Corso di laurea in Chimica Matematica

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1 Corso di laurea in Chimica Matematica. Quali sono i valori x R, con 0 x < 2π, che risolvono le seguenti disequazioni? a) sinx > 2 ; b) 0 < cosx < ; c) sin x < / Calcolare: a) log 2 4; b) log 4 2; c) (5 log 2 320)log Per quali valori x R risulta: a) sin(2x) = 2 sin x b) log 2 0 x = log 0 x 2 4. Rappresentare graficamente i sottoinsiemi del piano caratterizzati dalle seguenti disuguaglianze: a) x, x 2 y ; b) 0 y x ; c) x 3 y x; d) log 0 x y ; 5. Risolvere le seguenti disequazioni: a) x + 2 3; b) x 2 7 9; c) (x 2 )(x 2) 0; d) xlog 2 (x + 2) > 0; e) 2x 2 x 2 4 0; f) xsin(2 x ) > Dato α > 0 disegnare il sottoinsieme del piano cartesiano definito da: A = {(x, y) : x + y = }. Qual è il minimo valore di α per il quale l insieme B = {(x, y) : x 2 + y 2 α} interseca A 7. Dire se le seguenti equazioni rappresentano una circonferenza, determinandone centro e raggio in caso affermativo: a) x 2 + y 2 + x + y + 4 = 0, b) x2 + y 2 2x 3y 3 4 = 0; c) x 2 + y 2 + 4x 6y + 4 = 0; d) 2(x 2 + y 2 ) 3x + 4y + 2 = 0.

2 8. Disegnare i sottoinsiemi del piano cartesiano individuati dalle disuguaglianze: 2x y 2 0 a) 2x + y ; b) x 2y ; c) y x ; x 0, y 0 d) x + y d) x + y ; e) f) x 2 y x. { x 2 + y 2 x, y ; 9. Quali dei seguenti numeri reali sono strettamente maggiori di uno? a) log 2 4; b) log 4 2; c) + log 3 (2 sin π 7 ); d) log 2 ( 0 π + 2 ) log 2 ( 5 π + ) ; e) log 2 9 (log 2 3) 2 ; 0. Quali sono i valori x R, con 0 x < 2π, che risolvono le seguenti equazioni e disequazioni? a) cosx > 3 2 ; b) tan2 x 3 = 0; c) 0 < cosx < 2 ; d) tan 2 (2x) 3 = 0; e) 2 sin 2 x + 3 cosx > 0.. Quale delle sottoelencate funzioni ha il grafico come nella figura a fianco? a) x, b) x, c) x, d) x +. y O x 2. Sia f la funzione definita da f(x) = sin(x/7) log 0 (x 2 + ). È vero che f(π) > 0? 3. Dire per quali valori x R sono definite le seguenti espressioni: a) log0 (x 4 ) ; b) log 0 (2 sinx ); c) log 0( (xcos x) 4 + sin 2 x ). 4 2

3 4. Quale delle sottoelencate funzioni ha il grafico come nella figura a fianco? a) (3 x) 3, b) (x 3) 3, c) (3 + x) 3, d) (3 x) 3, e) (x 3) Risolvere le seguenti disequazioni: a) tan 2 x tan x > 0, b) cos2x > Risolvere le seguenti disequazioni: a) 3x 2 7x + 2 < 0; b) x + 2 x < 2x; c) (x2 2)log 2 0 (x ) < Calcolare: a) ( 4 3 log ) /3 3 log 0 00; b) ( ) /2. 8. Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni: a) < 2 sinx < 3; b) cos 2 x > 2 ; c) 3 tanx = 2 cosx; d) 2x2 > Sia f : R R la funzione definita da: { x 2 + se x 0, f(x) = se x < 0. a) Disegnare il grafico di f. b) Quanto vale f(sin(6/5))? 3

4 20. Disegnare i seguenti sottoinsiemi del piano cartesiano: a) A = {(x, y) : + x < y < } b) B = {(x, y) : 0 x < y < }, b) C = {(x, y) : 0 < y < (x ) 2, 0 < x < }. 2. Risolvere le seguenti disequazioni e sistemi di disequazioni: a) 2x x 2 x 2 > 0; b) 4x + 3 { 2x x 2 > 0 ; x 2 4x + 3 > 0 c) 6x2 x (log 0 x) 4 < 0; d) log 0 (2x 2 x + ) > Quale dei seguenti valori è positivo comunque si scelga il numero reale α (fra i valori per i quali sono definite le espressioni sottoindicate)? a) sin α 2, b) ( ) 3, [ log 2 c) tan 2 (α 2 +) α 2 π ] Rappresentare graficamente i seguenti sottoinsiemi del piano cartesiano: a) A = {(x, y) : 0 y x }, b) B = {(x, y) : x 2 y x}, c) C = {(x, y) : y, log 2 (x + y) 2}, d) D = {(x, y) : ( x, y ) B}. 24. Sia α un numero reale compreso fra π/2 e π e il cui seno vale 3/5. Quanto vale cosα? 25. Determinare i valori x [0, 2π] tali che: a) 4 sin 2 x > 0; b) 2 cos(2x) + = 0 ; c) sinx cosx < Risolvere le seguenti equazioni: a) 2 x + 2 x = 5/2, b) x(x 2 + ) = xsin(x ); c) 0 x2 =

5 27. Semplificare le seguenti espressioni: a) 2 ( log 3 x)log 3 (3x) 2 + (log 3 x) 2 ; b) (x y) 2 2x ( y x ) 2 ( x ). y 28. Risolvere le seguenti equazioni o disequazioni: a) sin 2 (x π 3 ) = 0; b) log 00 c) 0 x2 + x 2 = sin 0 + x 2 < ; + x 2 ; d) x2 x + x 2 3x + 2 < Disegnare il seguente sottoinsieme del piano xy: A = {(x, y) : x 2 y 3 2 x}. Quali sono i valori α > 0 per i quali l insieme ha intersezione non vuota con A? A α = {(x, y) : (x α) 2 y 3 (x α)} Individuare l insieme di definizione delle seguenti funzioni: 3 x ( a) f(x) = xlog 4 (x + 3) ; b) g(x) = 2 x sinx) Quanto vale f( )? 3. Risolvere le seguenti equazioni/sistemi/disequazioni: a) x(2 3x + x 2 ) > 0; b) { 2 log2 x < 0 x 5 x < 0 c) (log 2 x) 2 log 2 (x 3 ) + 4 log 2 2 > 0; d) (2 sinx ) x(π x) > 0 e) 3 a a + 2 < 0; f) { 2x πy = 0 y = sin x. 32. Siano f(x) = (x )log 2 (x + ) ; g(x) = log 0 f(x). Individuare l insieme di definizione di f e g e calcolare f( /2). 5

6 33. A che altezza arriva una scala di 2m appoggiata a un muro con un inclinazione di 60? Qual è la distanza della scala dalla base del muro? 34. a) Disegnare i seguenti sottoinsiemi del piano: A = {(x, y) : x 2 + y 2 <, x 2 + (y + ) 2 > 2}; B = {(x, y) : 2 x < y < x + }. b) Scrivere le condizioni che individuano gli insiemi ottenuti da A e B traslandoli verso destra della lunghezza. 35. Gli insiemi: A = {(x, y) : y 3 > x 2 + x + }, B = {(x, y) : 2 y sinx < 0} hanno intersezione non vuota? 6