5.3 Alcune classi di funzioni integrabili

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1 3. Si verifichi che per ogni f, g : [a, b] R si ha f g = g + (f g) 0, f g = f + g f g; dedurne che se f, g R(a, b) allora f g, f g R(a, b). [Traccia: si osservi che basta verificare che f 0 R(a, b), e si provi che risulta osc(f 0, I) osc(f, I).] 4. Se A è un sottoinsieme di R m o di C m, una funzione f : A R si dice lipschitziana (dal nome del matematico tedesco Lipschitz) se esiste L > 0 tale che f(x) f(y) L x y m x, y A (il più piccolo numero L che soddisfa la definizione si chiama costante di Lipschitz di f). Si provi che se f R(a, b) e Φ : R R è una funzione lipschitziana, allora Φ f R(a, b). [Traccia: si provi che osc(φ f, I) L osc(f, I).] 5. Dimostrare la proposizione Si calcoli, se esiste, la misura dell insieme A = [2 2n 1, 2 2n [. n=0 7. Dimostrare che l insieme ternario di Cantor (esercizio ) è misurabile, e calcolarne la misura. 5.3 Alcune classi di funzioni integrabili Utilizzando il criterio fornito dalla proposizione si determina facilmente una prima importante classe di funzioni integrabili: quella delle funzioni monotone. Teorema Sia f : [a, b] R una funzione monotona. integrabile su [a, b]. Allora f è 351

2 Dimostrazione monotonia segue Osserviamo anzitutto che f è limitata, in quanto dalla f(x) [f(a), f(b)] se f è crescente, f(x) [f(b), f(a)] se f è decrescente. Consideriamo le suddivisioni equispaziate σ N, con nodi x i = a + i (b a) N (esempio 5.1.2). Supponendo ad esempio f crescente, si ha cosicché S(f, σ N ) = f(x i )(x i x i 1 ), s(f, σ N ) = f(x i 1 )(x i x i 1 ), S(f, σ N ) s(f, σ N ) = = [f(x i ) f(x i 1 )](x i x i 1 ) = [f(x i ) f(x i 1 )] b a N a = [f(b) f(a)]b N. Quindi, fissato ε > 0, il criterio di integrabilità (proposizione 5.1.9) è soddisfatto se si sceglie N abbastanza grande. Uniforme continuità Il nostro prossimo obiettivo è quello di dimostrare l integrabilità delle funzioni continue su un intervallo compatto. A questo scopo conviene introdurre la nozione di uniforme continuità, la quale, come suggerisce il nome, è una proprietà più restrittiva della continuità. Ricordiamo che se A è un sottoinsieme di R m (oppure di C m ) e f : A R è una funzione, dire che f è continua in A significa che x 0 A, ε > 0 δ > 0 : f(x) f(x 0 ) < ε x A con x x 0 m < δ. Definizione Sia A un sottoinsieme di R m (o di C m ) e sia f : A R una funzione. Diciamo che f è uniformemente continua in A se ε > 0 δ > 0 : f(x) f(x 0 ) < ε x A, x 0 A con x x 0 m < δ. 352

3 Come si vede, nella definizione di uniforme continuità si è spostata la stringa x 0 A dall inizio alla fine della frase. Questo fa sì che il numero δ di cui si prescrive l esistenza sia sottoposto ad una richiesta più forte: esso deve garantire che sia f(x) f(x 0 ) < ε non solo per ogni x vicino ad un fissato punto x 0, ma per ogni coppia di punti x, x 0 fra loro vicini, in qualunque parte di A essi si trovino. In definitiva: il numero δ deve dipendere da ε, ma non da x 0. La definizione di uniforme continuità si esprime bene facendo intervenire l oscillazione di f (definizione 5.2.1): f è uniformemente continua in A se e solo se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che risulti osc(f, B) = sup f inf f ε B B per ogni palla B A che abbia raggio non superiore a δ/2, ovunque si trovi il suo centro. L uniforme continuità di una funzione f si può interpretare geometricamente nel modo seguente: si consideri un rettangolo R, di base 2δ ed altezza 2ε, centrato in un punto del grafico di f; si ha continuità uniforme se per qualunque ε > 0 vi è una base δ > 0 tale che, facendo scorrere il centro del rettangolo R lungo il grafico di f, il grafico non intersechi mai i due lati orizzontali del rettangolo. Esempi (1) Siano A = [0, [ e f(x) = x 2. Per ogni intervallo I a = [a, a + δ] si ha osc(f, I a ) = (a + δ) 2 a 2 = 2aδ + δ 2 ; dunque f, pur essendo continua in [0, [, non è uniformemente continua in tale semiretta in quanto, fissato ε > 0 e comunque preso δ > 0, risulta, per valori di a sufficientemente grandi, osc(f, I a ) = 2aδ + δ 2 ε. 353

4 (2) Ogni funzione lipschitziana in un insieme A è uniformemente continua in A: dato ε > 0, basta scegliere δ = ε/l, ove L è la costante di Lipschitz di f. In particolare, le funzioni f : R R derivabili con derivata limitata sono uniformemente continue, in quanto per il teorema di Lagrange esse risultano lipschitziane con costante L sup R f. Si noti che in generale le funzioni appartenenti a C 1 (R) non sono né lipschitziane né uniformemente continue, come mostra l esempio della funzione f(x) = x 2. Come abbiamo visto, non tutte le funzioni continue sono uniformemente continue; tuttavia vale il seguente importante risultato: Teorema (di Heine-Cantor) Sia f una funzione reale, definita su un sottoinsieme compatto A di R m o di C m. Se f è continua in A, allora f è uniformemente continua in A. Dimostrazione Supponiamo per assurdo che f non sia uniformemente continua in A: allora, negando la definizione 5.3.2, troviamo che esiste ε > 0 tale che, qualunque sia δ > 0, possiamo determinare due punti x, x 0 A che verificano x x 0 m < δ, ma f(x) f(x 0 ) m ε. Scegliendo allora δ = 1/k, con k N +, per ogni k troveremo x k, x k A tali che x k x k m < 1 k, f(x k) f(x k) ε. Le due successioni {x k } e {x k } così costruite sono costituite da punti del compatto A. Per definizione di insieme compatto (osservazione ), esiste una sottosuccessione {x kn } {x k } che converge ad un punto x A; la corrispondente sottosuccessione {x k n } {x k } converge anch essa a x, dato che x kn x k n m < 1/k n 0 per n. Ma allora, essendo f continua nel punto x, si deve avere f(x kn ) f(x) e f(x k n ) f(x) per n, il che è assurdo perché f(x kn ) f(x k n ) ε per ogni n. Osservazione Il teorema di Heine-Cantor vale se A è compatto, ossia limitato e chiuso (teorema e osservazione ): il risultato è falso se A non è limitato, come mostra l esempio (1), ed anche se A non è chiuso, come mostra l esempio della funzione f(x) = 1/x, x ]0, 1] (si veda l esercizio 5.3.4). Integrabilità delle funzioni continue Proviamo ora l integrabilità delle funzioni continue su un intervallo [a, b]. Notiamo che ogni funzione continua f : [a, b] R è necessariamente limitata 354

5 (per il teorema di Weierstrass) e uniformemente continua (per il teorema di Heine-Cantor). Teorema Ogni funzione continua f : [a, b] R è integrabile in [a, b]. Dimostrazione Sia ε > 0. Poiché f è uniformemente continua, esiste δ > 0 tale che x, x [a, b], x x < δ = f(x) f(x ) < ε b a. Prendiamo, per ogni N N +, le suddivisioni equispaziate σ N i cui nodi sono x i = a + i b a (b a), i = 0, 1,..., N. Se scegliamo N >, avremo N δ x i x i 1 = b a N < δ, i = 1,..., N. Valutiamo la quantità S(f, σ N ) s(f, σ N ): si ha S(f, σ N ) s(f, σ N ) = = ( max f [x i 1,x i ] [f(ξ i ) f(η i )] b a N, ) min [x i 1,x i ] f (x i x i 1 ) = ove ξ i e η i sono rispettivamente punti di massimo e di minimo per f nell intervallo [x i 1, x i ]. Poiché, ovviamente, ξ i η i x i x i 1 < δ, avremo f(ξ i ) f(η i ) < ε, e dunque b a S(f, σ N ) s(f, σ N ) < ε b a b a N = ε N > b a. δ Per la proposizione si conclude che f è integrabile in [a, b]. Osservazione Più in generale, risultano integrabili in [a, b] le funzioni che sono limitate in [a, b] e continue salvo che in un numero finito di punti {x 1,..., x k } [a, b]. La dimostrazione di questo fatto, benché formalmente un po pesante, non è affatto difficile, e per essa si rimanda all esercizio La classe R(a, b) è considerevolmente ampliata dal seguente risultato: 355

6 Teorema Sia f R(a, b) e poniamo M = sup [a,b] f, m = inf [a,b] f. Se Φ : [m, M] R è una funzione continua, allora Φ f R(a, b). Si noti che Φ f non è necessariamente una funzione continua. Dimostrazione Fissato ε > 0, sia δ ]0, ε[ tale che t, s [m, M], t s < δ = Φ(t) Φ(s) < ε; tale δ esiste poiché Φ è uniformemente continua in [m, M] in virtù del teorema di Heine-Cantor. Poiché f R(a, b), esiste una suddivisione σ = {x 0, x 1,..., x N } di [a, b] tale che S(f, σ) s(f, σ) < δ 2. Posto I i = [x i 1, x i ], consideriamo gli insiemi Si ha allora, posto K = sup [m,m] Φ, Quindi A = {i {1,..., N} : osc(f, I i ) < δ}, B = {i {1,..., N} : osc(f, I i ) δ}. osc(φ f, I i ) < ε i A, osc(φ f, I i ) 2K i B, δ (x i x i 1 ) osc(f, I i )(x i x i 1 ) S(f, σ) s(f, σ) < δ 2 ovvero Da ciò segue (x i x i 1 ) < δ. S(Φ f, σ) s(φ f, σ) = = osc(φ f, I i )(x i x i 1 ) + osc(φ f, I i )(x i x i 1 ) i A cioè la tesi. ε(b a) + 2Kδ < ε(b a + 2K), 356

7 Esercizi Sia f : R R una funzione continua, e supponiamo che f abbia asintoti obliqui per x ±. Provare che f è uniformemente continua in R. 2. Esibire una funzione f : R R limitata e di classe C, ma non uniformemente continua su R. 3. Si provi che x α y α x y α per ogni x, y 0 e per ogni α [0, 1]; se ne deduca che se α [0, 1[ la funzione f(x) = x α è uniformemente continua in [0, [, ma non è lipschitziana in tale semiretta. 4. Si provi che per ogni α > 0 la funzione f(x) = x α non è uniformemente continua in ]0, 1]. 5. Dimostrare che ogni funzione limitata in [a, b], e continua salvo che in un numero finito di punti, è integrabile in [a, b]. 6. Sia f : [a, b] R una funzione convessa. Provare che ( ) a + b f 2 1 b a b a f(x) dx f(a) + f(b) Il teorema fondamentale del calcolo integrale Se f è una funzione integrabile secondo Riemann in un intervallo [a, b], sappiamo dalla proposizione che si ha anche f R(a, x) per ogni x [a, b]. Quindi possiamo definire la funzione F (x) = x a f(t) dt, x [a, b], che si chiama funzione integrale della f. Si noti, di passaggio, che non è lecito scrivere x f(x) dx: la variabile di integrazione non va confusa con gli a estremi dell intervallo di integrazione, esattamente come nelle sommatorie si scrive n k=0 a k e non n n=0 a n. Analizziamo le proprietà della funzione integrale F.. 357