (ax + b) = 0, x + Se per assurdo f non fosse uniformemente continua, allora si avrebbe ε 0 > 0 : n N {x n, y n } E : x n y n < δ n, f(x n ) f(y n ) ε 0, per una arbitraria successione infinitesima e monotona decrescente δ n 0 +. Se la successione {x n } ammettesse una estratta convergente {x nk } {x n }, x nk x [1, + ), allora, procedendo come nella dimostrazione del Teorema di Heine-Cantor, si avrebbe y nk x, e in particolare, usando la continuità della funzione f (e della funzione modulo), si avrebbe ε 0 f(x nk ) f(y nk ) f(x) f(x) = 0, k +, che è chiaramente impossibile. Dunque {x n } non può avere estratte convergenti e in particolare neanche limitate (dimostrare per esercizio). Se ne deduce che x n +. A questo punto, o si osserva che per simmetria quanto detto vale necessariamente anche per y n (e dunque y n + ) o si osserva che In ogni caso si avrà y n = x n + y n x n x n x n + y n > x n δ n +, n +. ε 0 f(x n ) f(y n ) = f(x n ) (ax n + b) + (ax n + b) (ay n + b) + (ay n + b) f(y n ) che è chiaramente impossibile. f(x n ) (ax n + b) + a x n y n + f(y n ) (ay n + b) = o(1), n +,

5 5 Osservazione Traslando e/o scambiando x con x si dimostra che il risultato vale per le funzioni definite e continue su [a, + ) con a R e per funzioni definite e continue su (, a] con a R e asintoti a. In particolare il risultato vale con la stessa dimostrazione per funzioni continue f : R R che hanno asintoti sia a + che a. Il risultato non vale se per esempio si suppone f continua su (a, + ) come si deduce dal caso visto sopra della funzione f(x) = 1 x, x (0, + ) che non è uniformemente continua su (0, 1) e dunque certamente non può essere uniformemente continua su (0, + ). Il risultato non vale se per esempio si suppone f continua su (, + ) come si deduce dal caso visto sopra della funzione f(x) = e x, x (, + ) che non è uniformemente continua su [1, + ) e dunque certamente non può essere uniformemente continua su (, + ). Dal Teorema e dalla Osservazione segue per esempio che sono uniformemente continue le funzioni f(x) = e x, x (, 1], f(x) = sin (x), x (, 1], x f(x) = e x2, x (, + ), Spesso è utile avere condizioni necessarie per la uniforme continuità o anche stabilire a priori la limitatezza di una funzione data. Theorem 1.4. Sia f : A R uniformemente continua. Se A è limitato, allora f è limitata. Sia ε = 1, allora per l uniforme continuità esiste δ = δ 1 tale che f(x) f(y) 1, {x, y} A : x y < δ. Dato che A è limitato si può ricoprire con un numero finito di intervalli di ampiezza minore o uguale a δ 2. Siano quindi {I k } k=1,,n R N intervalli tali che I k δ 2, I k A, k {1,, N}, A Per ogni k {1,, N} scegliamo x k I k e poniamo M = N f(x k ). k=1 N I k. Allora, comunque scelto x A, si avrà x I m per qualche m {1,, N} e quindi risulterà k=1 f(x) f(x) f(x m ) + f(x m ) 1 + M, x A. La funzione f(x) = 1 x, x (0, 1] non può essere uniformemente continua su (0, 1] perché non è limitata. In particolare se una funzione ammette un asintoto verticale, allora non può essere uniformemente continua

6 6 D.BARTOLUCCI, D.GUIDO (dimostrare per esercizio). Il Teorema della crescita al più lineare fornisce una condizione necessaria per l uniforme continuità sui domini illimitati. Theorem 1.5 (TEOREMA DELLA CRESCITA AL PIÙ LINEARE). Sia f : [0, + ) R uniformemente continua. Allora esistono due costanti A 0 e B 0 tali che f(x) A + Bx, x [0, + ). Sia ε = 1, allora per l uniforme continuità esiste δ = δ 1 tale che Definiamo Comunque scelto x [0, + ), esiste k N tale che f(x) f(y) < 1, {x, y} A : x y < 2δ. x n = nδ, n N {0}. x k 1 x < x k. Dato che x x k 1 δ < 2δ e che x n x n 1 = δ < 2δ, n N, si avrà f(x) f(x k 1 ) + 1 f(x k 2 ) + 2 f(x 1 ) + k 1 = f(x 1 ) + x k 1 δ f(x 1 ) + x δ, dove si è usato il fatto che x k 1 = δ(k 1) x e f(x) f(y) < 1 se x y < 2δ. Concludere per esercizio la dimostrazione con lo stesso argomento facendo vedere che vale anche f(x) f(x 1 ) x δ, e che allora si possono scegliere A = f(x 1 ) f(δ) e B = 1 δ. Osservazione Traslando e/o scambiando x con x si dimostra che il risultato vale per le funzioni definite e continue su [a, + ) con a R e per funzioni definite e continue su (, a] con a R. In particolare il risultato vale con la stessa dimostrazione per le funzioni uniformemente continue f : R R che infatti verificano f(x) A + B x, x R. La funzione f(x) = x 2, x [0, + ) non può essere uniformemente continua su [0, + ) perché non ha crescita al più lineare. Lo stesso dicasi per f(x) = e x, x [0, + ). La condizione di crescita al più lineare non è sufficiente a garantire la continuità uniforme. Per esempio la funzione f(x) = x sin (x), x [0, + ) ha crescita al più lineare, è continua ma non è uniformemente continua (dimostrare per esercizio). Una condizione necessaria e sufficiente per l uniforme continuità sui domini limitati si ottiene grazie alla proprietà di estensione per continuità. Theorem 1.6 (CARATTERIZZAZIONE DELLA CONTINUITÀ UNIFORME SUI LIMITATI). (i) Sia f : A R uniformemente continua e sia x un punto di accumulazione per A. Allora esiste finito il limite lim f(x). In particolare ogni funzione uniformemente continua f : A R si può estendere per x x continuità alla chiusura di A. (ii) Sia f : A R continua. Se A è limitato, allora f è uniformemente continua se e solo se si può estendere per continuità alla chiusura di A.

7 7 (i) Sia I x un qualunque intorno limitato di x. Allora A I x è limitato e f è uniformemente continua. Quindi f è limitata in A I x. Sia {x n } una successione in A I x convergente a x, x n x. Dato che {y n } = {f(x n )} è limitata, allora esisterà una sottosuccessione convergente y nk l R. Sia x nk : f(x nk ) = y nk. Si avrà allora x nk x, f(x nk ) l, k +. Sia ora {z m } A una successione convergente a x, z m x. Dimostriamo che f(z m ) l. Per l uniforme continuità ε > 0 δ ε > 0 : f(x) f(y) < ε 2 {x, y} A : x y < δ ε. Fissato ε > 0, possiamo trovare ν ε N tale che (dimostrare per esercizio) Se ne deduce che e quindi in particolare che z m x < δ ε 2, m > ν ε e x nk x < δ ε 2, k > ν ε. z m x nk z m x + x nk x < δ ε, m > ν ε, k > ν ε, f(z m ) f(x nk ) < ε 2 m > ν ε, k > ν ε. Si può osservare a questo punto che i valori m e k sono per costruzione indipendenti, ragione per cui si può passare al limite per k + nell ultima disuguaglianza (perché vale per ogni k > ν ε ). Si trova quindi che f(z m ) l = lim f(z m) f(x nk ) ε k + 2 m > ν ε. Riassumendo, dato che ε 2 < ε abbiamo dimostrato che ε > 0 ν ε : f(z m ) l < ε, m > ν ε, ovvero che f(z m ) l. Dato che {z m } A è arbitraria, concludiamo che lim x x f(x) = l R. (ii) Prima Dimostrazione della parte (ii). Se f è uniformemente continua, allora dalla parte (i) si può estendere per continuità ad ogni x A \ A ponendo f(x) = lim x x f(x). Viceversa, supponiamo che f : A R (che è continua per ipotesi) si possa estendere per continuità ad una funzione f definita sulla chiusura A di A. Dato che A è limitato, allora A è compatto. La funzione f : A R è continua sul compatto A e dunque per il Teorema di Heine-Cantor è uniformemente continua. In particolare f è uniformemente continua in quanto restrizione di f ad A. Seconda Dimostrazione della parte (ii). Se f è uniformemente continua, allora dalla parte (i) si può estendere per continuità ad ogni x A \ A ponendo f(x) = lim x x f(x). Viceversa, supponiamo che f : A R (che è continua per ipotesi) si possa estendere per continuità alla chiusura A di A. Se per assurdo f non fosse uniformemente continua, allora ε 0 > 0 : n N {x n, y n } A : x n y n < δ n, f(x n ) f(y n ) ε 0, per una arbitraria successione infinitesima e monotona decrescente δ n 0 +. Dato che A è limitato, allora {x n } ammette una estratta convergente, x nk x A. Procedendo come nella dimostrazione del Teorema di Heine-Cantor, si ha y nk x, e in particolare, se x A, allora usando la continuità della funzione f (e della funzione modulo), si avrebbe ε 0 f(x nk ) f(y nk ) f(x) f(x) = 0, k +,

8 8 D.BARTOLUCCI, D.GUIDO che è chiaramente impossibile, mentre se x A \ A, allora dalla parte (i) (e usando la continuità della funzione modulo), si avrebbe che è chiaramente impossibile. ε 0 f(x nk ) f(y nk ) l l = 0, k +, Altri risultati rilevanti per lo studio dell uniforme continuità e la cui dimostrazione è lasciata per esercizio sono i seguenti. Teorema E1 Siano h : A R e g : A R due funzioni uniformemente continue. La funzione somma h + g è uniformemente continua. Inoltre si ha: (i) Se h e g sono limitate, allora h g è uniformemente continua su A. (ii)se A è limitato, allora h g è uniformemente continua su A. Suggerimento. La proprietà della somma è immediata. Se h e g sono limitate, per controllare h(x)g(x) h(y)g(y), sommare e sottrarre le quantità opportune per avere h(x)g(x) h(y)g(y) h(x) h(y) g(y) +... Teorema E2 Siano a < c +, b (a, c) e sia f : (a, c) R. Se f è uniformemente continua in (a, b), in (b, c) e continua in b, allora f è uniformemente continua in (a, c). Suggerimento. La dimostrazione per assurdo del Teorema di Heine-Cantor funziona anche in questo caso. Teorema E3 Siano f : A R e g : I J A due funzioni uniformemente continue. Allora la funzione composta f g : I R è uniformemente continua. Suggerimento. Vedere gli Esercizi. Teorema E4 Sia f : A R. Allora f è uniformemente continua per ogni coppia di successioni {x n } A, {y n } A tali che x n y n 0, si ha f(x n ) f(y n ) 0, n +. Suggerimento. Posto y 0 A e y n y 0, n N, osservare che l ipotesi x n y n 0 = f(x n ) f(y n ) 0 equivale alla continuità. Inoltre, nei ragionamenti per assurdo svolti sin qui si usa il fatto che se f non è uniformemente continua, allora si può costruire una coppia di successioni che verifica x n y n 0 ma f(x n ) f(y n ) non converge a 0. Dunque una implicazione è già nota. Vedere gli Esercizi per la soluzione degli esercizi proposti sopra e dei seguenti. ESERCIZIO: Sia f(x) = arctan (x) x, x A = [0, + ). Dimostrare che f è uniformemente continua. ESERCIZIO: Sia f(x) = arctan ( 5 x), x A = [0, + ). (i) Dimostrare che f è uniformemente continua. (ii) Dimostrare che f è α-hölderiana con α = 1 5 e determinare un modulo di continuità. ESERCIZIO: Sia f(x) = sin (x 2 ), x A = [1, + ). Dimostrare che f ha crescita al più lineare, ma non non è uniformemente continua. ESERCIZIO: Sia f(x) = x sin ( ) 1 x + sin (x 2 ) 1+, x A = (0, + ). x Dimostrare che f è uniformemente continua.

9 ESERCIZIO: Sia f : [0, + ) R convessa, decrescente e continua in x = 0. Dimostrare che f è uniformemente continua. 9