15. Problemi di Cauchy

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1 15. Problemi di Cauchy Davide Catania Esercitazioni di Analisi Matematica 2 A.A. 2016/17

2 Consideriamo il problema di Cauchy { y (t) = f ( t,y(t) ) t I, y(t 0 ) = y 0, con I R intervallo e y 0 R. Esistenza locale. Se f : A R è continua, allora esiste almeno una soluzione definita in un intervallo contenente t 0. Esistenza locale e unicità. Se, inoltre, y f esiste ed è continua (basta f localmente lipschitziana in y), allora la soluzione esiste ed è unica. Nota. Se valgono esistenza e unicità, due soluzioni distinte (corrispondenti a diversi dati iniziali) non si intersecano mai (non si toccano).

3 Esistenza globale. Se f : J R R e f (t,y) a(t) + b(t) y t J, y R, con a,b: J R continue, allora ogni soluzione y(t) è definita per ogni t J. Nota. Basta che la precedente condizione, detta sublinearità in y, valga lungo le soluzioni, cioè f ( t,y(t) ) a(t) + b(t) y(t) t J.

4 Esercizio 1 Dimostra che la soluzione di { y = sin(t + y 2 ), y(1) = 0 esiste ed è unica, e che il suo dominio massimale di definizione è R.

5 Esercizio 2 Studia al variare di α R l applicabilità del teorema di esistenza locale al problema { y = 3 y t, y(1) = α.

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7 Esercizio 3 Determina l intervallo massimale di definizione delle soluzioni di { y = t + y 2 + 2, y(0) = 1 e y = 1 t 1 + y 2 + 2, y(0) = 1.

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9 Esercizio 4 Verifica che la soluzione di { y = (y + 1) 3 siny, y(0) = 1 2 è limitata, crescente e definita in tutto R.

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11 Esercizio 5 Studia al variare di α R la monotonia della soluzione di { y = e y (y 1)(y 2)arctant, y(0) = α.

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13 Teorema dell asintoto (orizzontale). Se f : I R è derivabile ed esistono i limiti lim f (t) = l, lim t + f (t) = m, t + con l R (cioè finito), allora m = 0. Dim. Per il teorema di Lagrange si ha che per ogni a,b I esiste c ]a,b[ tale che f (b) f (a) = f (c). b a Prendiamo a = n e b = n + 1, e mandiamo n + ; si ha c +. Abbiamo f (n + 1) f (n) lim n + (n + 1) n = lim f (n + 1) f (n) n + e lim n + f (c) = m, da cui m = 0. = l l = 0,

14 Esercizio 6 Dimostra che la soluzione di { y = (y 2)arctan 2 y, y(0) = 1 è definita in tutto R e calcola lim y(t) e lim y(t). t t +

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17 Simmetrie. (a) Se f ( t,y) = f (t,y), allora ogni soluzione è pari, cioè simmetrica rispetto all asse y. (b) Se f ( t,y) = f (t, y), allora le soluzioni y 1 (t) e y 2 (t), con y 2 (0) = y 1 (0), sono simmetriche rispetto all origine. Dunque la soluzione y(t) con y(0) = 0 è dispari, cioè simmetrica rispetto all origine.

18 Dim. (a) Posto v(t) = y( t), risulta v (t) = y ( t) ( 1) = y ( t) = f ( t,y( t) ) = f ( t,y( t) ) = f ( t,v(t) ), dunque v = f (t,v). Dunque, y(t) e v(t) risolvono lo stesso problema di Cauchy (scegliendo lo stesso dato iniziale); per unicità, v(t) = y(t), cioè y( t) = y(t), per cui y(t) è pari. (b) Analogamente.

19 Esercizio 7 Dato il problema di Cauchy { y = e y2 +t 4, y(0) = 0, (a) dimostra che esiste un unica soluzione definita in tutto R; (b) verifica se y(t) è dispari; (c) calcola lim t + y(t).

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21 Esercizio 8 (Tema d esame 14/01/2013) Considera il problema di Cauchy {y = t 4 y2 y, y(0) = y 0. Determina al variare di y 0 /= 0 se il problema ammette esistenza e unicità locale e globale. Studia monotonia, eventuali simmetrie della soluzione e i limiti agli estremi del dominio di definizione.

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24 Esercizio 9 Dato { y = arctany, y(0) = α, Dimostra che la soluzione y(t) (a) è definita in tutto R; (b) è strettamente monotona per α /= 0; (c) è convessa se α > 0, concava se α < 0. Nel caso α 0, calcola lim y(t) e lim y(t). t t +

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28 Riepilogo: studio qualitativo delle soluzioni di un problema di Cauchy. (1) Esistenza e unicità locale: soluzioni con dati iniziali diversi non si intersecano. (2) Soluzioni stazionarie y(t) = c: f (t,c) = 0 per ogni t. (3) Monotonia: studio y = f (t,y) 0. (4) Eventuali simmetrie. (5) Esistenza globale: condizione di sublinearità o esplosione. (6) Limiti agli estremi del dominio (teorema dell asintoto). (7) Convessità: studio y (t) = d f (t,y(t)) 0. dt (8) Altro.

29 Esercizio 10 Studia al variare di 0 < α < 1 la soluzione di { y = 2siny, y(0) = α.

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32 Esercizio 11 (Tema d esame 10/04/2011) Considera { y = ln(ln 2 y ), y(0) = y 0 > 0. Discuti esistenza e unicità locali. Stabilisci se l intervallo massimale può essere illimitato a destra oppure no. Determina eventuali soluzioni stazionarie. Studia il comportamento agli estremi del dominio. Studia monotonia e concavità per y 0 R +.

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36 La soluzione y(t) del problema di Cauchy { y = ay 1+b, y(t 0 ) = y 0, con a,b,y 0 > 0 e t 0 0, scoppia (esplode) in un tempo finito, cioè esiste T > t 0 tale che la soluzione è definita in [t 0,T[ e lim y(t) = +. t T Dim. Basta risolvere esplicitamente (equazione a variabili separabili), trovare il dominio della soluzione e calcolare il limite.

37 Teorema di confronto. Siano u(t) e v(t), rispettivamente, le soluzioni di { u = f ( t,u(t) ) {, v = g ( t,v(t) ), u(t 0 ) = y 0, v(t 0 ) = y 0, con f,g continue e con y f, y g continue. Supponiamo che u,v siano definite in un intervallo I contenente t 0, e che per ogni t I, y R. Allora g(t,y) f (t,y) v(t) u(t) t I, t t 0 ; v(t) u(t) t I, t t 0.

38 Esercizio 12 Dimostra che il dominio massimale della soluzione di { y = y 2 + t 2, y(0) = 0 non è tutto R.

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40 Esercizio 13 Studia le soluzioni di { y = y e y3, y(0) = α al variare di α R.

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42 Esercizio 14 Studia le soluzioni di { y = e y siny, y(0) = α al variare di α R.

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