y = x y(0) = 0.

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1 A.A. 2006/2007 I Esercitazione 19 aprile 2007 Esercizio 1. Dato il problema di Cauch = x (0) = 0, dimostrare che: (a) ammette un unica soluzione massimale ; (b) tale soluzione è definita globalmente; (c) tale soluzione è dispari; (d) tale soluzione è crescente; (e) calcolare lim x (x); (f) tracciare un grafico approssimativo di. Esercizio 2. Dato il sistema Y = AY, dove A = si chiede di: (a) scrivere una matrice fondamentale del sistema; (b) calcolare det e A ; (c) trovare la matrice e Ax , Esercizio 3. Risolvere 3x = x (0) = 0. Esercizio 4. Risolvere = xe x (0) = 0, (0) = 0. Esercizio 5. Considerato il problema di Cauch u = u 7 + u (P ) 1 + u 2 u(0) = 1, u (0) = 3, si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: (a) (P ) ha un unica soluzione locale; (b) u è definita in tutto R; (c) u è di classe C su R; (d) è concava in un intorno di x = 0. 1

2 A.A. 2006/2007 II Esercitazione 8 giugno 2007 Esercizio 1. Data la successione di problemi di Cauch n = arctan(x 3 ) + 2n (P n ) (0) = 0, (a) dimostrare che ogni (P n ) ammette un unica soluzione massimale n definita globalmente; (b) dimostrare che n è crescente e dispari; (c) dimostrare che n è convessa in x R + e concava in R ; (d) calcolare lim x n (x) e lim x n (x); 0 (e) dimostrare che lim n (x) dx = 0; n 1 n (f) tracciare un grafico approssimativo di n. Esercizio 2. Risolvere x 2 + x = 1, (1) = 1, (1) = 0. Esercizio 3. Discutere la risolubilità del problema rot U = ( xe 3z, 2e 3z, e 3z ), ed eventualmente calcolare tutti i potenziali vettori U di classe C. Esercizio 4. Dire quali tra le seguenti serie trigonometriche è la serie di Fourier di una [ ( cos 1 ) 1/n cos n n! 1] cos nx; cos nx; sin nx. n n ln n Γ(n 3 / ln n) n=2 Esercizio 5. Siano n N, α (0, ) e sia f n (α) = α2 x 2 e R n x dx; si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: (a) f n è continua e convessa in (0, ); (b) f n è estendibile per continuità in modo pari in tutto R; (c) f n è di classe C nel suo dominio; f n (α) (d) lim = 0 per ogni α > 0. n nπ V n/2 F

3 A.A. 2006/ giugno 2007 Esercizio 1. Si consideri la successione di problemi di Cauch (P n ) n = x 2n+1 n, n n (0) = 0; a) dimostrare che esiste un unica soluzione locale n ; b) dimostrare che x = 0 è un punto di minimo assoluto per n e che n è crescente in R + e decrescente in R ; c) dimostrare che ogni n è definita in [0, ); d) dimostrare che 1 0 lim n(x) dx = lim n n 1 0 n (x) dx. Esercizio 2. Risolvere = 1 e x sin, (0) = 1, mostrando che se la soluzione è globale a destra non può essere lim x (x) =. Esercizio 3. Trovare una soluzione analitica in un intorno di x = 0 del problema x 3 + x + = 1 x, (0) = 1, (0) = 1 2, e calcolare (4) (0). Esercizio 4. Dire quali tra le seguenti serie trigonometriche è la serie di Fourier di una ( 1) n Γ(n+e) sin 1 n cos nx; n(e 3/n sin k 1) sin nx; nn k n5/4 sin 1 cos nx. n2 k=1 Esercizio 5. Posto B = x R 2 : x < 1}, u(x, ) = ln(x ) e v(x, ) = x , si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: (a) u L 1 (B); (b) u L 1 (B); (c) u v dxd = 0. V B F

4 A.A. 2006/ luglio 2007 Esercizio 1. Considerato il problema di Cauch = x + ln(1 + 2 ), (0) = 0, si dimostri che esiste un unica soluzione massimale globale ; si dimostri che (x) è crescente per x 0 e decrescente per x 0; si calcolino lim (x) e lim (x); x x si calcoli (0). Esercizio 2. Risolvere il problema 2 + = e x, (0) = 0, (0) = 0. Esercizio 3. Data la serie trigonometrica ( ) n α ln cos nx, 1 + n α se ne studi la convergenza al variare del parametro α R, determinando la regolarità della funzione somma quando questa è ben definita. Se α = 2 tale serie può essere la serie di Fourier della funzione 2π periodica data da 3 f(x) = ln(1 + x 4 ) se x [ π, π)? Esercizio 4. Determinare l unica funzione f : R R di classe C 1 tale che f(0) = 0 e per cui la f.d.l. ω(x, ) = x ln dx + f(x) d risulti localmente esatta. Dimostrare poi che, per tale f, ω è esatta nel suo dominio e si determini un potenziale F tale che F ( 2, 1) = 1. Dire infine se tale l equazione F (x, ) = 1 definisce una curva = (x) di classe C in un intorno del punto ( 2, 1). Esercizio 5. Sia f : R n R convessa. Si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: (a) f ha minimo; (b) f è illimitata; (c) esiste lim x f(x); (d) se f è differenziabile in B 1 = x R n : x 1}, x 0 B 1 e f(x 0 ) = min B1 f, allora f(x 0 ) = 0 R n.

5 A.A. 2006/ luglio 2007 Esercizio 1. Considerato il problema di Cauch = ( 2 x 2 ) ln( ), (0) = 0, si dimostri che esiste un unica soluzione locale ; si dimostri che (x) è decrescente; si dimostri che la soluzione è globale; si calcolino lim x (x) e lim (x). x Esercizio 2. Tra tutte le soluzioni di : u (x) + u(x) = 0 π 0 u2 (x)dx = π/2. si determini se ne esistono che minimizzano π 2 u(x)dx. 0 ( 1) n 1 + n! n + ( 1) n cos nx, n (n + 1)! sin nx, [Γ(n + sin n)] 2 sin nx. Γ(n 2 + sin n) Esercizio 4. Determinare l unica funzione f : R R di classe C 1 tale che f(0) = 0 e per cui la f.d.l. ω(x, ) = 2xe x2 f() dx + (e x2 + cos ) d risulti localmente esatta. Dimostrare poi che, per tale f, ω è esatta nel suo dominio e si calcoli ω, dove γ : [0, 1] R 2 è data da γ(t) = (ln(1 + t 4 ), cos(πt)). γ Esercizio 5. Sia f : B 1 = x R n : x 1} R data da f(x) = ln(1 + x ). Si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: (a) esiste x 0 B 1 tale che f(x 0 ) = min f; (b) f(x 0 ) = 0 R n; (c) f è convessa in B 1 ; (d) f L 1 (B 1 ).

6 A.A. 2006/ settembre 2007 Esercizio 1. Dato il problema di Cauch = e x2 2, (0) = 0, si chiede di dire se esiste una ed una sola soluzione locale; dimostrare che esiste x 0 < 0 tale che (x 0 ) = 0; dedurre dal punto precedente che la soluzione è definita per ogni x < 0; dimostrare che lim x (x) = ; verificato che z(x) = x2 + x, x 0, è una sottosoluzione, e detto β l estremo 2 destro dell intervallo massimale di definizione, si deduca che lim (x) =. x β Esercizio 2. Sia F : R n \ 0} R n definito da F (x) = F (x) ν(x) dσ B(x 0,1) a seconda del fatto che x 0 = 0 o x 0 = (1, 2,..., n). x x n. Calcolare n! sin sin n + 1 n n 1 sin nx, Γ(n π ) n 2/3 + sin cos nx, cos nx. n sin n 1/17 Esercizio 4. Dire se esistono soluzioni, e in tal caso calcolarle, del problema rot U = (x 2xz + z, 2 x 2, x 2 + z 2 3z). Esercizio 5. Data la forma differenziale 2x ω(x,, z) = x z dx x z d + 2z 2 x z dz, 2 si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: (a) ω è localmente esatta nel suo dominio; (b) ω è esatta nel suo dominio; (c) ω = πe, dove γ : [0, 1] γ R3 è definita da γ(t) = (t, t 2, t 3 + 1).

7 A.A. 2006/ settembre 2007 Esercizio 1. Dato il problema di Cauch = ln x (1) = 0, si chiede di dire se esiste una ed una sola soluzione locale ; dimostrare che esiste x 0 (0, 1) di minimo assoluto per e dedurre che è definita in (0, 1]; dimostrare che (x) è convessa se x > 1; dedurre dal punto precedente che non può essere definita in (0, ); detto β l estremo destro dell intervallo massimale di definizione, si calcoli lim (x); x β dimostrare che risulta lim (x) 0. x 0 + Esercizio 2. Trovare l unica funzione continua f con f( π ) = 1 tale che 4 x π 4 f(t) sin(x + t) dt = cos x. Γ( sin n + 1) n!(sin Γ( ln(n! ln n) sin nx, n) + 2) n! cos 2 n cos nx, ln(cos n 2/3 ) cos nx. sin n 2/3 Esercizio 4. Siano f, g : R R + funzioni convesse. Si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: (a) f + g è convessa; (b) f + g è convessa; (c) f + g 2 è convessa; (d) f g è convessa; (e) f 2 ha minimo in R.

8 A.A. 2006/ dicembre 2007 Esercizio 1. Data la successione di problemi di Cauch n = 1 + sin 2n (x n ) n (0) = 0, si chiede di dimostrare che esiste una ed una sola soluzione globale n ; studiare la monotonia di n ; studiare eventuali simmetrie di n ; calcolare, se esistono, lim n (x) e lim x n(x); x dimostrare che n (x) [ 1, 1] se x [ 1/2, 1/2]; calcolare lim n (x) per x [ 1/2, 1/2]. n Esercizio 2. Trovare le uniche funzioni f e g di classe C 1 (R) con f(0) = 0 e g(0) = 1 tali che la f.d.l. ω(x, ) = (2x + g(x))dx + f(x)d sia esatta in R 2 e γ s ω = s 2 + s sin s s > 0, dove γ s : [0, s] R 2 è la curva definita da γ(t) = (t, t). sin(2 n ) Γ(2 n ) sin nx, n ln n ln n cos nx, ln n n + sin nx. 2 n Esercizio 4. Sia f : R (0, ) una funzione tale che (x) := ln f(x) sia convessa. Si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: (a) f ha minimo in R; (b) f è illimitata; (c) f è convessa; (d) se f è limitata inferiormente, anche lo è.

9 A.A. 2006/ gennaio 2008 Esercizio 1. Dato il problema di Cauch = e 2 1 x 2 (0) = 0, si chiede di dimostrare che esiste una ed una sola soluzione globale ; studiare la monotonia di ; studiare eventuali simmetrie di ; calcolare, se esistono, lim (x) e lim (x); x x dimostrare che, posto z(x) = x 3 /3 x, la funzione w = z è crescente. Esercizio 2. Trovare le uniche funzioni f e g di classe C 1 (R) con f(0) = 1 e g(0) = 0 tali che la f.d.l. ω(x,, z) = (2x + zf(x))dx + 2d + g(x)dz sia esatta in R 3 e γ s ω = 2s 2 + s sin s s > 0, dove γ s : [0, s] R 3 è la curva definita da γ(t) = (t, t, t). n! Γ(2 n ) sin nx, Γ(2 n ) 3 2 cos n cos nx, sin nx. n n n 2 Esercizio 4. Sia f : B = x R n : x 1} R una funzione continua, dove B = x R n : x < 1} e sia u C 2 (B) C 1 ( B) soluzione di u = f(x) in B, u = 0 su B. Si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: (a) se f(x) = 0, allora u(x) = 0; (b) f(x)u(x) dx < 0; V B (c) se f(x) > 0, allora u(x)/ ν dσ < 0; V B (d) esiste x 0 B tale che u(x 0 ) = 0 R n. F F

10 A.A. 2006/ febbraio 2008 Esercizio 1. Dato il problema di Cauch = e x (0) = 0, si chiede di dimostrare che esiste una ed una sola soluzione globale ; studiare la monotonia di ; dedurre l esistenza di un unico estremante assoluto; calcolare, se esistono, lim (x) e lim (x); x x mostrare che z(x) = e x 1 è una soprasoluzione. Esercizio 2. Trovare l unica funzione f C 1 (R) con f(1) = 1 tale che la f.d.l. ( ) ω(x, ) = x dx + f(x) sin + d sia esatta e si calcoli dove γ : [0, π] R 2 è la curva definita da γ(t) = (1 + sin 4 t, 2 + ln(2 + cos 7 t)). γ Γ(sin e n ) n sin nx, n n 1 ω, k=1 cos k k cos nx n ln 2 n, ln n sin nx. nln n Esercizio 4. Sia f : B = x R n : x 1} R una funzione continua, dove B = x R n : x < 1} e sia u C 2 (B) C 1 ( B) soluzione di u = f(x) in B, u = 0 su B. Si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: (a) se f(x) > 0, allora B u u 2 dx > 0; (b) se f < 0 in B, allora u è concava; (c) se f(x) dx = 0, allora u(x)/ ν dσ < 0; V B B (d) esistono almeno 2 punti, x 1, x 2 B tali che u(x i ) = 0 R n, i = 1, 2. F