ESERCIZI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI - FOGLIO N. 4

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1 ESERCIZI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI - FOGLIO N. 4 CDL IN MATEMATICA, A.A. /3 (A. MALUSA) Esercizio. Sia f C(A, R n ), A R R n aperto. Dimostrare che le iterate di Picard relative al problema di Cauchy x = f(t, x) x(t ) = x costruite in un opportuno intorno di t, sono equicontinue ed equilimitate. Utilizzare questa informazione per determinare una soluzione del problema di Cauchy. Soluzione. Siano a,b, M e δ fissati come al solito e sia I δ = [t δ, t +δ]. La dimostrazione (fatta nel corso della dimostrazione del Teorema di esistenza ed unicità) del fatto che le iterate di Picard x (t) = x t I δ. x k+ (t) = x + f(s, x k (s)) ds t verificano la stima x k (t) x b, t I δ usa solo l ipotesi di continuità del campo f, quindi resta valida. Da tale stima segue che x k (t) x + b per t I δ, quindi la successione è equilimitata in C(I δ, R n ). D altra parte, x k C (I δ, R n ) e x k+ (t) = f(t, x k (t)) M, t I δ quindi la successione è equilipshitziana. Per il Teorema di Ascoli Arzelà, esiste una sottosuccessione x kj } ed una funzione x C(I δ, R n ) tali che x kj } converge uniformemente ad x in I δ. Poichè f(t, x) è continua nel compatto I δ B b (x ), allora, per il Teorema di Heine Cantor, è anche uniformemente continua e, come abbiamo visto nella dimostrazione del Teorema di Peano, questo basta a garantire che anche la successione f(t, x kj (t)) converga uniformemente in I δ alla funzione f(t, x(t)). Questo è quanto serve per passare al limite nell espressione x k+ (t) = x + f(s, x k (s)) ds t t I δ per ottenere che il limite x della sottosuccessione sia una soluzione della formulazione integrale del problema di Cauchy. Esercizio. Sia f C(R ) localmente lipschitziana in t uniformemente in x R. Dimostrare che se f(t, x ), allora il problema di Cauchy x = f(t, x) x(t ) = x ha un unica soluzione definita in un opportuno intorno di t. soluzioni della forma t = t(x)) (Suggerimento: cercare

2 CDL IN MATEMATICA, A.A. /3 (A. MALUSA) Soluzione. Visto che f(t, x ) e che la funzione f è continua, è possibile determinare a, b > tali che f(t, x) per (t, x) nel rettangolo R = [t a, t + a] [x b, x + b]. Supponiamo che f(t, x) sia positiva in R (se è negativa il ragionamento è analogo). Osserviamo che se esiste un unica soluzione locale t(x) del problema di Cauchy () t (x) = t(x ) = t f(t(x), x) definita su un sottointervallo di [x b, x + b] a valori in [t a, t + a], allora, grazie all equazione, risulta t (x) > e quindi t è una funzione invertibile con inversa x(t) definita in un sottointervallo di [t a, t + a] a valori in [x b, x + b]. Inoltre x(t ) = x e x (t) = t = f(t, x(t)) (x(t)) ossia x(t) è l unica soluzione locale del problema di Cauchy che ci interessa. Sia L tale che f(t, x ) f(t, x ) L t t per ogni (t, x ), (t, x ) R e sia < m = min R f(t, x). Ovviamente il campo /f(t, x) ristretto ad R risulta essere continuo. Mostriamo che è anche lipschitziano in t uniformemente in x: f(t, x ) f(t, x ) = f(t, x ) f(t, x ) f(t, x )f(t, x ) L m t t, (t, x ), (t, x ) R. Quindi, una volta osservato che m = max R f(t, x), applicando il Teorema di esistenza ed unicità in ipotesi di lipschitzianità, otteniamo che esiste un unica soluzione t(x) del problema di Cauchy () definita nell intervallo [x δ, x + δ], con δ = minb, am}. Per quanto detto prima, questo ci garantisce l esistenza e l unicità locale della soluzione del problema di partenza. Esercizio 3 (Criterio dell asintoto orizzontale). Sia f : [x, + ) R una funzione derivabile e tale che i) esiste finito il lim x + f(x); ii) esiste il lim x + f (x) = l; allora l =. Soluzione. Basta applicare il Teorema di de l Hopital al rapporto f(x)/x: visto che esiste il lim x + f (x) = l, allora deve essere l = lim f(x) (x) = lim x + x + x =. Esercizio 4. Studiare qualitativamente le soluzioni dei problemi di Cauchy x = x 3 x x() = x

3 ESERCIZI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI - FOGLIO N. 4 3 al variare di x R, determinandone il dominio massimale, le proprietà di monotonia e di convessità. Soluzione. Il campo f(x) = x 3 x è di classe C, quindi siamo in ipotesi di esistenza ed unicità delle soluzioni. Infine il campo è dispari, quindi se x(t) è la soluzione corrispondente ad un dato x, allora x(t) è la soluzione del problema di Cauchy con dato x() = x. Quindi ci basta descrivere le soluzioni corrispondenti a dati positivi e poi ottenere le altre per simmetria. Abbiamo tre soluzioni stazionarie, x(t) =, x(t) = e x(t) = definite su tutto R. In particolare, per < x <, la corrispondente soluzione è limitata e quindi globale. Inoltre ha derivata negativa, quindi è strettamente decrescente ed esistono i limiti lim x(t) = l, t lim x(t) = l. t + Essendo x = x 3 x, esistono anche i limiti della derivata e, per il criteri dell asintoto dovrà valere = l 3 i l i, i =,. Quindi gli asintoti orizzontali delle soluzioni devono necessariamente coincidere con i valori di equilibrio e, in questo caso, avremo lim x(t) =, lim t x(t) =. t + Infine, per il Teorema di regolarità, la soluzione è almeno di classe C (in realtà è analitica) e, derivando l equazione, si ottiene x (t) = (3x (t) )x (t) = (3x (t) )x(x ). In particolare, la soluzione cambia concavità in t tale che x(t) = / 3: è concava per t < t e convessa per t > t (ricordiamo che x(t) è decrescente). Se x >, la soluzione x(t) è crescente e convessa. Indichiamo con (T min, T max ) il suo massimo intervallo di definizione. Poiché < x(t) < x per ogni t (T min, t ), abbiamo che T min = e, utilizzando nuovamente il criterio dell asintoto orizzontale, concludiamo che lim x(t) =. t Per quanto riguarda T max, ricordiamo che, essendo f(x ) > e t =, deve essere T max = lim x + x x ξ 3 ξ dξ e l integrale improprio è convergente, quindi si ha esplosione in tempo finito: lim x(t) = +. t Tmax Il grafico di alcune soluzioni del problema è descritto in Figura. Osserviamo che il problema si può risolvere esplicitamente per separazione di variabili: dopo l integrazione si ottiene la relazione x (x log ) x (x ) = t

4 4 CDL IN MATEMATICA, A.A. /3 (A. MALUSA)..5.5 Figura. Alcune traiettorie dell Esercizio 4 da cui si ricava, ad esempio per x > x(t) = ottenendo il tempo esatto di esplosione., t < x e x t Esercizio 5. Data l equazione differenziale log x x, x = ( x t ), t > i) determinare le soluzioni della forma x(t) = mt, m R; ii) determinare gli intervalli massimali nei quali sono definite le soluzioni dei problemi di Cauchy con dato x() = x, x R. Soluzione. i) Deve essere m = (m ), quindi, se indichiamo con m = 3 5 e m = 3+ 5, si hanno le due soluzioni x(t) = m t, x = m t definite su (, + ). ii) Si tratta di un equazione omogenea, che, scritta nella nuova variabile z(t) = x(t)/t, diventa tz + z = (z ) = z = t (z m )(z m ). Per determinare le soluzioni corrispondenti valori iniziali del tipo z() = z m, m possiamo procedere per separazione di variabili: z(t) dξ = log t = log (z(t) m )(z m ) (ξ m )(ξ m ) 5 (z(t) m )(z m ) = log t. Una volta osservato che, per il Teorema di esistenza ed unicità, z(t) m i ha lo stesso segno di z m i, i =,, possiamo togliere il valore assoluto ed esplicitare z(t): ( (z(t) m )(z m ) (z(t) m )(z m ) = t 5 = z(t) z ) m t 5 z m = m m t 5 z m z m da cui si ricava x(t) = m z m z m m t 5 z m z m t t 5

5 ESERCIZI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI - FOGLIO N. 4 5 definita nella componente connessa dell insieme t > : t 5 (z m )/(z m )} che contiene t =. Quindi, se (z m )/(z m ) < (ossia se m < z < m ) la soluzione è definita per t >. Se invece z < m, allora < (z m )/(z m ) <, la soluzione è definita sulla semiretta ((z m )/(z m ), + ). Infine,se z > m, allora (z m )/(z m ) > e la soluzione è definita in (, (z m )/(z m )). Esercizio 6. Dimostrare che tutte le soluzioni massimali dei problemi di Cauchy x = x 6 cos x x() = x sono definite su tutto R (nonostante il secondo membro non sia sublineare). Il secondo membro f(x) = x 6 cos x verifica le ipotesi del Teorema di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy e l equazione ha soluzioni costanti x(t) = π/ + kπ, t R, k Z. Ogni altra soluzione corrisponente a x π/ + kπ è limitata: dato k tale che π/ + k π < x < π/ + (k + )π, la soluzione corrispondente verifica π/ + k π < x(t) < π/ + (k + )π in tutto il suo insieme di definizione. Quindi è definita su tutto R. Esercizio 7. Siano f, g C (R ) tali che xf(x, y) = yg(x, y) in R. Dimostrare che tutte le soluzioni massimali del sistema x = f(x, y) y = g(x, y) sono definite su tutto R. Soluzione. Se (x(t), y(t)), t I, è soluzione del sistema, allora d dt (x(t) + y(t) ) = x(t)x (t) + y(t)y (t) = (x(t)f(x(t), y(t)) + y(t)g(x(t), y(t))) =, t I. Quindi esiste c > tale che x(t) + y(t) conseguenza, globale. = c, per cui la soluzione è limitata e, di Esercizio 8. Dimostrare che le soluzioni massimali dei problemi di Cauchy x = xe xy y = ye xy x(t ) = x y(t ) = y sono definite su tutta la semiretta [t, + ). Soluzione. Se (x(t), y(t)), t I, è soluzione del sistema, allora d dt (x(t) + y(t) ) = x(t)x (t) + y(t)y (t) = (x(t) + y(t) )e xy, t I. Di conseguenza, la soluzione corrispondente ad un dato iniziale (x, y ) soddisfa ossia è limitata e, dunque, globale in avanti. x(t) + y(t) x + y, t t

6 6 CDL IN MATEMATICA, A.A. /3 (A. MALUSA) Figura. Alcune traiettorie dell Esercizio 9 a) (a destra) e b) (a sinistra) Esercizio 9. (Sistemi hamiltoniani) Sia h C (R ). primo per il sistema x = h y (x, y) y = h x (x, y). Dimostrare che h è un integrale Utilizzare questo risultato per disegnare nel piano delle fasi le traiettorie dei sistemi x = y x = y a) y b) = x. y = 4x. Soluzione. Se (x(t), y(t)), t I, è soluzione del sistema, allora d dt h(x(t), y(t)) = h x(x(t), y(t))x (t) + h y (x(t), y(t))y (t) =, t I ossia la funzione h è costante lungo le soluzioni del sistema. Nel caso del sistema a), deve essere h x = x e h y = y, quindi l hamiltoniana è h(x, y) = y x e le traiettorie soddisfano l equazione y x = c. Il ritratto di fase è quindi dato dalle due bisettrici (per c = ) e rami di iperboli (si veda Figura a destra). Analogamente, per il sistema b) deve essere h x = 4x e h y = y, quindi l hamiltoniana è h(x, y) = y + x e le traiettorie soddisfano l equazione y + x = c. Il ritratto di fase è quindi dato da ellissi centrate nell origine (si veda Figura a sinistra). Esercizio. a) Dimostrare che se i) X è uno spazio di Banach in cui è definita una relazione d ordine ; ii) Γ: X X è un applicazione che preserva l ordine e tale che esista v X, v = lim n Γ n (u) per ogni u X (v punto fisso attrattivo per Γ) allora u Γ(u) u v b) Applicare questo ad X = C([, ], [, + )) con l usuale relazione d ordine ed all applicazione Γ(u)(t) = K + k(s)u(s) ds, K >, k C([, ], [, + )). Cosa si ottiene? (per la seconda parte è utile ricordare che il simplesso j = (s, s,..., s n ): s n... s s t} è la n!-sima parte del cubo n-dimensionale di lato t).

7 ESERCIZI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI - FOGLIO N. 4 7 Soluzione. a) Se u Γ(u), visto che Γ preserva l ordine, si ha Γ(u) Γ (u) e quindi u Γ (u). Per induzione, otteniamo che u Γ n (u), n N e, passando al limite su n, si conclude che u v. b) Nel caso specifico, la condizione u Γ(u) corrisponde a () u(t) K + k(s)u(s) ds, t [, ], ossia ad una stima dello stesso tipo dell ipotesi del Lemma di Gronwall. Tale stima, per il punto a), implica che u v, posto che esista v = lim n Γ n (u). Calcoliamo le iterate di Γ: ( s ) Γ (u) = K + Kk(σ) dσ + k(σ)k(s)u(s) dσ ds. Γ 3 (u) = Γ(Γ (u)) = K + + ( τ k(τ) Kk(σ) dσ Ora basta osservare che e che Quindi con G j (t) = s s sj E j (t) = G j (t) k(τ)γ (u)(τ) dτ = K + K k(τ) dτ ) ( τ ( s dτ + + k(τ) s s sj k(s )k(s ) k(s j ) ds ds... ds j = j! u k j V ol( k j j) u. j! n j= k j tj j! ) ) k(σ)k(s)u(σ) dσ ds dτ. ( k(s )k(s ) k(s j )u(s j ) ds ds... ds j n Γ n = K G j (t) + E n (t), j= = lim j + G j(t) = e k t e lim j + E j =. ) j k(s) ds Di conseguenza, esiste una funzione v C([, ], [, + )) tale che Γ n (u)} converge a v uniformemente in [, ]. In particolare, v verifica v = Γ(v), quindi v(t) = K + che è la versione integrale del problema di Cauchy v = k(t)v v() = K. k(s)v(s) ds, t [, ] In conclusione v(t) = Ke k(s) ds e ogni funzione u che verifica (), soddisfa u(t) Ke k(s) ds, t [, ]. Quindi il risultato nel punto a) è una versione generale del Lemma di Gronwall.