1. Riconoscere la natura delle coniche rappresentate dalle seguenti equazioni e disegnarle:

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1 Università degli Studi della Basilicata Corsi di Laurea in Chimica / Scienze Geologiche Matematica II A. A (dott.ssa Vita Leonessa) Esercizi proposti n. 3: Funzioni a due variabili. Riconoscere la natura delle coniche rappresentate dalle seguenti equazioni e disegnarle: (a) 2 xy = 0 (b) y = x 2 3x + 2 (c) x2 4 + y2 = 4 (d) x = y 2 + y (e) x 2 + y 2 5x + 2y = 9 4 (f) 24y 2 2x 2 = 8 2. Trovare la soluzione delle seguenti disequazioni e rappresentarla graficamente: (a) x 2 2y + y 2 0 (b) x y + { y x y x 0 (c) x 2 y 2 < 0 3. Determinare l insieme di definizione delle seguenti funzioni: (a) x 7 + x 2 y e y x3 (b) x cos y (c) (d) (x )y x + y (e) log(9 x 2 y 2 ) x + y + (f) arctan 2x y + x 4 y 2 (g) x 2 y 2 + y 2 (h) log(x + ) + y + 2 (i) arccos x (l) 4 x y y 2 (m) 2x x 2 (n) arcsin y 2 + xy (o) tan x 3 y (p) x2 4 + y Calcolare (se esistono) i limiti per (x, y) (0, 0) delle seguenti funzioni: (a) x y x 2 2xy + y 2 ; (b) x2 + 3xy + y 2 x 2 + 4xy + y 2 ; x 2 +y 2 (c) e x 4 + y 4 ; (d) x4 y 2 x 4 + y Verificare con la definizione di limite che: (a) lim (x,y) (0,0) x 5 x 2 = 0; (b) lim + y2 (x (x,y) (,0) )2 sin 6. Verificare che non esistono i seguenti limiti: (a) lim (x,y) (0,) (x )y = 0. (y ) 3 3x 2 y 2 + xy x 2 x 2 + y 2 ; (b) lim 2y + (x,y) (0,0) x 2 + y 2.

2 7. Calcolare, se esiste, il limite per (x, y) (0, 0) della funzione 2y + x 2 + y 2 8. Calcolare, se esiste, il limite per (x, y) (0, 0) della funzione sin(x2 + y 2 ) x 2 + y Dimostrare che il seguente limite non esiste lim (x,y) (0,0) xy 3 x 2 + y Studiare la continuità della seguente funzione arctan(cos(x 2 + y 2 )) x 2 + y 2 se (x, y) (0, 0),.. Studiare la continuità della seguente funzione { y x 3 + y 6 se (x, y) (0, 0), se (x, y) = (0, 0). 2. Calcolare f x e f y delle seguenti funzioni nel loro dominio di definizione: (a) x 4 2x 3 y 2 3x 2 y + 09 (b) x2 + 2y 2 2x (c) x 3 log(y + 2x) (d) e y(x2 +y 2 ) (e) sin(3x + y 4 ) (f) arctan(x 2 + xy) 3. Calcolare le derivate seconde f xx, f xy, f yx e f yy delle funzioni dell esercizio precedente. verificando l uguaglianza delle derivate parziali seconde miste. 4. Calcolare la derivata direzionale della funzione f nella direzione del versore v nel punto P nei seguenti casi : (a) e y2 e x2, v = (/ 2, / 2), P = (0, ); (b) log(4 x 2 3y 2 ), v = ( / 2, / 2), P = (, ); (c) y x (= e x log y ), v = (/2, 3/2), P = (0, ). 5. Data la funzione ( ) xy arctan x 2 + y 2 se (x, y) (0, 0), dire se nel punto (0, 0) tale funzione è continua, derivabile e differenziabile. Calcolare poi la derivata direzionale di f nella direzione del versore v = ( /2, 3/2) nel punto (, ). tenere conto dell espressione della derivata direzionale qualora f sia differenziabile 2

3 6. Data la funzione 2y x 2 + y 2 se (x, y) (0, 0), stabilire in quali punti è continua, derivabile lungo ogni direzione e differenziabile. Trovare inoltre, se esiste, l espressione della derivata direzionale di f nel punto (0, 0) lungo l arbitraria direzione (v, v 2 ) con v 2 + v2 2 =. 7. Calcolare l equazione del piano tangente alle seguenti funzioni nei punti indicati: (a) (x 2 + )(y + x), (, ); (b) sin(xy + 2x), (0, 0); (c) 9x y 2, (, ); (d) e /(x+y), (, ). 8. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando le risposte: (a) Se f(x, y) è continua in (x 0, y 0 ), ammette derivate parziali prime in (x 0, y 0 ); (b) Se f(x, y) ammette derivate parziali prime nel suo insieme di definizione A, allora è continua in A; (c) Se f(x, y) è differenziabile in (x 0, y 0 ), ammette derivate parziali prime in (x 0, y 0 ); (d) Se f(x, y) ammette derivate parziali prime in (x 0, y 0 ), allora è differenziabile in (x 0, y 0 ). 9. Considerata f(x, y) allora dire se le due affermazioni seguenti sono vere o false: (a) Se f(x, y) è differenziabile in (, ), essa ammette derivata direzionale lungo la direzione v = (cos 2, sin 2) nel punto (, ) e f v (, ) = (f x (, ), f y (, )) v; (b) Se f(x, y) ammette derivata direzionale lungo la direzione v = (cos 2, sin 2) nel punto (, ), essa vale f v (, ) = (f x (, ), f y (, )) v anche se f non è differenziabile in (, ). 20. È noto che la funzione { x 2 y x 2 +y 2 se (x, y) (0, 0) non è differenziabile in (0, 0). È noto che essa ammette derivate direzionali lungo qualsiasi direzione v = (v, v 2 ) nel punto (0, 0) e che f v (0, 0) = v 2 v 2. Alla luce di queste considerazioni, è vero o no che f v (x, y) = (f x (x, y), f y (x, y)) v? 2. Considerata la funzione x 2 y 2 x 2 + y 2 se (x, y) (0, 0) 3

4 (a) Verificare che f(x, y) è continua in (0, 0); (c) Verificare se f(x, y) è differenziabile in (0, 0); lungo la direzione (/ 2, / 2) nel punto (, ). (b) Calcolare le derivate parziali prime; (d) Calcolare la derivata direzionale 22. Verificare con la definizione che le seguenti funzioni sono differenziabili in (0, 0): (a) (2x 2 8)(y 2); (b) cos(xy); (c) e x+y ; (d) log( + x 2 + y 2 ). 23. Considerate le funzioni dell esercizio precedente, calcolare le derivate direzionali lungo una qualsiasi direzione v = (v, v 2 ) nel punto (0, 0). 24. Sia f(x, y), definita in A = {(x, y) x 2, y 2}. Si scriva la definizione di continuità di f nel punto (2, 5). 25. Sia f : [, ] R una funzione continua in [, ] e tale che 0 f(x) 2 per ogni x [, ]. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta: (a) L integrale f(x) dx potrebbe assumere un qualsiasi valore reale; (b) Se f(x) 0 per ogni x [0, ], allora (c) Esiste un punto x 0 [, ] tale che (d) f(x) dx 5. f(x) dx 0; f(x) dx = 2f(x 0 ); 26. Sia f : A R 2 R e supponiamo che (, 0) sia un punto di accumulazione per A. Rispondere ai sequenti quesiti motivando le risposte: (a) Cosa si intende con la scrittura lim 2? (x,y) (,0) (b) Se lim x f(x, λ(x )) = λ(λ ) per ogni λ R, cosa si può dire sul limite di f(x, y) per (x, y) (, 0)? 27. Scrivere l enunciato del teorema del differenziale totale. 28. Sia f : A R una funzione di due variabili definita sull aperto A del piano cartesiano e sia (x 0, y 0 ) un punto di A. Rispondere ai sequenti quesiti motivando le risposte: (a) Se f è differenziabile in (x 0, y 0 ), cosa si può dire sulla sua continuità in (x 0, y 0 )? (b) Se esistono le derivate parziali di f, si può dire che f v (x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 )v + f y (x 0, y 0 )v 2 per ogni direzione v = (v, v 2 ) con v 2 + v2 2 =? 29. Sia f = f(x, y) una funzione definita in un aperto A del piano euclideo e derivabile in tale insieme e sia (x 0, y 0 ) A. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false e spiegare il motivo della risposta: 4

5 (a) Se esistono f xy (x 0, y 0 ) e f yx (x 0, y 0 ) allora esse sono uguali. (b) Se le funzioni f(x, y), f x (x, y) e f y (x, y) sono continue in (x 0, y 0 ) allora f è differenziabile. (c) Se f x (x 0, y 0 ) = 0 e f y (x 0, y 0 ) = 0 allora (x 0, y 0 ) è un punto di massimo o di minimo relativo per f. (d) Se le funzioni f(x, y), f x (x, y) e f y (x, y) sono continue in (x 0, y 0 ) allora f ammette derivata direzionale in (x 0, y 0 ) lungo una qualsiasi direzione. 30. Sia f : A R con A R 2 insieme aperto e si supponga che f sia differenziabile nel punto (x 0, y 0 ) A. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false e spiegare il motivo della risposta: (a) lim f(x 0, y 0 ); (x,y) (x 0,y 0 ) (b) f ammette derivata direzionale lungo una qualsiasi direzione v; (c) f v (x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 )v 2 + f y(x 0, y 0 )v 2 dove v = (v, v 2 ) R 2 ; (d) esiste il piano tangente alla superficie di equazione z = f(x, y) nel punto (x 0, y 0 ). 3. Sia f(x, y) una funzione di 2 variabili definita in un aperto A del piano euclideo e sia (0, ) un punto di accumulazione per A. Scrivere cosa si intende per 2. lim (x,y) (0,) 32. Determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo della funzione 2y 3 + 3y 2 x 3y 2 x 3 + 8x. 33. Calcolare gli eventuali estremi relativi per x > 0 della funzione: 8 x y y 2 2xy y Considerata la funzione log x + y x 2 y (a) determinare gli eventuali estremi relativi; (b) determinare i punti di massimo e minimo assoluto nel quadrato individuato dalle rette di equazione y = 2, y = 0, x = e, x = e. 35. Si supponga che nel punto (, 0) la funzione f(x, y), definita in R 2, abbia un punto di minimo relativo, allora: (a) per ogni (x, y) R 2, risulta f(x, y) f(, 0), (b) esiste un δ > 0 tale che, per ogni (x, y) R 2, con (x ) 2 + y 2 < δ 2, risulta f(x, y) f(, 0), (c) f(, 0) 0, (d) f ammette derivate parziali prime in (, 0) e sono nulle. 36. Sia f(x, y), definita in A = {(x, y) x 2, y 2}. 5

6 a) Si scriva la definizione di continuità di f nel punto (2, 5), b) Se f è continua in A, ammette punti di massimo e minimo assoluto? 37. Calcolare gli eventuali punti di minimo e massimo relativo delle funzioni: (a) (y 2 + xy + 2x 2 ) e y ; (c) (x + y) cos x, per x, y [0, 2π]. (b) x 3 y 3 xy; 38. Determinare i punti di massimo e di minimo assoluto della funzione sul vincolo di equazione x 2 + y 2 =. x 3 y e 2x2, 39. Determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo della funzione 3x 2y al variare di (x, y) sulla circonferenza di equazione x 2 + y 2 =. 40. Calcolare gli estremi assoluti della funzione: x 3 y 3, sotto il vincolo di equazione g(x, y) = x 2 + y 2 9 = Calcolare gli eventuali punti di massimo e di minimo della funzione ( + xy) 2 nell insieme D = {(x, y) x 2 + y 2 }. 42. Calcolare gli eventuali punti di massimo e di minimo della funzione y 2 x 3 nell insieme D = {(x, y) x 2 + y 2, (x 2 )2 + y 2 }. 43. Calcolare gli eventuali punti di massimo e di minimo della funzione x 4 y 2 3x nell insieme D = {(x, y) x 0, y, xy }. 44. Sia f : A R 2 R una funzione definita in un aperto A del piano tale che (2, ) A. Rispondere ai sequenti quesiti motivando le risposte: (a) Se fosse possibile trovare un intorno circolare I di (2, ) tale che f(x, y) f(2, ) per ogni (x, y) I A, cosa si può dire sul punto (2, )? (b) Se f fosse in aggiunta differenziabile in (2, ) con f x (2, ) = 0 e f y (2, ) = 0, si potrebbe concludere qualcosa sulla natura del punto (2, )? 45. Enunciare la condizione necessaria per la ricerca di estremi liberi per funzioni a due variabili. 46. Enunciare il teorema di Weierstrass per funzioni a due variabili. 6